《第32讲数列求和.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第32讲数列求和.ppt（41页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1.熟练掌握等差、等比数列的求熟练掌握等差、等比数列的求和公式和公式.2.掌握非等差、等比数列求和的掌握非等差、等比数列求和的几种常见模型与方法几种常见模型与方法.1.若数列若数列an为等比数列，为等比数列，S5=10,S10=50,则则S15= .2102.若若an=1+2+n，则数列，则数列 的前的前n项和项和Sn= .1na21nn 因为因为an=1+2+n= ,所以所以 = =2( - ),故故Sn=2(1- )+( - )+( - )= .(1)2n n1na21n1n11n1212131n11n21nn3.数列数列1 ，3 ，5 ，7 ，的前的前n项项和和Sn= .12141811
2、6n2+1- 12n S=(1+3+5+2n-1)+( + + )=n2+1- .121412n12n4.已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn=1-3+5-7+(-1)n-1(2n-1)(nN*)，则，则S2008+S2009+S2010=（ ）BA.-2008 B.-2009C.2009 D.2010 当当n=2k(kZ)时，时，Sn=(1-3)+(5-7)+(2n-3)-(2n-1)=k(-2)=-n.当当n=2k-1(kZ）时，）时，Sn=1+(-3)+5+(-7)+9+-(2n-3)+(2n-1)=1+（k-1）2=n. n (n为奇数）为奇数） -n (n为偶数）为偶数）,所以
3、所以S2008+S2009+S2010=-2008+2009-2010=-2009.所以所以Sn=5.设设f(x)= ，则，则f(x)+f(1-x)= ，并，并利用课本中推导等差数列前利用课本中推导等差数列前n项和公式的项和公式的方法方法,求得求得f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)的值为的值为 .122x223 2 f(x)+f(1-x)= + = + = + = = .又设又设S=f(-5)+f(-4)+f(6),则则S=f(6)+f(5)+f(-5),所以所以2S=f(6)+f(-5)+f(5)+f(-4)+f(-5)+f(6).所以所以2S=12 =6 ,所以所以S=3
4、 .122x1122x122x222 2xx122x12222xx122222221.公式法公式法常用的公式有：常用的公式有：(1)等差数列等差数列an的前的前n项和项和Sn= = .(2)等比数列等比数列an的前的前n项和项和Sn= = (q1).(3)12+22+32+n2= .(4)13+23+33+n3= .1()2nn aana1+ d(1)2n n1(1)1naqq11naa qqn(n+1)(2n+1)16n2(n+1)2142.倒序相加法倒序相加法将一个数列倒过来排序，它与原数列相将一个数列倒过来排序，它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项易加时，若有公因式可提，并且剩
5、余的项易于求和，则这样的数列可用倒序相加法求于求和，则这样的数列可用倒序相加法求和和.3.分组转化法分组转化法分析通项虽不是等差或等比数列，但它分析通项虽不是等差或等比数列，但它是等差数列和等比数列的和的形式是等差数列和等比数列的和的形式,则可进则可进行拆分，分别利用基本数列的求和公式求行拆分，分别利用基本数列的求和公式求和，如求和，如求n(n+1)前前n项的和项的和.4.错位相减法错位相减法利用等比数列求和公式的推导方法求解，利用等比数列求和公式的推导方法求解，一般可解决型如一个等差数列和一个等比一般可解决型如一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和，如求数数列对应项相乘所得数列的
6、求和，如求数列列n3n的前的前n项和项和.5.裂项相消法裂项相消法把数列和式中的各项分别裂开后，消去把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，它适用于通项一部分从而计算和的方法，它适用于通项为为 的前的前n项求和问题，其中项求和问题，其中an为等差为等差数列，如数列，如 = ( - ).11nnaa11nnaa1d1na11na常见的拆项方法有：常见的拆项方法有：(1) = ;(2) = ;(3) = ;(4) = ;(5)nn!= .6.并项法并项法将数列的每两项将数列的每两项(或多次或多次)并到一起后，再并到一起后，再求和，这种方法常适用于摆动数列的求和求和，这种方法常适用
7、于摆动数列的求和.1(1)n n111nn1()n nk1 11()k nnk1(1)(2)n nn1112(1)(1)(2)n nn nn1ab1()abab11(n+1)!-n!例例1 求和：求和：(1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+(2n-1+2n+3n-2);(2)Sn=12-22+32-42+(-1)n-1n2.(1)因为因为an=(2n-1)+2n+(2n+1)+（3n-2）= = n2- n,所以所以Sn= (12+22+32+n2)- (1+2+n)= n(n+1)(5n-2)(nN*).(21 32)2nnn 5232523216(2)当当n是偶数时，是偶数时，Sn=
8、(12-22)+(32-42)+(n-1)2-n2=-3-7-(2n-1)= .当当n是奇数时，是奇数时，Sn=1+(32-22)+(52-42)+n2-(n-1)2=1+5+9+(2n-1)= .故故Sn=(-1)n-1 (nN*).(1)2n n(1)2n n(1)2n n 求数列的前求数列的前n项和，首先要研究项和，首先要研究数列的通项公式的特点，再确定相应数列的通项公式的特点，再确定相应的求和方法的求和方法.如本题中的如本题中的(1)小题运用分小题运用分组求和法；组求和法；(2)小题中，由于小题中，由于an的项是的项是正负相间，故采用并项求和法，但解正负相间，故采用并项求和法，但解题中
9、要注意分奇数、偶数讨论题中要注意分奇数、偶数讨论.例例2 已知等比数列已知等比数列an的首项的首项a1= ,公比公比q满满足足q0,且且q1.又已知又已知a1,5a3,9a5成等差数列成等差数列.(1)求数列求数列an的通项；的通项；(2)令令bn=log3 ,试求数列试求数列 的前的前n项和项和Sn;(3)试比较试比较 + + + 与与 的大小的大小.131na11nnb b1 31bb241b b3 51b b21nnb b34 (1)依题意，依题意，10a3=a1+9a5，即，即 q2= + q49，整理得整理得9q4-10q2+1=0，解得，解得q2= 或或q2=1，又又q0，且，且q
10、1，所以所以q= ，此时，此时，an=a1qn-1=( )n.1031313191313(2)因为因为bn=log3 =-log3an=n, = = - ,所以所以Sn=b1+b2+bn= ( - )+( - )+( - )=1- = .1na11nnb b1(1)n n1n11n111213121n11n11n1nn(3)因为因为 = = ( - ),所以原式所以原式= ( - )+( - )+( - )+( - )+( - )+( - )= (1+ - - )= - ( + ) 对对nN*恒成立恒成立.21nnb b341(2)n n121n12n12111213141315141611n
11、11n1n12n121211n12n1211n12n34 （1）若数列的通项能转化为）若数列的通项能转化为an=f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂项的形式，常采用裂项相消法求和，关键是裂项成功，如相消法求和，关键是裂项成功，如本例第（本例第（2）（）（3）问）问.（2）使用裂项相消法求和时，要注）使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项留了哪些项.例例3求和求和 + + + + (a0).1a22a33anna (1)当当a=1时，时，Sn=1+2+3+n= .(2)当当a1，且，且a0时，时，Sn= + + + , Sn= + +
12、+ , (1)2n n1a22a33anna1a21a32a1nna1nna由由-，得，得(1- )Sn= + + - = - .两边同除以两边同除以(1- )并整理得并整理得Sn= . (a=1) (a1).1a1na21a1nna1a1nna111 ( ) 11naaa1a2(1)(1)(1)nna an aaa综上所述综上所述,Sn=(1)2n n2(1)(1)(1)nna an aaa （1）若数列）若数列an为等差数列，为等差数列，bn为等比数列，则数列为等比数列，则数列anbn的前的前n项和项和可采用错位相减法求和；可采用错位相减法求和；（2）当等比数列公比为字母时，应对）当等比数
13、列公比为字母时，应对字母是否为字母是否为1进行讨论进行讨论.（3）将）将Sn与与qSn相减合并同类项时，注相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号意错位及未合并项的正负号.例例4 f(x)对任意对任意xR都有都有f(x)+f(1-x)= .(1)求求f( )和和f( )+f( )(nN*)的值；的值；(2)数列数列an满足满足:an=f(0)+f( )+f( )+f( )+f(1),数列数列an是等差数列吗？请是等差数列吗？请给予证明给予证明;(3)令令bn= ,Tn=b12+b22+b32+bn2,Sn=32- .试比较试比较Tn与与Sn的大小的大小.12121n1nn1n2n16n44
14、1na 1nn(1)因为因为f( )+f(1- )=f( )+f( )= ,所以所以f( )= ,令令x= ，得，得f( )+f(1- )= ,即即f( )+f( )= .121n1212121212141n1n121n1nn12(2) an=f(0)+f( )+f( )+f(1),又又an=f(1)+f( )+f( )+f(0),两式相加两式相加2an=f(0)+f(1)+f( )+f( )+f(1)+f(0)= ,所以所以an= ,nN*,又又an+1-an= - = .故数列故数列an是等差数列是等差数列.1n1nn1nn1n1n1nn12n14n1 14n 14n14(3) bn= =
15、 ,Tn=b12+b22+bn2=16(1+ + + )161+ + + =161+(1- )+( - )+( - )=16(2- )=32- =Sn.所以所以TnSn.4n441na 21221n21311 212 31(1)n n12121311n1n1n16n （1）如果一个数列）如果一个数列an与首末与首末两端等距离的两项之和等于首末两项两端等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写的和倒着写的之和，可采用把正着写的和倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的两个式子相加，就得到一个常数列的和，进而求出数列的前和，进而求出数列的前n项和；项和；（2）关于数列前）关于数列前n项和的不
16、等式，常转项和的不等式，常转化为先求和，再放缩；或者先放缩变化为先求和，再放缩；或者先放缩变形，再求和形，再求和. 已知数列已知数列f(x)=ax+b,当当xa1,b1时，时，f(x)的值域为的值域为a2,b2，当，当xa2,b2时，时，f(x)的值域为的值域为a3,b3,以此类推，一般的，当以此类推，一般的，当xan-1,bn-1时，时，f(x)的值域为的值域为an,bn，其中，其中a、b为常数，为常数，a1=0,b1=1. (1)若若a=1,求数列求数列an、bn的通项公式；的通项公式； (2)若若a0，求证：，求证：bn-an是等比数列是等比数列. (1)当当a=1时时,f(x)=x+b
17、在在R上是增函数上是增函数,由已知由已知,当当xan-1,bn-1时时,f(x)的值域为的值域为an,bn,所以所以an=f(an-1)=an-1+b,bn=f(bn-1)=bn-1+b,所以所以an、bn都是公差为都是公差为b的等差数列，的等差数列，所以所以an=(n-1)b,bn=(n-1)b+1.(2)证明证明:当当a0,且且a1)的图象上一点的图象上一点.等比数列等比数列an的前的前n项和为项和为f(n)-c.数列数列bn(bn0)的首项为的首项为c,且前且前n项和项和Sn满足满足Sn-Sn-1= + (n2). (1)求数列求数列an和和bn的通项公式；的通项公式； (2)若数列若数
18、列 的前的前n项和为项和为Tn,问问Tn 的的最小正整数最小正整数n是多少是多少?13nS1nS11nnb b10002009 (1)因为因为f(1)=a= ,所以所以f(x)=( )x.a1=f(1)-c= -c,a2=f(2)-c-f(1)-c=- ,a3=f(3)-c-f(2)-c=- .因为数列因为数列an是等比数列，是等比数列，所以所以a1= = =- = -c，所以，所以c=1.又公比又公比q= = ，所以所以an=- ( )n-1=-2( )n(nN*).13131329227223aa481227231321aa13231313因为因为Sn-Sn-1=( - )( + ) =
19、+ (n2),又又bn0, 0,所以所以 - =1.所以数列所以数列 是一个首项为是一个首项为1，公差为，公差为1的等差数列，的等差数列，所以所以 =1+(n-1)1=n，则，则Sn=n2.当当n2时，时，bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.而而b1=1也适合上式也适合上式.所以所以bn=2n-1(nN*).nS1nSnS1nS1nSnSnS1nSnSnS(2)Tn= + + + = + + + = (1- )+ ( - )+ ( - )+ ( - )= (1- )= .由由Tn= ,得得n .故满足故满足Tn 的最小正整数为的最小正整数为112.1 21bb2 31b b11nnb b11 33 41b b13 515 71(21)(21)nn121312131512151712121n121n12121n21nn21nn100020091000910002009本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来立足教育，开创未来