2022年数列与不等式教师版.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载数列数列：等 差 数 列 定 义 、 通 项 公 式 及 变 形 a n a m n m d 、 等 差 数 列 通 项 的 性 质（a 1 a 5 a 2 a 4 2 a ）、等差数列求和公式；等比数列的定义、通项公式及变形n m 2a n a q、等差数列通项的性质（a a 5 a a 4 a 3）、等差数列求和公式（留意 q 是否等于 1）数列的和：求和方法（分组求和、裂项求和、错位相减求和）；前 n 项和S 与a 关系的运用数列求通项：累差叠加、累积相消、an2an11型、利用归纳法得通项数学归纳法的简洁运用典型例题：

2、名师归纳总结 1. 定义在 ,00, 上的函数f x ,假如对于任意给定的等比数列an , f an仍第 1 页,共 12 页是等比数列,就称f x 为“ 保等比数列函数”. 现有定义在 ,00, 上的如下函数：f x 2 x ；f x 2x；f x |x ；f x ln |x . 就其中是“ 保等比数列函数” 的f x 的序号为A. BC D 解析： 等比数列性质,anan2a21,fa nfa n22 a n2 a n22 a n12f2a n1； nfanfa n2a 2n2an22anan222an1f2a n1；fanfa n2a na n2a n12f2a n1；fa nfa n2

3、lna nlna n2lna n12f2a n1.选 C2. 已知等比数列a n为递增数列, 且a 52=a 10,2a n+a n+2=5a n+1,就数列a n的通项公式an=_【 解 析 】 设 等 比 数 列a n的 公 比 为 q , 就 由2a n+a + n2= 5n+得 ,12+2q2 2 1=5 ,2 q-5 +2=0,解得 q = 或q 2 ,又由2na n 为递增数列,所以 a 1= =2,a n =2a 52=a 10知,a q42=9 a q ,所以a 1=q ,由于3. 已知等差数列a n的前 n 项和为S n,a55,S 515,就数列11的前 100 项和为a

4、a nA100 101B99 101C99 100D101 100- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载答案 A 【解析】由S n,a 55,S 515可得n1100a 10（D）a 14d5a 11an5a 1524d15d111111 1011a a n1n n1nn1S 1001111 31 100221011014. 已知a n为等比数列,a 4a72,a a 68,就a 15CA 7B【解析】选 Da4a 72,a a 6a a78a44,a 72或a42,a 7n4.如就b 3, 加2,a44,a72a 18,a 101a 1

5、a 107an N *a42,a 74a 108,a 11a 1a 1075. 数列a n的首项为3 ,b n为等差数列且b na n1b 1012,就a8（D）11 4na2由n叠 8法（A ）0 （B）3 （C） 8 B解析：由已知知b n2n81n ,aa2a 1a3a 2a8a 76420260a8a 136. 已知数列 an 的通项公式为 和 T10 an2n1.令 bn1 na1a2 an,就数列 bn 的前 10 项A70 B75 C80 D85 解析： 由于 an2n1,所以数列 an 是个等差数列,其首项a13,其前 n 项和 Sna1a2 ann a1an 2n 32n1

6、2n 22n,所以 bn1n Sn1n n 22n n2,故数列 bn10 9也是一个等差数列,其首项为 b1 3,公差为 d1,所以其前 10 项和 T1010b12 d10 345 75,应选 B. 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7. 已知数列 an 的前 n项和S n1精品资料欢迎下载8.n2kn kN, 且 Sn 的最大值为2（1）确定常数k,求 an；4,（2）求数列92 a n的前 n 项和 Tn；n 2解: （1）当 nkN9时,S n21n2a 1kn取最大值, 即81k2k212 k ,故k2

7、2 92从而a nS nS n1n nS 17,所以a nnn,又222（1）由于b n92a nn1,T nb 1b 2b n123n1n12 n2 n2222 n22 n所以T n2 T nT n2 11212n14212n14n22n2 nn2 n2 n18.函数f x x22x3；定义数列nx如下：x 12,x n1是过两点P 4,5,Qnxn,f x的直线PQ 与 x 轴交点的横坐标；（1）证明： 2nx3；解：（1）为f442835,故点P4,5在函数f x 的图像上,故由所给出的两点P 4,5,Qnxn,f xn,可知,直线PQ 斜率肯定存在；故有直线PQ 的直线方程为y5fx

8、n45x4,令y0,可求得xn5x n2x n2x n8x4x n52x4x4x n34x n23所以x n14x n3x n2下面用数学归纳法证明2xn3当n1时,x 12,满意2x 13假设 nk时, 2kx3成立,就当nk1时,xk14xk34x k52,x k2由2x k34x k251xk5252114xk523即2kx144也成立名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 综上可知 2nx3精品资料欢迎下载对任意正整数恒成立；不等式：不等式的基本性质（作差比较、传递性）、基本不等式：常见公式 利用基本不等式求最值

9、留意取等条件 不等式的解法：重要的为含参数的一元二次不等式、肯定值不等式、分式不等式 简洁的不等式证明问题 线性规划：三种形式（截距型、斜率型、距离型）名师归纳总结 1. 以下不等式肯定成立的是（）；第 4 页,共 12 页Algx21 4lgx x0 Bsinx1x2 xk,kZsinCx212|x|xRx0 时,x 2D111xR 1x2 sinx1,0 x2解答： A 中,x21x 当1sinxx ；B 中,44sinsinx1x2 sinx,1 0 ； C 中,x22|x|1|x|1 20 xR；D 中,sin2 x11 0 1, xR ；2. 不等式x10的解集为2x1A.11, B

10、.11, C.1,1 D.,1,12222【解析】选 Ax102x21x101x1x102 x123. 设a b c x y z 是正数,且a22 bc210,x2y2z240,axbycz20,就a xbcyzA1 4B1 3C1 2D3 4解析： 由于2 ab2c2x2y22 zaxbycz 2等号成立当且仅当abc,t就 a=t x b=t y c=t z ,t2x2y2z210xyz所以由题知t1/2, 又abcabc,所以abct1/2,答案选 C. xyzxyzxyz4. 设ABC 的内角A B C 所对的边为a b c ；就以下命题正确选项_如ab2 c ,就C3如ab2 c,就

11、C3如a33 b3 c ,就C2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如 ab c2ab ,就 C 如2_ 精品资料b2c欢迎下载C3a222 22 a b ；就【解析】正确选项名师归纳总结 方法一、abc2cosCa2b2c22 abab1C3第 5 页,共 12 页2ab2 ab2ab2ccosCa2b2c24a2b2ab21C32 ab8ab2当C2时,c2a22 b3 c2 a c2 b ca33 b 与a3b33 c 冲突取ab2,c1满意 ab c2ab 得：C2; 或者cosCa2b2c2a2b22 ab2ab2a2b2ab222 4 a b

12、2ab2ab2 ab ab2 ab ab2b42 a b22abab2b2 ab0,所以C22 ab a22 ab a2或者ab c2abc2ab2abab,即ab2 c ,转化为ab2ab取ab2,c1满意a22 bc222 2a b 得：C3由于a2b2c222 a b2c222 a b222 a b2ab,即ab2 c ,转化为a2b22ab方法二、对于,由c2a2b22abcosCab 得2cosC1a2b2ba2,abab就cos C1,由于 0C,所以C3,故正确；对于,由24c24a24 b28 abcosCa2b22ab 得ab8cosC232 ab2,即8cosC23ab6,

13、就cos C1,由于 0C,所以C3,故正确；对ba2于 对 于 ,a3b3c3可 变 为a3b31, 可 得 0a1,0b1, 所 以cccc1a3b3a2b2c2a22 b , 故C2, 正 确 ； 对 于 , 所 以cccc- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ab c2 ab 可 变 为211精品资料2欢迎下载a bc, 所 以abc2, 因 为1, 可 得cababa2b22abab1c2,所以C2,错误；对于,a2b2c22 a b 可变为 2 2112,即1 ab,所以c2aba22b2,所以cos Ca2b21,所以2a2b22 cc222

14、 abC,故错误 . 答案为32 25.如 a、b 是正常数, a b,x、y0, ,就a xb y a b xy2,当且仅当a xb y时上式取等号利用以上结论,可以得到函数 fx4 x12x x 0,9 12的最小值为 _2 2解析： 由题意知, fx2 x12x 3,x 0,12,2 3 且均为正常数,x 0,12,12x0,1,2x21 2x 32231x 2,当且仅当2x12x 3时,即 x27时等号成立, 即 fx35. 答案： 35 6. 已知fxm xf2mxm3,gx2x2,如同时满意条件：xR,fx0或gx0；xgx0；x, 4, 就 m 的取值范畴是 _；【解析】名师归纳

15、总结 解法一、依据gx2x20,可解得x1；由于题目中第一个条件的限制xR,第 6 页,共 12 页fx0或gx 0成立的限制,导致x 在x1时必需是fx0的；当m0时,fx0不能做到fx在x1时fx0,所以舍掉； 因此,fx作为二次函数开口只能向下,故m0,且此时两个根为x 12 m,x 2m3；为保证此条件成立,需要x 12 m11m1,和大前提m0取交集结果为4m0；又由于条件2：2x2m3m4要求x,4,fxgx0 的限制,可分析得出在x,4时, g x 恒负,因- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 此就需要在这个范畴内f精品资料欢迎下载x 1,

16、x 2两根中小的那个大,当x 有得正数的可能,即4 应当比名师归纳总结 m,10时,m34,解得,交集为空,舍；当m1 时,两个根同为24,第 7 页,共 12 页舍；当m4,1 时,2m4,解得m2,综上所述m4,2 解法二、依据gx2x20,可解得x1；由于题目中第一个条件的限制xR,fx0或gx0成立的限制,导致在x1时必需是fx 0的；当m0时,在x1,内,必存在fx 00x 01,因此,fx作为二次函数开口只能向下,故m0,此时m x2 mxm30恒成立,即x2 mxm30恒成立,此时只需2 m11,解得4m0；又由于条件2：存在x,4,fxgx 0 m3即为x4时,m x2 mxm

17、32x20有解, 而x4时, 2x20成立,故只需在x4时,m x2 mxm30有解即可,由条件知4m0,因而m x2 mxm30有 解 , 即x2mxm30有 解 即 可 , 需 满 足2 mm3或m32 m,解得m2,综上m4,22 m4m34解法三、 当x1时,g x0,当x1 时,g x0,当x1时,g x0m0时,不符合题意当m0时,依据函数fx和 g x 的单调性,肯定存在区间a ,使fx0且g x0,故m0时不符合第条的要求当m0时,如下列图,假如符合的要求,就函数fx 的两个零点都得小于1,假如符合第条要求, 就函数 fx 至少有一个零点小于4,问题等价于函数fx 有两个不相等

18、的 零 点 , 其 中 较 大 的 零 点 小 于1 , 较 小 的 零 点 小 于4 , 函 数 fx的 两 个 零 点 是m0m02 ,m3,故 m 满意2 m4m3,或者2 m1m32 m2 mm31m34- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解第一个不等式组得m4,2精品资料欢迎下载m4,2,其次个不等式无解,综上7. 设 aR,如 x0 时均有 a 1x1 x 2ax10,就 a_【解析】此题依据一般思路,就可分为一下两种情形：Ax a21ax x1 10 0, 无解； B x a21ax x1 10 0, 无解由于受到体会的影响,会认为此题可能

19、是错题或者解不出此题其实在 x0 的整个区间上,我们可以将其分成两个区间 为什么是两个？,在各自的区间内恒正或恒负如下答图 我们知道：函数 y1a1x1,y2x 2ax1 都过定点 P0,1考查函数 y1a1x1：令 y0,得 M1,0,仍可分析得：a1；a 12考查函数 y2x 2ax1：明显过点 M 1,0,代入得：1 a1 0,解之得：a 1 a 1 a 1a 0或者 a 3,舍去 a 0,得答案：a 32 2【答案】a 32x2y508. 设变量 x,y 满意约束条件xy2 0,就目标函数z 2x3y1 的最大值为 x0A11 B 10 C9 D8.5 解析： 可行域如图名师归纳总结

20、当目标函数过点A 时,取最大值,由xy20第 8 页,共 12 页x2y50- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 得 A3,1,故最大值为10. 精品资料欢迎下载yx,9.设 m1,在约束条件ymx,下,目标函数zx 5y 的最大值为4,就m 的值为xy1_解析： 作出约束条件对应的可行域为如下列图阴影OAB.目标函数可化为y1 5x1 5z. 它在 y 轴上的截距最大时z 最大当目标函数线过点A 时 z 最大由xy1解得 A1,m1m m 1,ymxzmax1m15mm15m14,m3.答案： 3 m 14x3y0,10.如实数 x,y 满意x y 14

21、,就x2y2的取值范畴是 _x y7,解析： 如下列图,4x3y0不等式组x y14所表示的可行域为线段AB,x2y2可看作x y7是可行域内的点Px,y到原点 O 的距离,由图易知 |PO|min0,|PO|maxx2y2的取值范|AO|,由4x 3y0,得 A6,8,故|PO|max6282 10,即xy 14,围为 0,10 名师归纳总结 11.已知正数 a b c, , 满意：5 c3 ab4 ca,clnbaclnc,就b a的取值范畴是第 9 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析： 条件5c3 a 4 ca,c lnb精品

22、资料ln c欢迎下载3abb45；ac可化为ccacc设a=x,y=b,就题目转化为：的取值beacccc已知 x y, 满意3xy5xyx4,求y xyex 0,y0范畴；名师归纳总结 作出（ x,y）所在平面区域（如图） ；求出x,b1时,第 10 页,共 12 页y e 的切 x线的斜率 e ,设过切点P x 0,y 0的切线为y exm m0,就y 0=ex 0m=em,要使它最小,须m =0；x 0x 0x 0y x的最小值在P x 0,y 0处,为 e ；此时,点P x 0,y 0在y e 上 xA B 之间；当（ x y, ）对应点 C 时,y=4x5 =205xxy=7xy=7

23、,y=53x4 =2012xy x的最大值在 C 处,为 7；y x的取值范畴为e, 7,即b a的取值范畴是e, 7；12. 已知函数f x lnxax22a x 争论f x 的单调性；f x 的定义域为 0, ,f 12 ax2a 2x1 ax1.xx（ i ）如a0,就f 0,所以f x 在 0, 单调增加 . （ ii ）如a0,就由f 0得x1,且当x0,1时,f 0,当aaaf 0.所以f x 在0,1单调增加,在1,单调削减 . aaa,c为何13. 已知a ,b,c均为正数,证明：a2b2c2111263,并确定abc- - - - - - -精选学习资料 - - - - -

24、- - - - 精品资料 欢迎下载值时,等号成立；（证法一）由于a,b,c 均为正数,由平均值不等式得3abc29abc22a2b2c23 abc 3所以11129abc 231111abc3 abc 3abc故a2b2c211123abc29abc2. 33abc22又3 abc39abc32 276 3所以原不等式成立.当且仅当 a=b=c 时,式和式等号成立；当且仅当331时,式等号成立；即当且仅当a=b=c=3 时,原式等号成立；（证法二）由于 a, b,c 均为正数,由基本不等式得a2b22ab所以a2b2c2abbcacb22 c2bcc2a22ac111111同理a22 bc2a

25、bbcac故2 a11122 bc2abc31 acabbcac31 ab31 bc6 3所以原 不等式成立.当且仅 当 a=b=c 时,式和式等号成立,当且仅当a=b=c ,ab2bc2ac23时,式等号成立；即当且仅当1a=b=c=3 时,原式等号成立；13. 已知fx=ax +1aR ,不等式fx3的解集为x-2x1（1）求 a 的值名师归纳总结 （2）如fx-2fxk恒成立,求k的取值范畴x-2x1,所以第 11 页,共 12 页2（1）由ax +13得 -4ax2,又fx3的解集为当a0时,不合题意,得a =2当a 0时,-4x2aa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料1, x欢迎下载-1名师归纳总结 （2）记h x=fx-2fx,就h x=-4 -3,-1 -1,第 12 页,共 12 页22所以h x1,因此k-1, x-112- - - - - - -