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1、天天练 14三角函数的性质一、选择题1(2018天津河东区模拟)函数ysin，xR是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的偶函数答案：C解析：函数ysincos2x，显然函数是偶函数，且最小正周期T.故选C.2(2018云南大理一模)函数f(x)3sin在x处取得最大值，则tan()AB.C D.答案：D解析：由题意，函数f(x)3sin在x处取得最大值，2k(kZ)，tan.故选D.3(2018广东惠州一模)函数ycos2x2sinx的最大值为()A. B1C. D2答案：C解析：ycos2x2sinx2sin2x2sinx1.设tsinx，则
2、1t1，所以原函数可以化为y2t22t122，所以当t时，函数y取得最大值为.故选C.方法总结有关三角函数的最值的求解方法有关三角函数的最值常用方法有以下几种：化成yasin2xbsinxc的形式，利用配方法求最值；形如y的可化为sinx(y)的形式性求最值；yasinxbcosx型，可化为ysin(x)求最值；形如ya(sinxcosx)bsinxcosxc的可设sinxcosxt换元后利用配方法求最值本题是利用的思路解答的4已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为4，且对任意的xR，有f(x)f成立，则f(x)图象的一个对称中心是()A. B.C. D.答案：A解析：由f(x)sin(x
3、)的最小正周期为4，得.因为f(x)f恒成立，所以f(x)maxf，即2k(kZ)，由|，得，故f(x)sin.令xk(kZ)，得x2k(kZ)，故f(x)图象的对称中心为(kZ)，当k0时，f(x)图象的对称中心为，故选A.5(2018南昌一模)已知f(x)cos2xacos在区间上是增函数，则实数a的取值范围为()A2，) B(2，)C(，4) D(，4答案：D解析：f(x)cos2xacos12sin2xasinx在上是增函数，ysinx在上单调递增且sinx.令tsinx，t，则y2t2at1在上单调递增，则1，因而a(，46(2018沈阳质检)已知f(x)2sin2x2sinxcos
4、x，则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间为()A2， B，C2， D，答案：D解析：f(x)2sin2x2sinxcosx1cos2xsin2x1sin，则f(x)的最小正周期T，由2k2x2k，kZ得kxk，kZ，结合选项知，f(x)的一个单调递增区间为.7(2018广东韶关六校联考)已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，若将f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ答案：A解析：由图可知A2，T4，2.由图可得点在函数图象上，2sin2，22k，kZ.由|，可得，f(x)2sin
5、，将yf(x)的图象向右平移个单位长度后，得到图象的函数解析式为g(x)2sin2sin2x.由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ，函数g(x)的单调递增区间为，kZ.故选A.8函数ysin(x)在同一个周期内，当x时，y取得最大值1，当x时，y取得最小值1.若函数f(x)满足方程f(x)a(0a1)，求在0,2内的所有实数根之和为()A. B.C. D.答案：A解析：由题意可得2，所以3.又sin1，所以2k(kZ)，所以2k(kZ)又|，所以，所以函数f(x)sin.由于f(x)sin的最小正周期为，所以f(x)sin在0,2内恰有3个周期，所以sina(0a1)在0,2内有6个实根，由
6、小到大依次记为x1，x2，x3，x4，x5，x6，令3x2k，kZ，可得x，kZ.依据f(x)图象的对称性可得x1x22，x3x42，x5x62，故所有实数之和为x1x2x6.故选A.二、填空题9(2018常州八校联考(一)在函数ycos|2x|，y|cos2x|，ycos，ytan2x中，最小正周期为的所有函数的序号为_答案：解析：ycos|2x|cos2x，最小正周期为；ycos2x，最小正周期为，由图象知y|cos2x|的最小正周期为；ycos的最小正周期T；ytan2x的最小正周期T.因此的最小正周期为.10(2018上海长宁区延安中学期中)函数ytan的单调递增区间为_答案：(kZ)
7、解析：函数ytan，令k2xk，kZ，解得x，kZ.所以函数f(x)的单调递增区间为(kZ)11(2018安徽淮北一模)函数y2sinx2cosxsin2x1，x的值域是_答案：解析：根据题意，令tsinxcosx，则有t212sinxcosx，即sin2xt21，yf(t)2t(t21)1t22t2(t1)23.又tsinxcosxsin，且x，x，sin，t.当t1时，f(t)取得最大值3；t时，f(t)取得最小值.函数yf(t)的值域为.易错警示求值域时忽略三角函数的有界性致错处理与正弦、余弦函数有关的复合函数的值域时，一定要注意三角函数的取值具有有界性，以及定义域对三角函数取值范围的影响三、解答题12(2017浙江卷，18)已知函数f(x)sin2xcos2x2sinxcosx(xR)(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间解析：本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识，同时考查运算求解能力(1)由sin，cos，f222，得f2.(2)由cos2xcos2xsin2x与sin2x2sinxcosx得f(x)cos2xsin2x2sin.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质得2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.所以，f(x)的单调递增区间是(kZ)