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1、习题8.1 1. 设有一平面薄板（不计其厚度），占有平面上的闭区域，薄板上分布着面密度为的电荷，且在上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷。解：据题意，薄板区域是Oxy平面上的有界闭域，是定义在D上的面密度函数，那么用任意曲线把分成n个可求面积的小区域，以表示小区域的面积，这些小区域构成了的一个分割T，在每个上任取一点，那么电荷Q即为上的一个积分和。当足够小时，2. 下列二重积分表达怎样的空间立体的体积？试画出下列空间立体的图形：（1），其中区域是圆域；解：（1）在圆域上以抛物面为顶的曲顶柱体的体积。（2），其中区域是三角形域；解： 在三角形域D上以平面为顶的柱体的体积。 （1） （2）3.
2、 设, 其中D1=(x, y)|-1x1, -2y2; 又, 其中D2=(x, y)|0x1, 0y2. 试利用二重积分的几何意义说明I1与I2的关系. 解 I1表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=1, y=2以及z=0围成的立体V的体积. I2表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=0, x=1, y=0, y=2以及z=0围成的立体V1的体积.显然立体V关于yOz面、xOz面对称, 因此V 1是V位于第一卦限中的部分, 故 V=4V1, 即I1=4I2. 3. 利用二重积分的定义证明: (1) (其中s为D的面积; 证明 由二重积分的定义可知, 其中Dsi表示第i个小闭区域的面积. 此
3、处f(x, y)=1, 因而f(x, h)=1, 所以 . (2) (其中k为常数); 证明 . (3), 其中D=D1D2, D1、D2为两个无公共内点的闭区域. 证明 将D1和D2分别任意分为n1和n2个小闭区域和, n1+n2=n, 作和 . 令各和的直径中最大值分别为l1和l2, 又l=max(l1，l2), 则有 , 即 . 4. 根据二重积分的性质, 比较下列积分大小: (1)与, 其中积分区域D是由x轴, y轴与直线x+y=1所围成; 解 区域D为: D=(x, y)|0x, 0y, x+y1, 因此当(x, y)D时, 有(x+y)3(x+y)2, 从而 . (2)与其中积分区
4、域D是由圆周(x-2)2+(y-1)2=2所围成; 解 区域D如图所示, 由于直线x+y=1与圆(x-2)2+(y-1)2=2相切，故D位于直线x+y=1的上方, 所以当(x, y)D时, x+y1, 从而(x+y)3(x+y)2, 因而 . (3)与其中D是三角形闭区域, 三角顶点分别为(1, 0), (1, 1), (2, 0); 解 区域D如图所示, 显然当(x, y)D时, 1x+y2, 从而0ln(x+y)1, 故有 ln(x+y)2 ln(x+y), 因而 .(4)与其中D=(x, y)|3x5. 0y1. 解 区域D如图所示, 显然D位于直线x+y=e的上方, 故当(x, y)D
5、时, x+ye, 从而 ln(x+y)1, 因而 ln(x+y)2ln(x+y),故 . 5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值: (1), 其中D=(x, y)| 0x1, 0y1; 解 因为在区域D上0x1, 0y1, 所以 0xy1, 0x+y2, 进一步可得 0xy(x+y)2, 于是 , 即 . (2), 其中D=(x, y)| 0xp, 0yp; 解 因为0sin2x1, 0sin2y1, 所以0sin2x sin2y1. 于是可得 , 即 . (3), 其中D=(x, y)| 0x1, 0y2; 解 因为在区域D上, 0x1, 0y2, 所以1x+y+14, 于是可得 , 即
6、. (4), 其中D=(x, y)| x2+y2 4. 解 在D上, 因为0x2+y24, 所以 9x2+4y2+94(x2+y2)+925. 于是 , , 即 . 习题8.2 1. 化二重积分为二次积分(写出两种积分次序). (1)D=(x, y)| |x|1, |y|1; 解 D为矩形区域, 所以 , . (2)D是由y轴, y=1及y=x围成的区域; 解 若将D表示为0x1, xy1, 则 . 若将D表示为0y1, 0x y, 则 . (3)D是由x轴, y=ln x及x=e围成的区域; 解 若将D表示为1xe, 0yln x, 则 . 若将D表示为0y1, eyxe, 则 . (4)D
7、是由x轴, 圆x2+y2-2x=0在第一象限的部分及直线x+y=2围成的区域; 解 若将D表示为 0x1, 及1x2, 0y2-x, 则 . 若将D表示为0y1; ,则 (5)D是由x轴与抛物线y=4-x2在第二象限的部分及圆x2+y2-4y=0第一象限部分围成的区域. 解 若将D表示为 -2x0, 0y4-x2及0x2, , 则 , 若将D表示为 0y4, , 则 . 2. 交换二次积分的次序: (提示: 交换二次积分的次序, 要先根据原积分写出积分区域不等式, 再根据不等式画出积分区域, 然后根据图形写出另一种形式的积分区域不等式, 最后由不等写出二次积分) (1). 解 积分区域为 D=
8、(x, y)|1x2, xyx2(x, y)|2x8, xy8. 积分区域还可以表示为 D=(x, y)|1y4, xy(x, y)|4y8, 2xy, 于是 原式=. (2). 解 积分区域为 D=(x, y)|0y1, 0xy(x, y)|1y2, 0x2-y. 积分区域还可以表示为 D=(x, y)|0x1, xy2-x, 于是 原式=. （3） ；解：积分区域，（4） ；解：积分区域（5）。解：积分区域 3. 求证: . 解 二重积分中的积分区域为 , 区域D还可以表示为 , 于是 , 即 . 4. 计算下列曲线所围成的面积: (1)y=x2, y=x+2; 解 由y=x2, y=x+
9、2所围成的区域可表示为 -1x2, x2yx+2. 由y=x2, y=x+2所围成的面积为 . (2)y=sin x, y=cos x, x=0. 解 由y=sin x, y=cos x, x=0所围成的第一象限区域D1可表示为 , sin xycos x. 区域D1的面积为 . 由y=sin x, y=cos x, x=0所围成的第二、三象限区域D2可表示为 , sin xycos x. 区域D2的面积为 . 5. 计算下列曲面所围成立体的体积: (1)z=1+x+y, z=0, x+y=1, x=0, y=0. 解 这是求以z=1+x+y为顶的曲顶柱体的体积. 积分区域为D: 0x1, 0
10、y1-x. 所求体积为 . (2)z=x2+y2 , y=1, z=0, y=x2. 解 D: -1x1, x2y1. 所求体积为 .6. 计算下列二重积分: (1), D=(x, y)|0x1, 0y1. 解 积分区域为矩形, 所以 . 错误解法: . (2), D=(x, y)| 0x1, 0y1. 解 积分区域为矩形, 所以 . (3), D是由抛物线y2=2px和直线(p0)围成的区域. 解 区域D可表示为 -pyp, . . (4), D是由y=x, y=5x, x=1所围成的区域. 解 区域D可表示为: 0x1, xy5x. . (5), D是由y=x, y=x+a, y=a, y
11、=3a(a0)所围成的区域. 解 D可表示为: ay3a, y-axy. =14a 4. 习题8-31. 求由曲面及所围成的立体的体积解所求立体在面上的投影区域为所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差：2. 画出积分区域，把积分表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域是：(1) ； (2) ；(3) ，其中； (4) 解(1) 在极坐标中，故 (2) 在极坐标中，故 (3) 在极坐标中，故(4) 在极坐标中，直线的方程为，故，于是3. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 解(1) 用直线将积分区域分成、两部分：，于是原式 (2) 在极坐标中，直线和的
12、方程分别是和。因此，又，于是原式 (3) 在极坐标中，直线的方程为，圆的方程为，因此，故原式(4) 在极坐标中，直线的方程为，抛物线的方程为，即；两者的交点与原点的连线的方程是。因此，故原式4. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值(1) ； (2) ；(3) ； (4) 解(1) 在极坐标中，故原式 (2) 在极坐标中，故原式 (3) 在极坐标中，抛物线的方程为，即；直线的方程是，故，故原式(4) 在极坐标中，积分区域，于是原式5. 利用极坐标计算下列各题.(1) ，其中是由圆周所围成的闭区域；(2) ，其中是由圆周，及直线，所围成的在第一象限内的闭区域.解(1) 在极坐标中，故原式 (2
13、) 在极坐标中，故原式6. 选用适当的坐标计算下列各题：(1) ，其中是由直线，及曲线所围成的闭区域；(2) ，其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3) ，其中是由直线，所围成的闭区域；(4) ，其中是圆环形闭区域解(1) 选用直角坐标，故 (2) 选用极坐标，故(3) 选用直角坐标，(4) 选用极坐标，故7. 求由平面，以及球心在原点、半径为的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积解 习题8.51. 求圆锥面被柱面所割下部分的曲面面积；解：曲面面积公式，其中，所求曲面方程，得：2. 求由旋转抛物面与平面所围成立体在第一卦限部分的质量，假定其密度为；解：已知积分区域，3. 求
14、圆与所围的均匀环在第一象限部分的重心；解：由于是均匀圆环，即是一个常数，由重心坐标公式知，由于在第一象限，故其中，令，知此时有，得同理得，重心坐标为4. 求椭圆抛物面与平面所围成的均匀物体的重心；解：由于是均匀物体，是一个常数，由重心坐标公式知，令代入题给条件得，故用柱面坐标可得，同理可得，5. 求半径为，高为的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量。（设密度为）。解：根据题意知转动惯量是物体对于过中心平行于母线的轴的转动惯量，建立坐标系，以圆柱底面圆重心为坐标原点则由转动惯量公式可知，根据柱面坐标公式令6. 在均匀的半径为的半圆形薄板的直径另一边要接上一个一边与直径等长的同样材料的均
15、匀矩形薄板，为了使整个均匀薄板的重心恰好落在圆心上，问接上去的均匀矩形薄板另一边的长度应是多少？解：设均匀矩形薄板另一边的长度是a，以半圆圆心O建立坐标系，则由重心坐标公式可得：，推得，设半圆区域为，矩形区域为由圆坐标公式可得，同理可得出，得推得7. 求由抛物线及直线所围成的均匀薄板（面密度为常数）对于直线的转动惯量。解：此题是均匀薄板相对于轴的转动惯量，且面密度为常数，由转动惯量公式可知，由题意知，故得8. 设在面上有一质量为的匀质半圆形薄片，占有平面闭区域，过圆心垂直于薄片的直线上有一质量为的质点，.求半圆形薄片对质点的引力.解积分区域由于关于轴对称，且质量均匀分布，故又薄片的面密度，于是所求引力为 19 / 19