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1、给我最大快乐的，不是已懂的知识，给我最大快乐的，不是已懂的知识，而是不断的学习而是不断的学习.-高斯高斯课前复习课前复习AABCBCAC B BACMNABC和和ABC关关于直线于直线MN对称，点对称，点A、B、C 分别是点分别是点A、B、C的对称点。的对称点。线段线段AA 与直线与直线MN有什么关系？线段有什么关系？线段BB 、 CC与直线与直线MN呢？呢？PEFPA=P A MPA= MPA=90对称轴对称轴MN经过对应点连线经过对应点连线AA 的的中点并且垂直于线段中点并且垂直于线段AA 。 AABBCCPQSMN对于其他的对应点也有类似情况。对于其他的对应点也有类似情况。 因此，对称轴
2、所在的因此，对称轴所在的直线经过对称点所连线段的直线经过对称点所连线段的中点，中点，并且并且垂直垂直于这条线段。于这条线段。也就是也就是MNMN垂直平分垂直平分AAAA。我发现了我发现了: :A A与与A A重合重合, AP=A, AP=AP P，APM=AAPM=APM=90PM=90对称轴是过对称点所连线段的对称轴是过对称点所连线段的中点中点的的垂线垂线。 经过线段的经过线段的中点中点并且并且垂直垂直于这条线段的于这条线段的直线直线，叫做这，叫做这条线段的条线段的垂直平分线垂直平分线（也称（也称中垂线中垂线）。）。 如果两个图形关于某条如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任直线对称，
3、那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂何一对对应点所连线段的垂直平分线。直平分线。线段的垂直平分线的定义线段的垂直平分线的定义图形轴对称的性质图形轴对称的性质AABBCCPQSMNAC B BACMNPEF如果两个图形关于某条直线对称，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线。线的垂直平分线。轴对称的对称轴，是任何一对轴对称的对称轴，是任何一对对应点连线的垂直平分线。对应点连线的垂直平分线。L垂直平分垂直平分L垂直平分垂直平分L垂直平分垂直平分 BAABCClPA=P A , MPA= MPA=90EB =EB , MEB= MEB=
4、90FC=FC, MFC= MFC=90对称轴所在直线经过对称点所连线段的对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段。中点，并且垂直于这条线段。AA BB CC线段垂直平分线上的点与这线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等线段线段ABAB的中垂线的中垂线MNMN，垂足为，垂足为C C；在；在MNMN上上任取一点任取一点P P，连结，连结PAPA、PBPB； 量一量：量一量：PAPA、PBPB的长，你能发现什么？的长，你能发现什么？PMNCPA=PBP1A=P1B由此你能得到什么规律？由此你能得到什么规律？命题命题：线段垂直平分线上的线段垂直平分
5、线上的点和这条线段两个端点的距点和这条线段两个端点的距离相等。离相等。画一画画一画ABP1命题：线段垂直平分线上的命题：线段垂直平分线上的点点和这条线段和这条线段两个端两个端点点的距离相等。的距离相等。 已知：如图，已知：如图， 直线直线MNAB,MNAB,垂足为垂足为C, C, 且且AC=CB.AC=CB.点点P P在在MNMN上上. .求证：求证： PA=PBPA=PB证明：证明：MNAB PCA= PCB 在在 PAC和和 PBC中，中， AC=BC PCA= PCB PC=PC PAC PBC PA=PB证一证证一证ABPMN NC线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质【用几何语言表
6、达用几何语言表达】 线段的线段的垂直平分线垂直平分线上的点到这条上的点到这条线段两个线段两个端点端点的距离相等（点到点的距离相等（点到点的距离）的距离） CDAB, AC=BC,且点且点M在直线在直线CD上，上， MA=MB性质定理：性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。点的距离相等。ABPMNCPA=PBPA=PB点点P P在线段在线段ABAB的垂直的垂直平分线上平分线上线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的和这条线段两个端点的距离相等距离相等性质定理有何作用？性质定理有何作用？可证明线段相等可证明线段相等定理应
7、用格式：定理应用格式：AC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,P是是MNMN上任意一点上任意一点( (已知已知),),PA=PBPA=PB( (线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离相等相等).).线段垂直平分线性质线段垂直平分线性质 随堂练习随堂练习1、如图，两图形关于直线l对称,点A、B的对应点分别为A 、B 。则AP= ,BQ= 。BAABPQlAPQ= = PQB= =2、点P到直线l的距离是5cm,点P与点Q关于直线对称，则PQ= 。3、设MN是线段AB的垂直平分线，当点P在MN上运动时，PA=PB的长度都随之变化，但总保持 。 3
8、.3.判断判断（1 1）如图，）如图，CDCD ABAB于于D D，则，则ACACBCBC。（。（ ）ABCDABCD（2 2）如图，）如图，ADADBDBD，则，则ACACBCBC。（。（ ）4 4、如图，在、如图，在ABCABC中，中，EDED垂直平分垂直平分ABAB，1) 1) 若若BDBD1010，则，则AD= AD= 。2) 2) 若若A A5050，则，则ABDABD 。3) 3) 若若ACAC1414，BCDBCD的周长为的周长为2424，则，则BC=BC= 。 5 5、如图、如图,AB,AB是是ABCABC的一条边，的一条边，DEDE是是ABAB的垂直平分线，垂足为的垂直平分线
9、，垂足为E E，并交，并交BCBC于于点点DD，已知，已知AB=8cm,BD=6cm,AB=8cm,BD=6cm,那么那么EA=_, DA=_.EA=_, DA=_.ABEDC（1）46N7. 7. 如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC=16cmAB=AC=16cm，ABAB的垂直平分线交的垂直平分线交ACAC于于DD，如果，如果BC=10cmBC=10cm，那么那么BCDBCD的周长是的周长是_cm. _cm. ABCDE26ABPCPA=PBPA=PB点点P P在线段在线段ABAB的垂直的垂直平分线上平分线上 （利用全等（利用全等, ,仿照性质定理自己证明）仿照性质定理自己证明）
10、反过来，如果反过来，如果PA=PBPA=PB，那么点，那么点P P是否在线段是否在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上? ?换一换换一换判定定理：和一条线段两个端点距离相等的判定定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。点，在这条线段的垂直平分线上。判定定理有何作用？判定定理有何作用？用途：判定一条直线是线段的中垂线用途：判定一条直线是线段的中垂线判定定理：判定定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。平分线上。性质定理：性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。线段垂直平分线上的
11、点和这条线段两个端点的距离相等。PA=PBPA=PB点点P P在线段在线段ABAB的垂直的垂直平分线上平分线上和一条线段两个端点距离相等的和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上点，在这条线段的垂直平分线上ABPC线段垂直平分线上的点和这线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等性质定理和判定定理存在什么关系？性质定理和判定定理存在什么关系？题设和结论正好相反，是互逆关系题设和结论正好相反，是互逆关系线段垂直平分线性质线段垂直平分线性质 已知：已知： 两点两点A A、B B，和点，和点A A、B B的距离相等的的距离相等的点应在什么位置？点应在什么
12、位置？ AB用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一一 个简易的个简易的“弓弓”，“箭箭”通过木棒通过木棒中中央央的孔射出去，怎样才能保持射出去的方的孔射出去，怎样才能保持射出去的方向与木棒垂直呢？向与木棒垂直呢？只要只要AC=BCAC=BC就就可以了可以了结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上ABC为什么？为什么？ （1 1）线段）线段ABAB的垂直平分线上的所有点都满的垂直平分线上的所有点都满 足足“和点和点A A、B B的距离相等的距离相等”这一条件吗？这一条件吗？ 线
13、段的垂直平分线线段的垂直平分线可以看作是和线段两可以看作是和线段两个端点距离相等的所有的点的集合个端点距离相等的所有的点的集合想一想想一想（2 2）满足）满足“和和A A、B B的距离相等的距离相等”的所有点都的所有点都在线段在线段ABAB的垂直平分线上吗？的垂直平分线上吗？1 1、如图直线、如图直线MNMN垂直平分垂直平分线段线段ABAB，则，则AE=AFAE=AF。2 2、如图线段、如图线段MNMN被直线被直线ABAB垂垂直平分，则直平分，则ME=NEME=NE。3 3、如图、如图PA=PBPA=PB，则直，则直线线MNMN是线段是线段ABAB的垂直的垂直平分线。平分线。二、逆定理：二、逆
14、定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条和一条线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线线段的垂直平分线一、性质定理：一、性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端线段垂直平分线上的点和这条线段两个端 点的距离相等。点的距离相等。PA=PBPA=PB点点P P在线段在线段ABAB的垂直的垂直平分线上平分线上和一条线段两个端点距离相等的和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上点，在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点和这线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等三、三、 线段的垂直平分线
15、的集合定义：线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是和线段两个线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合端点距离相等的所有点的集合13.3 角的平分线角的平分线ODEABPC定理定理1 在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的角的两边的距离相等距离相等。定理定理2 到一个角的两边的到一个角的两边的距离相等距离相等的点，在这个角的平分线上。的点，在这个角的平分线上。 角的平分线是到角的角的平分线是到角的两边两边距离距离相等相等的所有点的集合的所有点的集合 14.1 线段的垂直平分线线段的垂直平分线定定 理理 线段垂直平分线上的点和这线段垂直平
16、分线上的点和这条线段两个端点的条线段两个端点的距离相等距离相等。逆定理逆定理 和一条线段两个端点和一条线段两个端点距离相距离相等等的点，在这条线段的垂直平分线上。的点，在这条线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线可以看作是和线段线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点两个端点距离相等距离相等的所有点的集合的所有点的集合ABMNP点的集合是一条射线点的集合是一条射线点的集合是一条直线点的集合是一条直线拓展： 如图所示，在如图所示，在ABC中，中，AB=AC32，MN是是AB的垂直的垂直平分线，且有平分线，且有BC=21，求，求BCN的周长。的周长。NMCBA1、 如图，如图，ADBC，BD=DC
17、，点点C在在AE的垂直平分线上，的垂直平分线上，AB、AC 、CE 的长度有什么关系？的长度有什么关系？AB+BD 与与DE有什么关系？有什么关系？P34练习练习AC=CEAB+BD=DE2、如图，、如图，AB=AC，MB=MC，直线，直线AM是线段是线段BC的垂直平分线吗？的垂直平分线吗？已知：已知： ABC中，边中，边AB、 BC的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点P。求证：求证：PA=PB=PC.PABC结论：三角形三边的垂直平分线交于一点，结论：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等。并且这点到三个顶点的距离相等。证明：证明：MNAB，P在在MN上上PA=PB（线
18、段垂直平分线上的（线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等）点与线段两个端点的距离相等）同理：同理：PB=PCPA=PB=PCMFEN 如图，八（如图，八（5）班与八（）班与八（6）班两）班两个班的学生分别在个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动，两处参加植树劳动，现要在道路现要在道路AO、BO的交叉区域内设一个的交叉区域内设一个茶水供应点茶水供应点P，使，使P到两条道路的距离相等，到两条道路的距离相等，且且PM=PN，请你找出，请你找出P点。点。 MNABO如图如图,已知已知: AOB,点点M、N.求作求作:一点一点P,使点使点P到到 AOB两边的两边的距离相等距离相等,并且满足并且满足PM=PN.MNAOB.P点点P为所求为所求作的作的茶水供茶水供应应点点P 如果你智慧的双眼善于观察，善于发现，那你一定会觉得数学就在我们的身边。 老师相信：你辛勤的汗水一定会浇灌出智慧的花朵！