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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数列前 n 项和构成不等式证明方法与技巧安徽五河一中 邢文举、杨梅玲由数列前 n 项和构成的不等式是一种特别重要的题型,常在高考题中显现,由于不等式证明本身就是一个难点,再加数列的各种变形应用, 不少同学对该题型束手无策, 不知从何处去分析寻求解题思路,该题型一般有三种解题思路：第一,如数列 a n 是可求和数列,应先求和 Sn,再证明不等式；其次,如数列 a n是不行求和数列,一般先将数列的通项放缩成可求和数列,再求和证明不等式；第三,如数列是不行求和数列, 对通项的放缩又有肯定的困难可尝试用数学归纳法证明不等式, 当然有的
2、可求和数列和构成的不等式也可用数学归纳法证明,下面以例说明；例 1、各项均为正数的等差数列an,a1=3 前 n 项和为 Sn,等比数列b n中,b1=1,且 b2S2=64,ban是公比为 64 的等比数列；（1）求 an、bn；（2）证明1 S 1113S 2S n4解：（1）设an的公差为 d,bn的分比为 q（d0,q0）就 an=3+n-1d bn=q n-164ba n1qa n11qa n1anqdbanqan1又 b2S2=q6+d=64 可求得： d=2,q=8 an=2n+1,bn=8 n-1名师归纳总结 （2）由（ 1）知 Sn=nn+2 1n 12 11n12第 1 页
3、,共 4 页Snn2n明显1是可求和数列,先求和,再证明不等式S n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 11111学习必备1欢迎下载11n12111S 1S 2S n232435n=1 11n11n121 113nN,点n,Sn均在函22224原不等式对nN成立例 2、等比数列an的前 n 项和为 Sn,已知 对任意的数 y=bx+rb0 且 b 1,b,r 均为常数 的图象上；（1）求 r 的值；（2）当 b=2 时设b nn1nN,数列bn的前 n 项和为 Tn,证明T n14 an2解：（1）由已知有 Sn=b n+r,当 n2 时,Sn-1=bn
4、-1+r an=Sn-Sn-1=b-1 b n-1又 a1=b+r a2=b-1b a 2 b 1 b br=-1 a 1 b r（2）由 b=2,故（ 1）有： an=2 n-1 bn= nn 1 12由于 b n 是可求和数列,先求和后证明不等式Tn=b1+b2+b3+ +bn名师归纳总结 T n234n111nn1n11 （nN）第 2 页,共 4 页2223242n11T n232n1n123 224n2n21- 得：1T n32112 n223 22412n22T n322n1T n为递增数列TnT 1311122T n1对nN成立2例 3、证明不等式：1223n- - - - -
5、- -精选学习资料 - - - - - - - - - 证明（一）数列1学习必备欢迎下载是不行求和数列,应先放缩再证明不等式；n1n2nn2n2 n1nn1111111221 31 2n43n1n23n=2（n）12n1对N成立11123n（二）数学归纳法证明（1）当 n=1 时,12 21,即 n=1 不等式成立；nN（2）假设当 n=k时不等式成立即：11112k11 23k当 n=k+1 时111111211k2k1121123kkk=2k122k1112kk=4 k14114 142k=2 k111即 n=k+1 时,不等式成立；bn=由（ 1）（2）知,原不等式对nN均成立y=3x-
6、1 的图象上,例 4、已知数列an前 n 项和为Sn,点 n,Sn在函数n n1 an,bnn 前 n 项和为 Bn,证明： Bnn3解：由已知： Sn=3 n-1 当 n=1 时, a1=3-1=2 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载n-1当 n2 时,an=Sn-Sn-1=2 3an=2 3 n-1（n N）b n n n 1 2 3 n 1法（一）,明显 b n 是不行求和数列,先放缩,再证明不等式；b n n n 1 2 3 n 1= 4 n 24 n 3 n 1 2 n 1 23 n 1n
7、-1=2n+1 3Bn=b1+b2+b3+ +bn31+53+73 2+ +2n+1 3 n-1令 Tn=31+5 3+7 3 2+ +2n+1 3 n-1n由错位相减法可求得 Tn=n 3Bn n 3 n注：也可用均值不等式：n n 1 n n 1 2 n 1对 bn 进行放缩；2 2法（二）用数学归纳法证明：Bn n3 n当 n=1 时, B1=b1= 2 2 2 2 1 3 1=3 即 n=1 时,不等式成立假设当 n=k+1 时,不等式成立,即k Bkk3当 n=k+1 时考查Bk+1=Bk+bk+1k3 k+（k1）k2 2k 3 k 3 k+ k 1 k 2 2=3k+3 3 k=k+1 3 k+12k 3即 n=k+1 时不等式成立由知： Bn n3 n对nN均成立由以上例题可知,对于由数列an的前 n 项和 Sn 构成的不等式证明,第一an是否可求和,如能求和,先求出Sn 再证明不等式,如不行求和,要么先将 an 进行放缩成可求和数列,再求和证明不等式；要么利用数学归纳法进行证明,当然仍可构造函数来证明,在这就不说了,期望通过本文,对同学们解答这类题有肯定的启示；2022.4.26 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页