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1、相似一、相似知识点：1、相似的判定：相似多边形的判定；相似三角形的判定： ABCA B C ；2、平行线分线段成比例定理3、相似三角形的判定：ABCA B C 的 5 种方式4、相似三角形的周长与面积：周长（及对应的高）相似比等于K；面积相似比等于K25、位似：位似图形的判定利用位似，将一个图形放大或缩小位似图形在平面坐标系中的坐标关系： 如果以原点为位似中心， 相似比为 K，那么位似图形对应的坐标的比等于K 或K 二、相似图形的特征：1、相似比例的多项式动算（主要是分式） ：2、平行线分线段成比例，及成比例线段的相关计算：3、相似三角形在几何组合图形内的存在特点，及相关的证明，计算：精选学习
2、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页一、相似知识点：1、相似的判定，如图：相似多边形的判定：对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的判定：在ABC 和A B C中，如果：AA，BB，CC，BAABCBBCCAACk，（ABk.A B，BCk.B C，ACk.A C ）则：ABCA B C，ABC与A B C的相似比为k，A B C与ABC的相似比为k1。2、平行线分线段成比例定理，如图：（3l，4l，5l的距离决定k 的大小）平行线分线段成比例定理：如右图3l4l5l，则：EFDEBCABk1，kDFDEACAB2，kDFE
3、FACBC3，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得对应线 段 的 比 相 等 ， 如 右图 ：kACAEABAD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页3、相似三角形的判定：（只要是相似三角形，就可以按对应角的安装在一起)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如图：ADE ABC类似 SSS：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；在ABC 和A B C中，如果BAABCBBCCAACk，那么：ABC A B C ，相似比为k；类似 SAS：两组对应边的
4、比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；在 ABC 和 A B C 中，如果BAABCAACk，AA，那么：ABC A B C ，相似比为k；AA 方式： 如果两个角对应相等，那么这两个三角形相似；在ABC 和A B C中，如果AA，BB，那么：ABC A B C ；例 a：两个等腰三角形的任一个角相等（无论底角或顶角），那么这两个三角形相似；例 b：RtABC斜边上的高将三角形分成三个三角形，都相似；例 c：一次函数y=k.x， （k为定值），由x，y，斜边组成的三角形，无论x为何值，所有的三角形都相似；类似 HL ：斜边的比等于一组直角边的比的直角三角形相似；（不当成定理） 。4
5、、相似三角形的周长，对应高与面积：周长比： 如果ABCA B C，相似比为k，那么BAABCBBCCAACk，因此： ABk.A B，BCk.B C，ACk.A C，从而ACCBBACABCABACCBBAAkCCkBBkAk 由此我们得到：相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比；对应高比：相似三角形对应高的比等于相似比；如果ABCA B C，相似比为k，AD 与 AD分别是边BC，B C上的高，那么DAADBAABk面积比： 相似三角形面积的比等于相似比的平方；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10
6、页相似多边形面积的比等于相似比的平方；如果 ABC A B C ，相似比为k，AD 与 AD分别是边BC，B C 上的高，那么SABCSABC.21.21DACBADBCCBBC.DAADk.kk；5、位似，如图：（只要是相似三角形，就可以相应的安装成位似的形式）图（ 1）图（ 2）图（3）位似图形的判定：a、两个多边形（包括三角形）相似，如图（ 1）的 ABCD A B C D ；b、图形的对应顶点的连线相交于一点：如图（ 1） 、 （2） 、 （3）的位似中心点O；c、对应边互相平行，如图（ 1）ABA B ，AD A D 等；d、位似图形存在三种形式：取决于位似中心点O 的位置，同侧，中
7、间，两侧，如图：利用位似，将一个图形放大或缩小：a、如图（ 1），首先任取一点O 作位似中心点（可取同侧，中间，两侧），根据 K 值的大小分别定各个相似点，具体参考课本；b、如图（ 2） 、 （3），通过坐标轴将图形放大或缩小，具体参考课本；位似图形在平面坐标系中的坐标关系：如果以原点为位似中心，相似比为K，那么位似图形对应的坐标的比等于K 或K， （同侧为K，两侧为 K）如图（ 3） ：同侧：线段AB 与 A B 位似，BAABOBOBAAXXAAYYk；两侧：线段AB 与 A B 位似， BAABOBOBk，kYYXXAAAA；如图（ 2） ： ABC 与 A B C 位似，相似比为k，原
8、点为位似中心点O，则：ABC A B C ，AB A B ，ACA C ，BCB C ，那么：kYYXXOAOAAAAA，kYYXXOBOBBBBB，kYYXXOCOCCCCC还有：kCBBCCAACBAABOCOCOBOBOAOA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页二、相似图形的特征：1、相似比例的多项式动算（主要是分式）：已知：badck， （例如：32,32baba等） ，则以下的等式成立：a、ddcbbak+1；ddcbbak1；11kkdcdcbaba；b、cdabk1；kkkcdcaba111；c、 （b
9、a）2（dc）2k2；kdcba（k0） ；d、bkadkc，dbcadbdkbk.k，即：badcdbcadbcak e、cbda.；dbca；badck2；badcbacdkk11应用比例进行运算：例 a：已知32ba，求：bba，baba，baba.3.2解法 1、 （奥数法）32ba，假设3,2 ba，代入以上各式：bba31332，baba53232，baba.3.2 1 解法 2、设32bak，则kbka.3,.2，代入以上各式，（略）解法 3、32ba，32bak，bbak132131baba11kk 5，baba.3.231.2baba 12、平行线分线段成比例，及成比例线段的
10、相关计算：平行线分线段成比例的几种形式，及之间的相互转换关系：如右图：3l4l5l，可以得到EFDEBCAB，另还有：DEEFABBC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页DFDEACAB，DFEFACBC，等等，根据多项式运算可相互转换；比例关系的转换举例：EFDEBCAB，DEEFABBC，DEDEEFABABBC，即：DEDFABAC，DFDEACAB上面的比例关系也适用于右图：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等；成比例线段的形式及相关计算：例a ： 如 右 图 ， 线
11、段AB 10cm ，则 CD_cm。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页， CBCBAC23125，即：CBAB25 AB10cm，CB1025， CB4，BDBDAD23121，即：BDAB21， AB10cm，BD1021，BD 20，CDCBBD 24 例 b：如右图，3l4l5l，DE2cm，EF3cm，MBAM23， N 是 AC 的中点，求：ANAM _cm。由MBAM23ABAM53，AM 53AB 由 N 是 AC 的中点， AN 21AC ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
12、总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页 DE2cm，EF3cm，ACAB52ANAM(53AB) (21AC) 532ACAB532522512例 c：如图，平行四边形ABCD 中，E 是 AB 的中点， G 是AC 上一点，连 EC延长交 AD 于 F，求FADF的值。解：过点 E 作 EH 平行于 AD ，交 AC 于点 H 求出GHAG的值，再求FADA的值，组合图形中线段比例的引用，进行相关的证明及计算：例 a：如图， ABC 中， AD 2DC，G 是 BD 中点， AC 延长线交 BC 于 E，求ECBE的值。解：过点D 作 DF 平衡于 BC，交 AE 于点 F
13、，证明 DGF BEG DF BE 求ECDF的值，（ DF 与 BE 存在数量关系，被BE 引用）例 b：如右图所示， ABC 中，EFBC，FDAB ，AE 18，BE12，CD14，求线段EF 的长。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页例 c： 如图， ABC 中， C90 ， AD 是 BAC 的平分线，DECA ，CD12，BD 15，求线段AE、BE 的长。解：证明AEED ；求 AB 49AE，AC 59ED59AE；AB2AC2BC2272；例 d：如图， ABC 中，C90 ，DEFC 是内接正方形
14、，BC4cm，AC 3cm，则正方形面积为_cm2。3、相似三角形在几何组合图形内的存在特点，及相关的证明，计算：相似三角形在几何组合图形内的存在形式：平行线内相交的三角形：基本形式，由平行线转化而来；例 a：如图 ABCD 是平行四边形，图中相似三角形（包括全等的）有：（6 对）一角重叠，另一角相等，或重叠角的对应边平行：如图A 重叠，左图ACD B， ABC ACD 右图DEBC， ABC ADE 直角三角形的斜边上的高分割成三个相似三角形：如图： ABC ADC BCD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页圆内
15、相交两弦形成的三角形相似；如图： ABO CDO 组合图形中，由题目的已知，及含有的平行线，等边，等腰，直角三角形，平行四边形等的配合，形成的三角形相似；例 a： 如图，锐角三角形ABC 的高 CD 和高 BE 相交于 O， 则与 DOB相似的三角形是：DOB ABE COE ACD 例 b：如图， 已知矩形ABCD 中，AB 10cm，BC12cm，E 为 DC中点， AFBE 于点 F，求 AF 长。解：可证明BCE ABF，BEABBCAF，BEABBCAF例 c：如图， ABCD 是平行四边形，点E 在边 BA 延长线上，连CE交 AD 于点 F， ECA D，求证： AC BECE AD 。解： ECA D， D B 可证明 ACE ABC ，BECEBCAC，即 AC BECE BC，BCAD 组合图形中，隐藏的已知，需添加辅助线形成相似三角形；例 a：二、2、例 c： （略）例 b：二、2、例 a： （略）组合图形中，利用相似，比例进行证明及计算：（略）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页