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1、4.3.2空间两点间的距离公式学习目标1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离知识点空间两点间的距离公式思考如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少？答案.梳理(1)在空间直角坐标系Oxyz中，任意一点P(x，y，z)与原点间的距离|OP|.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|.类型一求空间两点间的距离例1如图，正方体ABCDABCD的棱长为a，|AN|2|CN|，|BM|2|MC|，求|MN|的长解建立如图所示空间直角
2、坐标系，过M作MF垂直BC于F，连接NF，显然MF垂直于平面ABCD，所以MFNF，因为|BM|2|MC|，所以|BF|2|FC|.又|AN|2|CN|，所以NFAB，所以|NF|FC|AB|，同理|MF|CC|，因此，点N的坐标为，点M的坐标为，所以|MN|a.反思与感悟在平面直角坐标系中，我们学习了很多性质，但这些性质在空间直角坐标系中并不能全部都适用如平面直角坐标系中的中点坐标公式，两点间距离公式可类比到三维空间中，而对直线方程及一些判定定理、性质则在三维空间中不适用跟踪训练1如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|CB|CA|2，ACCB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点
3、，F是AC的中点，求DE，EF的长度解以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系|C1C|CB|CA|2，C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式，可得D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，|DE|，|EF|.类型二求空间点的坐标例2已知点A(4,5,6)，B(5,0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|PB|，则点P的坐标为_答案(0,0,6)解析设P(0,0，z)，由|PA|PB|，得，解得z6.点P的坐标为(0,0,6)引申探究1若本例中已知条件不变，问能
4、否在z轴上找一点P，使得ABP是以AB为底边的等腰三角形？解与例2的结论一样，P(0,0,6)2若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？解设P(0，y,0)，由|PA|PB|，得，解得y.点P的坐标为(0，0)反思与感悟(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解跟踪训练2设点P在x轴上，使它到点P1(0，3)的距离是到点P2(0,1，1)的距离的2倍，求点P的坐标解因为P在x轴上，所以设P点坐标为(x,0,0)因为|PP1
5、|2|PP2|，所以2，所以x1，所以点P的坐标为(1,0,0)或(1,0,0)类型三空间两点间距离公式的应用例3已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|BN|a(0a )(1)求|MN|的长；(2)当a为何值时，|MN|的长最小解平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，ABBE，BE平面ABCD，AB、BC、BE两两垂直过点M作MGAB，MHBC，垂足分别为G、H，连接NG，易证NGAB.|CM|BN|a，|CH|MH|BG|GN|a，以B为原点，以BA、BE、BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如
6、图所示的空间直角坐标系Bxyz，则M，N.(1)|MN|.(2)由(1)得当a时，|MN|最短，最短为，这时M、N恰好为AC、BF的中点反思与感悟距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值跟踪训练3如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值解建立如图所示的空间直角坐标系，
7、则P(，)Q点在CD上，设Q(0,1，z)，z0,1，|PQ|，当z时，|PQ|min.1坐标原点到下列各点距离最大的点是()A(1,1,1) B(1,2,2)C(2，3,5) D(3,0,4)答案C2已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|2，则实数x的值是()A3或4 B6或2C3或4 D6或2答案D解析由空间两点间的距离公式，得2，解得x6或x2.3已知三角形的三个顶点A(2，1,4)，B(3,2，6)，C(5,0,2)，则过A点的中线长为()A. B2 C11 D3答案B解析BC的中点坐标为(4,1，2)，过A点的中线长为2.4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正
8、方体ABCDABCD，AC的中点E与AB的中点F的距离为()A.a B.aCa D.a答案B解析A(a,0，a)，C(0，a,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，E点坐标为(，)，F点坐标为(a，0)，|EF|a.5已知点A(1，a，5)，B(2a，7，2)，则|AB|的最小值为_答案3解析|AB|.当a1时，|AB|的值最小，最小值为3.1空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想2若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解课时作业一、选择
9、题1点A在z轴上，它到点(2，1)的距离是，则A点的坐标为()A(0,0，1) B(0,1,1)C(0,0,1) D(0,0,13)答案C解析设A(0,0，c)，则，解得c1.所以点A的坐标为(0,0,1)2设点B是点A(2，3,5)关于xOy平面的对称点，则A，B两点的距离为()A10 B. C. D38答案A解析点B是A(2，3,5)关于xOy平面的对称点，点B的横坐标和纵坐标与点A相同，竖坐标相反，B(2，3，5)，AB的长度是5(5)10.故选A.3在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是()A. B. C. D.答案A解析如图，不妨设B1点为定点由题意
10、知，|B1A|B1C|B1D|1.|OB1| .4已知ABC的顶点坐标是A(3,1,1)，B(5,2,1)，C(，2,3)，则它在yOz平面上的射影图形的面积是()A4 B3 C2 D1答案D解析ABC的三个顶点A、B、C在yOz平面上的射影点的坐标分别为(0,1,1)、(0,2,1)、(0,2,3)，它在yOz平面上是一个直角三角形，容易求出它的面积为1.5已知三点A(1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则()A三点构成等腰三角形B三点构成直角三角形C三点构成等腰直角三角形D三点构不成三角形答案D解析|AB|，|AC|2，|BC|，|AB|BC|AC|，三点A，B，C共线，构不
11、成三角形，故选D.6已知A(x,5x,2x1)，B(1，x2,2x)，当|AB|取最小值时，x的值为()A19 B C. D.答案C解析|AB|，当x时，|AB|最小7一束光线自点P(1,1,1)发出，遇到平面xOy被反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是()A. B. C. D.答案D解析点P(1,1,1)关于平面xOy的对称点M的坐标为(1,1，1)一束光线自点P(1,1,1)发出，遇到平面xOy被反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是.二、填空题8在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则点M的
12、坐标为_答案(0，1,0)解析设点M的坐标为(0，y,0)，由|MA|MB|，得(01)2(y0)2(02)2(01)2(y3)2(01)2，整理得6y60，y1，即点M的坐标为(0，1,0)9已知正方体的六个面中，不在同一平面的两点的坐标分别为A(1,2，1)，B(3，2,3)，则正方体的体积是_答案64解析|AB|4.又因为A(1,2，1)，B(3，2,3)不在同一平面上，所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长设正方体的边长为a，则a4，即a4，所以正方体的体积为64.10以原点为球心，5为半径的球面上的动点P的坐标为P(x，y，z)，则x，y，z满足的关系式为_答案x2y2z225
13、解析由空间两点间距离公式可得x2y2z225.11.如图，在空间直角坐标系中，|BC|2，原点O是BC的中点，点A(，0)，点D在平面yOz上，且BDC90，DCB30，则三棱锥DABC的体积为_答案解析因为BDC90，DCB30，|BC|2.所以|BD|1，|CD|BC|cos 30，所以SBCD|BD|CD|.因为A(，0)，即点A到BC的距离为，所以三棱锥DABC的体积为V.三、解答题12在空间直角坐标系Oxyz中，(1)在z轴上求一点P，使得它到点A(4,5,6)与到点B(7,3,11)的距离相等；(2)已知点M到坐标原点的距离等于2，且它的坐标分量相等，求该点的坐标解(1)设P点坐标
14、为(0,0，c)，因为|PA|PB|，所以，所以c，所以P点坐标为(0,0，)(2)设M点坐标为(a，a，a)，由2.得a24，所以a2，所以M点坐标为(2,2,2)或(2，2，2)13如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为a，P，Q分别是DB，BC的中点，求|PQ|.解以D为坐标原点，DA，DC，DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由题意得B(a，a,0)，D(0,0，a)，所以P(，)又C(0，a,0)，B(a，a，a)，所以Q(，a，)所以|PQ|.四、探究与拓展14对于任意实数x，y，z，则的最小值为_答案解析设P(x，y，z)，M(1,2,1)，则|PO|PM|，
15、由于x，y，z是任意实数，即点P是空间中任意一点，则|PO|PM|OM|，即所求的最小值为.15在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，3)试问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解(1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|MB|.因为M在y轴上，所以可设M(0，y,0)由|MA|MB|，得，显然，此式对任意yR恒成立，即y轴上所有点都满足|MA|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使MAB为等边三角形由(1)可知，y轴上任一点都有|MA|MB|，所以只要|MA|AB|就可以使得MAB是等边三角形因为|MA|，|AB|，所以，解得y，故y轴上存在点M使MAB是等边三角形，点M的坐标为(0，0)或(0，0)