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1、1圆的两种方程的区别与联系圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2；而二元二次方程x2y2DxEyF0，当D2E24F0时，表示圆心为，半径为r的圆，叫做圆的一般方程二者的相同点表现在：(1)二者的实质相同，可以互相转化；标准方程展开后就是一般方程，而一般方程经过配方后就转化为了标准方程掌握这一点对于更好地理解一般方程是很有帮助的(2)不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a、b、r或D、E、F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件利用待定系数法得到关于a、b、r(或D、E、F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定系数的值标准方程与一般方程的差别主要表现在以下两
2、点：1二者确定圆的条件不同例1圆心P在直线yx上，且与直线x2y10相切的圆，截y轴所得的弦长|AB|2，求此圆的方程解圆心P在直线yx上，可设P的坐标为(k，k)，设圆的方程为(xk)2(yk)2r2(r0)作PQAB于Q，连接AP，在RtAPQ中，|AQ|1，|AP|r，|PQ|k|，r.又r，整理得2k23k20，解得k2或k.当k2时，圆的半径为r，故圆的方程为(x2)2(y2)25.当k时，圆的半径为r，故圆的方程为22.因此所求圆的方程为(x2)2(y2)25或22.例2已知ABC各顶点的坐标分别为A(1,5)，B(2，2)，C(5,5)，求其外接圆的方程分析可利用待定系数法，设出
3、圆的一般方程，根据所列条件求得系数，进而得到方程解设过A、B、C三点的圆的方程为x2y2DxEyF0，将A(1,5)，B(2，2)，C(5,5)代入，可得解得D4，E2，F20，其外接圆的方程为x2y24x2y200.评注圆的标准方程侧重于圆心坐标和半径，因此在题目条件中涉及到圆心坐标时，多选用标准方程；而已知条件和圆心或半径都无直接关系时，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.需要指出的是，应用待定系数法，要尽可能少设变量，从而简化计算另外对于已知圆上两点或三点求圆的方程，通常情况下利用一般式更简单2二者的应用方面不同例3若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线yx(x0)相
4、切，求这个圆的方程分析利用“半径为1的圆与y轴的正半轴相切”这一条件可以直接求得圆心的横坐标，这是本题方程求解的一个突破口解由题意知，圆心的横坐标及半径为1，纵坐标大于0，设圆心纵坐标为b(b0)，则圆的方程为(x1)2(yb)21(b0)，圆与射线yx(x0)相切，1，解得b，圆的方程为(x1)2(y)21.评注圆的标准方程明显带有几何的影子，圆心和半径一目了然，因此结合初中平面几何中的垂径定理可以使问题的求解简化；而圆的一般方程明显表现出代数的形式与结构，更适合方程理论的运用2圆弦长的求法1利用两点间的距离公式若直线与圆相交的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|
5、.例1求过原点且倾斜角为60的直线被圆x2y24y0所截得的弦长解设直线与圆相交时的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知直线的方程为yx.解方程组得或|AB|2.评注解由直线方程与圆方程联立的方程组得弦的两端点的坐标，再由两点间的距离公式求解这是一种最基本的方法，当方程组比较容易解时常用此法2利用勾股定理若弦心距为d，圆的半径为r，则弦长|AB|2.例2求直线x2y0被圆x2y26x2y150所截得的弦长|AB|.解把圆x2y26x2y150化为标准方程为(x3)2(y1)225，所以其圆心坐标为(3,1)，半径为r5.因为圆心(3,1)到直线x2y0的距离为d，所以弦
6、长|AB|24.3利用弦长公式若直线l的斜率为k，与圆相交时的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|x1x2|.例3求直线2xy20被圆(x3)2y29所截得的弦长|AB|.解设直线与圆相交时的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去y整理得5x214x40，则x1x2，x1x2.|AB|.评注通常设出弦的两端点的坐标(不必求出，即设而不求)，联立直线方程与圆方程消去y(或x)转化为关于x(或y)的一元二次方程，再结合根与系数的关系即可得解.3妙用对策简解“圆”的问题在学习圆的知识时，往往会遇到一些综合性强、运算量大的问题，解决这类问题的关键是避开复杂运
7、算，减少运算量现举例介绍求解圆问题的三条简解对策1合理选用方程要学会选择合适的“圆的方程”，如果方程选择得当，运算量就会减少，解法就简捷如果问题中给出圆心坐标关系或圆心的特殊位置或半径大小时，选用标准方程；否则，选用一般方程例1求圆心在直线2xy30上，且过点A(5,2)，B(3，2)的圆的方程解设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)因为圆过点A(5,2)，B(3，2)，所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上易得线段AB的垂直平分线方程为y(x4)又因为圆心在直线2xy30上，所以由解得即圆心坐标为(2,1)又圆的半径为r.所以圆的方程为(x2)2(y1)210.2数形结合，充分运用圆
8、的几何性质求解直线与圆的位置关系问题时，为避免计算量过大，可以数形结合，充分运用圆的几何性质求解比如，圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上；计算弦长时，可用半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形；涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径等例2已知直线l：ykx1，圆C：(x1)2(y1)212.(1)证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长方法一(1)证明由消去y得(k21)x2(24k)x70，因为(24k)228(k21)0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点(2)解设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得
9、的弦长为|AB|x1x2|22，令t，则tk24k(t3)0，当t0时，k，当t0时，因为kR，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最大值为4，此时|AB|最小为2.方法二(1)证明圆心C(1，1)到直线l的距离为d，圆C的半径为R2，R2d212，而在S11k24k8中，(4)241180对kR恒成立，所以R2d20，即dR，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点(2)解由平面几何知识，知|AB|22，下同方法一方法三(1)证明因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|1，所以点M在圆O外连接MO并延长，顺次交圆O于D，E两点，则|MD|PM|ME|，即|M
10、O|r|PM|MO|r.所以|PM|的最小值为|MO|r1，即(x2)2(y3)2的最小值为(1)2142.评注本例从运动变化的角度出发(让点P在圆上运动)，在运动中寻觅最值取得的条件，从而使问题获解2方程思想通过观察、分析、判断将问题化归为方程的问题，利用方程的性质，实现问题与方程的互相转化，达到解决问题的目的例2已知过点(3,0)的直线l与圆x2y2x6y30相交于P，Q两点，且OPOQ(其中O为原点)，求直线l的方程分析由条件OPOQ，若设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则1.由P，Q在圆及直线上，可借助方程求解解设直线l的方程为xay30(a0)，则点P(x1，y1)，Q(x2，y
11、2)的坐标满足方程组消去y，得x22x630，即x2x30，所以x1x2.由方程组消去x，得(3ay)2y2(3ay)6y30，即(a21)y2(7a6)y150，所以y1y2.因为OPOQ，所以1，即x1x2y1y20，由，得0.整理得a26a80，解得a2或a4.故直线l的方程为x2y30或x4y30.评注本题巧用根与系数的关系与方程思想，使问题得以顺利解决3转化思想所谓转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决问题的一种方法一般地，总是将复杂的问题转化为简单的问题，将未知的问题转化为已知的问题例3求圆(x2)2(y3)24上的点到直线xy2
12、0的最大距离与最小距离分析圆是一个对称图形，依其对称性，圆上的点到直线的最大(小)距离为圆心到直线的距离加上(减去)半径解由圆的方程(x2)2(y3)24易知，其圆心坐标为(2，3)，半径为r2.所以圆心(2，3)到直线xy20的距离为d.故圆(x2)2(y3)24上的点到直线xy20的最大距离为2，最小距离为2.评注凡是涉及与圆有关的距离问题，均可转化为圆心到直线的距离问题以上三例告诉我们，在平面解析几何初步相关问题中，蕴含着丰富的数学思想，合理且正确地运用这些数学思想，对数学问题的有效解决意义重大因此在平时的学习中应注意这些数学思想的运用，并及时加以体会和总结.5圆与圆位置关系考点透视圆与
13、圆的位置关系在近年高考命题中，常以选择题或填空题形式出现，难度不大，属于基础题或中档题因此，知识的熟练性与常规技能的全面性是正确求解此类问题的关键1直接判断圆与圆的位置关系已知两圆的方程，让我们根据方程直接判断两圆的位置关系例1圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是()A相离 B相交 C外切 D内切解析由圆O1：x2y22x0，得(x1)2y21，即圆心O1(1,0)，半径r11.由圆O2：x2y24y0，得x2(y2)24，即圆心O2(0,2)，半径r22.则|O1O2|，1|r1r2|O1O2|0)的公共弦的长为，求r的值求解提示利用两圆连心线垂直平分公共弦这一性质，分
14、两圆圆心在公共弦的异侧和同侧两种情况，讨论求解解设两圆的公共弦的两个端点为A、B.如图，当两圆圆心在公共弦异侧时，连接C1A、C2A、C1C2，则C1C2AB.设C1C2ABM，则M是AB的中点在RtC1MA中，可得|C1M|，又|C1C2|3，所以|MC2|C1C2|C1M|3，所以|AC2|AC1|2，即r2.如图，当两圆圆心在公共弦同侧时，连接C1A、C2A、C1C2，则C1C2AB.设C1C2ABM，则M是AB的中点在RtC1MA中，可得|C1M|，又|C1C2|3，所以|MC2|C1M|C1C2|3，所以|AC2|，即r.评注因为解答本题要同时在两个圆中展开计算，所以必须运用公共弦的
15、性质，方可保证运算畅通忽视两圆圆心在公共弦同侧的情形是本题的一个易错点7空间两点间距离公式的应用在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间中的两点，则|AB|，此公式应用比较广泛，下面举例说明其在以下几类问题中的应用1求距离例1求点A(0,1,3)与点B(2,0,1)之间的距离分析解答本题可直接利用空间两点间的距离公式解|AB|3.评注利用空间两点的距离公式可求空间中任意两点的距离2判断三角形的形状例2已知点A(10，1,6)，B(4,1,9)，C(2,4,3)，求证：ABC为等腰直角三角形分析利用空间两点间的距离公式，求出三角形的三边长，从而判断三角形的形状证
16、明利用空间两点间的距离公式，得|AB|7，|BC|7，|AC|7，所以有|AB|BC|且|AC|2|AB|2|BC|2，所以ABC为等腰直角三角形评注有关三角形形状的判断，常常根据两点间的距离公式求出边长，然后根据勾股定理等知识再去判断3判断三点共线例3已知A(3，2，1)，B(1，3,2)，C(5，4,5)，求证：A、B、C三点共线分析利用空间两点间的距离公式求出任意两点的距离，从而判断三点是否在一条直线上证明利用空间两点间的距离公式，得|AB|，|BC|，|AC|2.所以|AC|AB|BC|，所以A，B，C三点共线评注运用此种方法可以证明三点共线问题4求点的坐标例4在空间直角坐标系中，已知点P(1,0,1)，Q(4,3，1)，在z轴上是否存在一点M，使|MP|MQ|？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由分析对于点M是否存在，可先在z轴上设出点M的坐标，再根据点M满足的条件去求解判断解假设在z轴上存在点M，设为(0,0，z)由|MP|MQ|，得，两边平方整理得z22z2z22z26，即z6.所以在z轴上存在一点M(0,0，6)，使|MP|MQ|.评注此题属于“存在性”开放题，对于此类问题的求解，先假设存在，通过解方程得出结论，然后检验是否符合条件或所学知识，符合则存在，不符合则不存在