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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆一、单项挑选题1两个矢量的矢量积（叉乘）满意以下运算规律（B ）A. 交换律 A B B A B. 安排率 A B C A B A CC. 结合率 D. 以上均不满意2. 下面不是矢量的是（C ）A. 标量的梯度 B. 矢量的旋度C. 矢量的 散度 D. 两个矢量的叉乘3. 下面表述正确的为（B ）A. 矢量场的散度结果为一矢量场 B. 标量场的梯度结果为一矢量 具有方向性,最值方向 C. 矢量场的旋度结果为一标量场D. 标量场的梯度结果为一标量4. 矢量场的散度在直角坐标下的表示形式为（D ）e yA zze z0A
2、 AAABA xe xA yxyzxyA zCAe xAe yAe zDA xA yxyzA dVxyz5. 散度定理的表达式为（A ） 体积分化为面积分A. sA dsVAdVB. sA dsVC. sA dsVA dVD. sA dsVA dV6. 斯托克斯定理的表达式为（B ）面积分化为线积分A dsA. . LA dlsA dsB. . LA dlsC. . LAdlsA dsD. .A dlA dss7. 以下表达式成立的是（C ）两个恒等式g A 0,uA. sAdsVA dV；B. g u0；C. g A 0；D. g u08. 下面关于亥姆霍兹定理的描述,正确选项（A ）（注：
3、只知道散度或旋度,是不能全面反映场的性质的）A. 讨论一个矢量场,必需讨论它的散度和旋度,才能确定该矢量场的性质；B. 讨论一个矢量场,只要讨论它的散度就可确定该矢量场的性质；C. 讨论一个矢量场,只要讨论它的旋度就可确定该矢量场的性质；D. 讨论一个矢量场,只要讨论它的梯度就可确定该矢量场的性质；二、判定题正确的在括号中打“ ”,错误的打 “ ”； 1.描画物理状态空间分布的标量函数和矢量函数,在时间为肯定值的情形下,它们是唯独名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆的； 2. 矢量场在闭合路
4、径上的环流和在闭合面上的通量都是标量； 标量3. 空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面； 矢量 ； 4. 标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量； 5. 矢量场在闭合路径上的环流是标量,矢量场在闭合面上的通量是6. 梯度的方向是等值面的切线 方向； 法线方向三、 运算题1某二维标量函数uy22 x ,求（ 1）标量函数梯度u ;（2）求梯度在正x方向的投影；解：（1）标量函数的梯度是uue xue y2e x2ye yxy（2）梯度在正 x 方向的投影u e x 2 e x2ye ye x222已知某二维标量场u x y , x2 y ,求（1）标量函数的梯度； （ 2）求出通过点
5、 1,1处梯度的大小；解：（1）标量函数的梯度是uue xue y2xe x2ye yxy（2）任意点处的梯度大小为u2x2y2,（1）求出其散度； （ 2）求出其旋度在点1,1处梯度的大小为：u2 23已知矢量Ae x xe xyz y2 e xy z z解：（1）矢量的散度是AAxAyAz1x z2 x yxyz（2）矢量的旋度是名师归纳总结 Ae xe ye ze x2xyzxy e y2 y z e yz2 的第 2 页,共 23 页xyz4矢量函数xxyz2 xy zxe z,试求（ 1）A ;（2）如在 xy平面上有一边长为A2 x e xye y- - - - - - -精选学习
6、资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆正方形,且正方形的中心在坐标原点,试求该矢量解：（1）AAxAyAz2x1xyz（2）矢量 A 穿过此正方形的通量A 穿过此正方形的通量；蜒 AdSSAe dS. S2 x e xye yxe ze dS0 11. SxdSx1xdxy1dy0一挑选题（每题2 分,共 20 分）1. 毕奥 沙伐尔定律（C ）提示该定律没有考虑磁化介质,是在真空中,A. 在任何媒质情形下都能应用B. 在单一媒质中就能应用C. 必需在线性,匀称各向同性媒质中应用；2. 一金属圆线圈在匀称磁场中运动,以下几种情形中,能产生感应电流的（C ）A. 线
7、圈沿垂直于磁场的方向平行移动B.线圈以自身某始终径为轴转动,转轴与磁场方向平行C.线圈以自身某始终径为轴转动,转轴与磁场方向垂直（提示B S , 磁场或面积变化会导致磁通变化）3 . 如下列图,半径为 a 的圆线圈处于变化的匀称磁场中,线圈平面与 B垂直；已知2B 3 t 2 t 1,就线圈中 感应电场强度 iE 的大小和方向为（C ）B（提示l E i dl S t dS ,）2A. 2 3 t 1 a ,逆时针方向 B. 3 t 1 a ,顺时针方向C. 3 t 1 a ,逆时针方向4. 比较位移电流与传导电流,以下陈述中,不正确选项（A ）A. 位移电流与传导电流一样,也是电荷的定向运动
8、（提示位移电流是假想电流,为了支持电容中环路定理的连续提出的,实际是电场的微重量）B. 位移电流与传导电流一样,也能产生涡旋磁场C. 位移电流与传导电不同,它不产生焦耳热损耗5. 依据恒定磁场中磁感应强度B 、磁场强度 H 与磁化强度 M 的定义可知,在各向同性媒质中 :（ A ） BH , B 与 H 的方向肯定一样, B0HM , B 与 M 之间不确定同异 A. B 与 H 的方向肯定一样,M的方向可能与H一样,也可能与H相反B. B 、 M 的方向可能与 H 一样,也可能与H 相反C. 磁场强度的方向总是使外磁场加强；名师归纳总结 6. 恒定电流场基本方程的微分形式说明它是（A ）第
9、3 页,共 23 页 A. 有散无旋场B. 无散无旋场C. 无散有旋场- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆7. 试确定静电场表达式Ee x3 ye y3 x2 e cy zz 中,常数 c 的值是（A ）（ 提示2E0, 可以解出）C. c2A. cB. c38. 已知电场中一个闭合面上的电通密度,电位移矢量内（ A ）（提示sD dSq0）D的通量不等于零,就意味着该面A. 肯定存在自由电荷B. 肯定不存在自由电荷C. 不能确定54）9. 电位移表达式DE （ C ）（提示在非匀称介质中不是常数,见课本A. 在各种媒质中适用B
10、. 在各向异性的介质中适用C. 在各向同性的、线性的匀称的介质中适用10. 磁感应强度表达式B0HM （ A ） （提示任何磁介质,磁极矩极化只有和B同向或反向,见课本58）B. 只在各向异性的磁介质中适用A. 在各种磁介质中适用C. 只在各向同性的、线性的匀称的磁介质中适用二、运算题（每题 10 分,共 80 分）1真空中匀称带电球体,其电荷密度为（2） 球外任一点的电位移矢量；,半径为 a ；试求（ 1）球内任一点的电场强度；名师归纳总结 解：（1）作半径为r 的高斯球面,在高斯球面上电位移矢量的大小；求在其横坐标延长线第 4 页,共 23 页不 变 ,（ 2分 ） 根 据 高 斯 定 理
11、 , 在 ra 区 域 , 有sD dSqD4r24r3（2 分）3D3rre（1 分）电场强度为ED30rre （2 分）0（2）当 ra 时,作半径为r 的高斯球面,依据高斯定理,有D4r24a3（2 分）3Da3re （3 分）3 r22在真空中,有一匀称带电的长度为L的细杆,其电荷线密度为上距杆端为 d 的一点 P 处的电场强度E ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆解：将细杆分解为很多个线元,每个线元都会产生各自的电场强度,方向都沿 xe ；在离左端长度为 x 处取线元 dx ,它的点电荷为dqdx ,在轴线 P 点
12、产生的电场是；dE410Ldqx2e x410Ldxx 2e x（5 分）dd由电场的叠加,合电场只有e 重量,得到 xEdEe x410Ldxx2de x410d Ldx xe x401L1d（ 5 分）Ld2d3. 一个球壳体的内半径、外半径分别为a 和 b ,壳体中匀称分布着电荷,电荷密度为试求离球心为r处的电场强度；解：电荷体密度为：q33（2 分）43 ba3由高斯定理：sE r dSq（2分）0在 0ra 区域内,q 10,E 10,（ 2分）在 arb 区域内,r4r33 a,sE2 dSq23004a3E24r23,0名师归纳总结 得到E 2dSr33 are（ 2分）第 5
13、页,共 23 页30r2在 br 区域,q,sE3 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆E 34r2q,03 3得到 E 3 3 b0 r 2 a re（2 分）4设半径为 a 的无限长圆柱内匀称地流淌着强度为 I 的电流,设柱外为自由空间,求柱内离轴心 r 任一点处的磁场强度；柱外离轴心 r 任一点处的磁感应强度；解：由电流的柱对称性可知,柱内离轴心r 任一点处的磁场强度大小到处相等,方向为沿柱面切向 e ,在 ra 区域 ,由安培环路定律：.e ,在cH dl2rHr2I3 分 2 a整理可得柱内离轴心r任一点处的磁场强度
14、He .2ra2I ra 2 分 柱外离轴心 r 任一点处的磁感应强度也大小到处相等,方向为沿柱面切向ra 区域,培环路定律：B dl2rB0I3 分 c整理可得柱内离轴心r 任一点处的磁感应强度a ）2 分 Be.20I（ rr5设无限长直导线与矩形回路共面,（如下列图） ,（1）判定通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出） ；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面,求通过矩形回路中的磁通量；解：建立如图坐标 , 通过矩形回路中的磁感应强度的方向为穿入纸面,即为 e. 方向；（5 分）在 xoz平面上离直导线距离为x 处的磁感应强度可由下式求出：名师归纳总结 . cB dl0I（3 分）zx
15、即：Buv e y20I（2 分）x在 x 处取面积元 dSadx ,通过矩形回路的磁通量20Iadx0IalnddbdbB dSx2Sx d第 6 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆6有一半径为R 的圆电流 I , 求：（1）其圆心处的磁感应强度B ？（ 2）在过圆心的垂线上、与圆心相距为H的一点P,其 B ？O 产生的磁感应解：（1）在圆环上取电流微元IdlIRd,由毕奥 萨伐尔定律,在圆心强度dB40Idluv e ouv e z402 RIdl2（3 分）2 RH2H圆心处的总磁感应强度B 0dBuv
16、e z40Idluv e z20IRduv e z20I（2 分）R 204R 2R（2）如图,由毕奥萨伐尔定律,在圆轴线上P 点产生的磁感应强度,在x0区域,dB40Idluuv e P40uv Idl e zsinuv e xcos （1 分）2 RH22 RH2在x0区域,dB40Idluuv e P40uv Idl e zsinuv e xcos （1 分）2 RH22 RH2由对称性,在整个区域磁感应强度没有x 向重量,只有 z 向的重量,BdBuv e z4 0IdlH2sin2R2uv e z24 0IRdH2R2RH20R2uv e z2R2H20IR22H2（3 分）R7.正
17、弦沟通电压源uUmsint连接到平行板电容器的两个极板上,如下列图；1 证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传导电流相等；求导线邻近距离连接导线为r 处的磁场强度；解： 1 导线中的传导电流为名师归纳总结 icdqCdu=Cd d tUmsintC Umcost（2 分）第 7 页,共 23 页dtdtEu,忽视边缘效应时,间距为d 的两平行板之间的电场为d就DEUmsintd- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆就极板间的位移电流为i d S J d d S S Dt d S Ud m cos t S 0 C U m co
18、s t i c（3 分）式中的 S 为极板的面积,而 S 0C 为平行板电容器的电容；d 2 以 r 为半径作闭合曲线,由于连接导线本身的轴对称性,使得沿闭合线的磁场相等,故cHd l2rH（2 分）穿过闭合线的只有导线中的传导电流,故得8.在无源2 rHC UmcostHe HeC Um cost（ 3 分）2 rJ、0 的电介质中,如已知电场强度矢量Ee E x mcosE 为振幅、为角频率、 k 为相位常数； 试确定 k 与tkz V/m,式中的之间所满意的关系；解：由麦克斯韦方程组可知名师归纳总结 BEe xxe yye zze Exkz, （3 分）第 8 页,共 23 页teyEx
19、e yzEmcostkz e kEmsintz对时间t积分,得tkz ,BBdte ykEmcostkz , （2 分）tB=HHe ykEm costkz , （1 分）DEDe xE mcostkz ,（1 分）以上场矢量都满意麦克斯韦方程,将H和D代入式e xeye zHxyze xHye x2 k Em sinzHxHyHz和DexDxexEmsintkz ,tt由HD得到k22；（3 分）t- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆一挑选题1. 下面说法正确选项（C ）A. 静电场 和恒定 磁场 都是矢量场,在 本质上 也是
20、相同的；（注：一个为散度场,一个为旋度场）B. 泊松方程和拉普拉斯方程 都适用于有源 区域；C由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场,恒定磁场是无散场,因此,它可用磁矢位函数的旋度来表示；2. 下面说法错误选项（C ）A. 一般说来,电场和磁场是共存于同一空间的,但在静止和恒定的情形下,电场和磁场可以独立进行分析；B. 按统一规章绘制出的力线可以确定矢量场中各点矢量的方向,仍可以依据力线的疏密判别出各处矢量的大小及变化趋势；C. 泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域；（注：拉普拉斯方程适用于无源区域）3. 电源以外 恒定电场 基本方程的积分形式是（A ）0, JdS0AE dl0, J dS0BE
21、 dlCE dl0, J dSdq dt4. 静电场中电位为零处的电场强度（C ）（注：电位的零点可以任意选,有意义的是电位差值）A. 肯定为零B. 肯定不为零C. 不能确定）注：互感与电流无关 5. 如要增大两线圈之间的互感,可以采纳以下措施（A A. 增加两线圈的匝数B. 增加两线圈的电流C. 增加其中一个线圈的电流6. 两个载流线圈的自感分别为1L 和L ,互感为 M ；分别通有电流1I 和2I ,就系统的储能MI I 的变形）为（C ）A. W m12 L I 1 11L I2B. W m1 22 L I 1 1L I2MI I22222C. W m1 22 L I 1 1L I22
22、MI I2（注： C 是W m12 L I 1 11L I222227. 镜像法的理论依据是（A ）A. 场的唯独性定理B. 库仑定律C. 迭加原理8. 对于像电荷,以下说法正确选项（B ）A. 像电荷是虚拟电荷,必需置于所求区域之内B. 像电荷是虚拟电荷,必需置于所求区域 之外C. 像电荷是真实电荷,必需置于所求区域之内9对于处于静电平稳状态的导体,以下说法不正确选项（C ）A. 导体为等位体B. 导体内部电场为0 C. 导体内部可能存在感应电荷（假如有,就不会平稳了）10. 如下列图两个平行通以同向的载流线圈,所受的电流力使两线圈间的距离而（B ）A. 扩大B. 缩小C. 不变（注：电流产
23、生的场同向,类似磁铁的相异的两极相吸）名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆二、运算题（每题 14 分,共 70 分）1. 电荷 q 匀称分布在内半径为a, 外半径为 b 的球壳2（3 分）1形区域内,如图2 示电荷分布在阴影部分；0ra1 求arb各区域内的电场强度；rb2 如以 r处为电位参考点0,运算球心r0的电位；图 1 解： 1 电荷体密度为：4qa3 b33由高斯定律：sE dSVdV可得,（球面总面积S42 r ）00ra区域内,E 10里面没有包含电荷 （3 分）arb区域内,
24、E 2e r41r24r33 aqe r41r2r33 aq3 403 b3 a03 b3 a3rb区域内,E 3e r41r2q（3 分）02 0 aE dr 1bE dr 2bE dr 3（2 分）0aa31式中,bE2dr40qa3b1r3a3dr40q3 a1 2b2aab3ar2 b3abbE 3drb4qr2dr4q0114q0 b0b因此,040q3 a 1 22 b2 a3 a114q0b（3 分） b3ab2同轴长导线的内导体半径为a,外导体半径为b 外导体厚度可忽视不计,内、外导体间介质为真空,在其间加以直流电压U0,如图 2 示；1 求 ra 处的电场强度；2 求 arb
25、 处的电位移矢量；3 求出同轴线单位长度的电容；图 2 名师归纳总结 解：（1）在内、外导体间加以直流电压U0,电势差存在于内导体外表面和外导体内表面之第 10 页,共 23 页间,内导体为等势体,因此内部电压为0,即电场强度为E 10（4 分）内导体内部没有电荷,假如有,在电压作用下,会被吸附到内导体的外表面 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆（2）假设单位长度上内导线表面的电荷为q,当 ra 时,作半径为 r 的高斯球面,依据高斯定理,有DsD dSqD2rqqre （2 分）2rE22q0rre（ 1 分）由U0aE 1
26、drbE 2drb2q0rdr2q0lnb0aaa得到q2ln0U0（2 分）b因此aD0 U0re （1 分）0（4 分）brlnCq2a（3）同轴线单位长度的电容U0lnba3同轴长电缆的内导体半径为r ,外导体半径为R 外导体厚度可忽视不计,中间充塞两层同心介质：第一层为1,其半径为r ；其次层为2,如图 3 示 图中同轴长电缆中的斜线表示区分不同的介质；在电缆内外柱面间加以直流电压 U ；求： 1 电缆内从 r 至 R各区域的场强 E ； 2 单位长度电 缆的电容； 3 单位长度电缆中 填充介质部分 的电场能；图 3 名师归纳总结 解：（1）假设单位长度上内导线表面的电荷为q ,当r
27、时,作半径为的高斯球第 11 页,共 23 页面 注：这里是半径,由于r已经被作为常数用了,依据高斯定理,有sD dSqD2qD2qe（2 分）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆E 12q1err , E22q2erR 由名师归纳总结 UrE dRE2dr2q1dR2q2dR22 2d第 12 页,共 23 页rrrrq1lnr1lnR21r2r得到q1ln2UlnR r （3 分）r11r2因此E 11lnrUlnR1err ,（1 分）11r2rE21lnrUlnR2erR （ 1 分）11r2r（2）同轴线单位长度的电容
28、Cq1lnr21lnR（3 分）U1r2r3 单位长度电缆中填充介质部分 的电场能WW 1W 21r2 1 E 12d1R2E22drr22211r1lnrUlnR12 2d12R1lnrUln2r12r11r2r1r2r11lnrU21lnR2lnr21lnrU21lnR2lnRrr1r2r1r2r2lnr12 U2R（4 分）1lnrr- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆另解：用W1CU2运算,结果一样,建议用上运算,W1CU2需要证明；224在面积为 S 、相距为 d 的平板电容器里,填以厚度各为d/ 2、介电常数各为r和
29、r的介质,如图 4 示 图中平板电容器中的斜线表示区分不同的介质 ；将电容器两极板接到电压为U 的 0r2图 4 直流电源上；求：1 电容器内介质r和介质的场强；2 电容器中的电场能量；解:选取电容器上下板为高斯面,电场强度在两板区域,且垂直两板,假设上下板的电荷量为q ,q ,由高斯定理q（2 分）sD dS得电场强度E 1q1, E 2Sq2（2 分）Srr由E 1U0E dlr1d/ 2 E dldr/ 2 E dlq1q2d00SrSr2q2 U Srr2（3 分）1（2 分）dr122 U, E2d2 U00r2dr1r2r1r2（2）电容器中的电场能量名师归纳总结 W1W 1W 2
30、1V 1rr12 E dV122 E dV（5 分）第 13 页,共 23 页2V2r2r12 E 1Sd12E2SdSU2 0r1r22r22222dr1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆5.同轴长导线的内导体半径为a ,外导体半径为b外导体厚度可忽视不计 ,内导体线上流淌的电流为 I ,内、外导体间介质为真空,如图 5 示；1 运算同轴线单位长度内的储存的磁场能量；2 依据磁场能量求出同轴线单位长度的电感；图 5 解： 1由电流的柱对称性可知,柱内离轴心r任一点处的磁场强度大小到处相等,方向为沿柱面切向 e ,在 ra区域
31、 ,由安培环路定律：1 分 .e ,在cH dl2rHIr22 分 a2整理可得柱内离轴心r 任一点处的磁场强度He .2Ir2,B 1e .20Ir2 ra aa柱外离轴心 r 任一点处的磁感应强度也大小到处相等,方向为沿柱面切向arb 区域,培环路定律：B2dl2rB20I2 分 c整理可得柱内离轴心r 任一点处的磁感应强度rb ）1 分 B 2e .20I（ ar同轴线单位长度内的储存的磁场能量名师归纳总结 W mW m 1W m2V 11 2B 1H dVV21B2H dVb10a2 B 12rdr210b2 B 22rdr第 14 页,共 23 页220a10a20Ir2 2rdr1b20I2 2rdr0I20I2lnb a4 分 20a220ar1642 由Wm1 LI 22L2 W m8020ln4 分 故I2a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆一挑选题（每题