《2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.2.1 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.2.1 .docx（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、4.2.1直线与圆的位置关系学习目标1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题知识点直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离为ddr代数法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式001，所以点A在圆外若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)，即kxy4k30.设圆心为C，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21，解得k.所以切线
2、方程为xy30，即15x8y360.若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x4的距离为1，这时直线x4与圆相切，所以另一条切线方程为x4.综上，所求切线方程为15x8y360或x4.引申探究若本例的条件不变，求其切线长解因为圆心C的坐标为(3,1)，设切点为B，则ABC为直角三角形，|AC|，又|BC|r1，则|AB|4，所以切线长为4.反思与感悟求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程如果k0或斜率不存在，则由图
3、形可直接得切线方程为yy0或xx0.(2)求圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解：设切线方程为yy0k(xx0)，即kxykx0y00，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出跟踪训练2若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为_答案x2y50解析点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，可得此圆的方程为x2y25，所以该圆在点P处的切线方程为1x2y5，即x2y50.例3过点A(4,1)的圆C与直线xy10相切于点B(2，1)，则圆C的方程为_答案(x3
4、)2y22解析由已知kAB0，所以AB的中垂线方程为x3.过B点且垂直于直线xy10的直线方程为y1(x2)，即xy30，联立，解得所以圆心坐标为(3,0)，半径r，所以圆C的方程为(x3)2y22.反思与感悟此类题易错点是求最值时，对参数无法破解而致错，避免此类错误的关键：一是会用公式，即会利用点到直线的距离公式求距离；二是会转化，把要求的半径最大问题，转化为求代数式的最值；三是会利用圆的标准方程写出圆的方程. 跟踪训练3已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22
5、答案B解析设圆心为C(a，a)，则，解得a1，所以r，圆C的方程为(x1)2(y1)22.故选B.类型三弦长问题例4(1)过圆x2y28内的点P(1,2)作直线l交圆于A，B两点若直线l的倾斜角为135，则弦AB的长为_(2)圆心为C(2，1)，截直线yx1的弦长为2的圆的方程为_答案(1)(2)(x2)2(y1)24解析(1)方法一(交点法)由题意知，直线l的方程为y2(x1)，即xy10.由解得A(，)，B(，)|AB|.方法二(弦长公式)由题意知，直线l的方程为y2(x1)，即xy10.由消去y，得2x22x70.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x21，x1x2.|AB|.方法
6、三(几何法)由题意知直线l的方程为y2(x1)，即xy10，圆心O(0,0)到直线l的距离为d，则有|AB|22 .(2)设圆的半径为r，由条件，得圆心到直线yx1的距离为d.又直线yx1被圆截得的弦长为2，即半弦长为，r2224，得r2，所求圆的方程为(x2)2(y1)24.(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2y225相交于A、B两点，截得的弦长为4，求直线l的方程解方法一若直线l的斜率不存在，则l：x5与圆C相切，不合题意，直线l的斜率存在，设其方程为y5k(x5)，即kxy5(1k)0.如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，在
7、RtAHO中，|OA|5，|AH|AB|42.|OH|，解得k或k2.直线l的方程为x2y50或2xy50.方法二若直线l的斜率不存在，则l：x5与圆C相切，不合题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y5k(x5)，且与圆相交于A(x1，y1), B(x2，y2)两点由消去y，得(k21)x210k(1k)x25k(k2)0，10k(1k)24(k21)25k(k2)0，解得k0.又x1x2，x1x2，由斜率公式， 得y1y2k(x1x2)|AB|4，两边平方，整理得2k25k20，解得k或k2，均符合题意故直线l的方程为x2y50或2xy50.反思与感悟求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1
8、)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式 |AB|求解(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2| |y1y2|(直线l的斜率k存在) (3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有()2d2r2，即|AB|2.通常采用几何法较为简便跟踪训练4已知直线l：kxyk20与圆C：x2y28.(1)证明：直线l与圆相交；(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长(1)证明l：kxyk20，直线l可化为y2k(
9、x1)，直线l经过定点(1,2)，(1)2228，(1,2)在圆C内，直线l与圆相交(2)解由(1)知，直线l过定点P(1,2)，又圆C：x2y28的圆心为原点O，则与OP垂直的直线截得的弦长最短kOP2，kl，直线l：y2(x1)，即x2y50.设直线l与圆交于A、B两点，|AB|222.直线l的方程为x2y50，弦长为2.1直线yx1与圆x2y21的位置关系是()A相切B相交但直线不过圆心C直线过圆心D相离答案B解析圆心到直线的距离为d0)由于圆过点(1,0)，则半径为r|x01|，圆心到直线xy10的距离为d.由弦长为2可知，2(x01)22，解得(x01)24，x012，x03或x01
10、(舍去)故圆心坐标为(3,0)，半径为2，所求圆的方程为(x3)2y24.10由直线yx1上的一点向圆x26xy280引切线，则切线长的最小值为_答案解析切线长的最小值在直线yx1上的点与圆心的距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d2，圆的半径为1，故切线长的最小值为.三、解答题11已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x3y0上，且被直线yx截得的弦长为2，求圆C的方程解设圆心坐标为(3m，m)，圆C和y轴相切，圆C的半径为3|m|.圆心到直线yx的距离为|m|，由半径、弦心距、半弦长的关系，得9m272m2，m1.所求圆C的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.12已知圆
11、C：x2y22x4y40.问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点O.解假设存在且设l为yxm，圆C化为标准方程为(x1)2(y2)29，圆心C(1，2)解方程组得AB的中点N的坐标为N(，)由于以AB为直径的圆过原点，所以|AN|ON|.又|AN|，|ON|.所以922，解得m1或m4.所以存在直线l，方程为xy10和xy40，并可以检验，这时l与圆C是相交于两点的13已知圆C：x2(y1)25，直线l：mxy1m0.(1)求证：对任意mR，直线l与圆C总有两个不同的交点；(2)设l与圆C交于A，B两点，若|AB|，求直线l的倾斜角(1)证明由已知得直
12、线l：y1m(x1)，所以直线l恒过定点P(1,1)，因为1215，所以点P在圆C内，所以直线l与圆C总有两个不同的交点(2)解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组消去y得(m21)x22m2xm250，则x1，x2是一元二次方程的两个实根，x1x2，x1x2.因为|AB|x1x2|，即，所以m23，m，所以直线l的倾斜角为60或120.四、探究与拓展14过点A(11,2)作圆x2y22x4y1640的弦，其中弦长为整数的有_条答案32解析由题意可知过点A(11,2)的最短的弦长为10，最长的弦长为26，所以弦长为整数的有22(26101)32(条)15已知圆C过点M(0，2)，N
13、(3,1)，且圆心C在直线x2y10上(1)求圆C的方程；(2)问是否存在满足以下两个条件的直线l：直线l的斜率为1；直线l被圆C所截得的弦为AB，以AB为直径的圆C1过原点若存在这样的直线l，请求出其方程；若不存在，请说明理由解(1)设圆C的方程为x2y2DxEyF0，则解得D6，E4，F4，所以圆C的方程为x2y26x4y40.(2)假设存在这样的直线l，其方程为yxb.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则联立消去y得2x22(b1)xb24b40，(*)y1y2(x1b)(x2b)x1x2b(x1x2)b2.AB为直径，圆C1过原点，AOB90，|OA|2|OB|2|AB|2，xyxy(x1x2)2(y1y2)2，得x1x2y1y20，2x1x2b(x1x2)b20，即b24b4b(1b)b20，解得b1或b4.容易验证b1或b4时方程(*)有实根故存在这样的直线l，其方程是xy10或xy40.