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1、4.2.2圆与圆的位置关系学习目标1.理解圆与圆的位置关系的种类.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系.3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性知识点两圆位置关系的判定思考1圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？答案圆与圆的位置关系有五种，分别为：相离、外切、相交、内切、内含几何方法判断圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1r2)，则(1)当dr1r2时，圆C1与圆C2相离；(2)当dr1r2 时，圆C1与圆C2外切；(3)当|r1r2|dr1r2 时，圆C1与圆C2相交；(4
2、)当d|r1r2|时，圆C1与圆C2内切；(5)当d|r1r2|时，圆C1与圆C2内含思考2已知两圆C1：x2y2D1xE1yF10和C2：x2y2D2xE2yF20，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？答案联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式0时，两圆相交，当0时，两圆外切或内切，当0时，两圆外离或内含梳理(1)用几何法判定圆与圆的位置关系已知两圆C1：(xx1)2(yy1)2r，C2：(xx2)2(yy2)2r，则圆心距d|C1C2|.两圆C1，C2有以下位置关系：位置关系相离内含相交内切外切圆心距与半径的关系dr1r2d|r1r2|r1r2|dr1r2d|r1
3、r2|dr1r2图示(2)用代数法判定圆与圆的位置关系已知两圆：C1：x2y2D1xE1yF10，C2：x2y2D2xE2yF20，将方程联立消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，则判别式0时，C1与C2相交；判别式0时，C1与C2外切或内切；判别式0时，C1与C2相离或内含类型一两圆的位置关系例1已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B相交C外切 D相离答案B解析由得两交点分别为(0,0)，(a，a)圆M截直线所得线段的长度为2，2，又a0，a2.圆M的方程为x2y24y0，即x2(y2)24，
4、圆心为M(0,2)，半径为r12.又圆N：(x1)2(y1)21，圆心为N(1,1)，半径为r21，|MN|.r1r21，r1r23,1|MN|3，两圆相交反思与感悟判断圆与圆的位置关系的一般步骤(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要)(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2.(3)求两圆的圆心距d.(4)比较d与|r1r2|，r1r2的大小关系(5)根据大小关系确定位置关系跟踪训练1已知圆C1：x2y22x4y40和圆C2：4x24y216x8y190，则这两个圆的公切线的条数为()A1或3 B4 C0 D2答案D解析由圆C1：(x1)2(y2)21，圆C2
5、：(x2)2(y1)2，得C1(1，2)，C2(2，1)，|C1C2|.又r11，r2，则r1r2|C1C2|r1r2，圆C1与圆C2相交故这两个圆的公切线共2条例2当a为何值时，两圆C1：x2y22ax4ya250和C2：x2y22x2aya230：(1)外切；(2)相交；(3)相离解将两圆方程写成标准方程，则C1：(xa)2(y2)29，C2：(x1)2(ya)24.两圆的圆心和半径分别为C1(a，2)，r13，C2(1，a)，r22.设两圆的圆心距为d，则d2(a1)2(2a)22a26a5.(1)当d5，即2a26a525时，两圆外切，此时a5或a2.(2)当1d5，即12a26a52
6、5时，两圆相交，此时5a2或1a2.(3)当d5，即2a26a525时，两圆相离，此时a2或a5.反思与感悟(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径计算两圆圆心的距离d.通过d，r1r2，|r1r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系跟踪训练2若圆C1：x2y216与圆C2：(xa)2y21相切，则a的值为()A3 B5C3或5 D3或5答案D解析圆C1与圆C2的圆心距为d|a|.当两圆外切时
7、，有|a|415，a5；当两圆内切时，有|a|413，a3.类型二两圆的公共弦问题例3已知两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80.(1)判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度解(1)将两圆方程配方化为标准方程，则C1：(x1)2(y5)250，C2：(x1)2(y1)210，圆C1的圆心坐标为(1，5)，半径为r15，圆C2的圆心坐标为(1，1)，半径为r2.又|C1C2|2，r1r25，|r1r2|5|，|r1r2|C1C2|r1r2，两圆相交(2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x2y40.(3)方法一由(2)知圆C1的圆心(1，5)到直
8、线x2y40的距离为d3，公共弦长为l222.方法二设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解得或|AB|2.即公共弦长为2.反思与感悟(1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法若圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20.(2)公共弦长的求法代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解跟踪训练3(1)两圆相交于两点A(1,3)和B(m，1)，两圆圆心都在直线xyc0上
9、，则mc的值为_答案3解析由题意知直线AB与直线xyc0垂直，kAB11，即1，得m5，AB的中点坐标为(3,1)又AB的中点在直线xyc0上，31c0，c2，mc523.(2)求圆C1：x2y21与圆C2：x2y22x2y10的公共弦所在的直线被圆C3：(x1)2(y1)2截得的弦长解由题意将两圆的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为xy10.又圆C3的圆心坐标为(1,1)，其到直线l的距离为d，由条件知，r2d2，所以弦长为2.类型三圆系方程及应用例4求圆心在直线xy40上，且过两圆x2y24x60和x2y24y60的交点的圆的方程解方法一设经过两圆交点的圆系方程为x2y
10、24x6(x2y24y6)0(1)，即x2y2xy60，所以圆心坐标为(，)又圆心在直线xy40上，所以40，即.所以所求圆的方程为x2y26x2y60.方法二由得两圆公共弦所在直线的方程为yx.由解得所以两圆x2y24x60和x2y24y60的交点坐标分别为A(1，1)，B(3,3)，线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y1(x1)由得即所求圆的圆心为(3，1)，半径为4.所以所求圆的方程为(x3)2(y1)216.反思与感悟当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x2y2D1xE1yF1)(x2y2D2xE2yF2)0，然后用待定系数法求出即可跟踪训练4求过两圆C1：x2y24x2y10与C2
11、：x2y26x0的交点且过点(2，2)的圆的方程解设过两圆C1：x2y24x2y10与C2：x2y26x0的交点的圆系方程为x2y24x2y1(x2y26x)0，即(1)x2(1)y2(46)x2y10.把(2，2)代入，得4(1)4(1)2(46)410，解得.圆的方程为x2y22x8y40.1两圆x2y210和x2y24x2y40的位置关系是()A内切 B相交 C外切 D相离答案B解析圆x2y210的圆心为C1(0,0)，半径为r11，圆x2y24x2y40的圆心为C2(2，1)，半径为r23，两圆的圆心距为d|C1C2|，又r2r12，r1r24，所以r2r1d0 ，若AB中有且仅有一个
12、元素，则r的值是_答案3或7解析AB中有且仅有一个元素，圆x2y24与圆(x3)2(y4)2r2相切当两圆内切时，由|2r|，解得r7；当两圆外切时，由2r，解得r3.r3或7.11经过直线xy10与圆x2y22的交点，且过点(1,2)的圆的方程为_答案x2y2xy0解析由已知可设所求圆的方程为x2y22(xy1)0，将(1,2)代入，可得，故所求圆的方程为x2y2xy0.三、解答题12已知圆O1：x2(y1)24，圆O2的圆心O2(2,1)(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|2，求圆O2的方程解(1)设圆O2半径为r2，因为两圆外切，所
13、以|O1O2|r22.又|O1O2|2，所以r2|O1O2|22(1)，故圆O2的方程为(x2)2(y1)2128.(2)设圆O2的方程为(x2)2(y1)2r，因为圆O1的方程为x2(y1)24，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在的直线方程为4x4yr80，作O1HAB，H为垂足，则|AH|AB|，所以|O1H|.由圆心O1(0，1)到直线4x4yr80的距离为，得r4或r20，故圆O2的方程为(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.四、探究与拓展13已知圆C1：x2y24x10和圆C2：x2y22x2y10，则以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程为_答案(x1)2(y1)21解析由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为xy0.圆C1：(x2)2y23，圆C2：(x1)2(y1)21，圆心C1(2,0)，C2(1，1)，两圆连心线所在直线的方程为，即xy20.由得所求圆的圆心为(1，1)又圆心C1(2,0)到公共弦所在直线xy0的距离d，所求圆的半径r1，所求圆的方程为(x1)2(y1)21.14求与圆C：x2y22x0外切且与直线l：xy0相切于点M(3，)的圆的方程解圆C的方程可化为(x1)2y21，圆心为C(1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，由题意可知解得故所求圆的方程为(x4)2y24.