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1、学习目标1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活选择直线方程的形式并熟练运用待定系数法求解，渗透数形结合、分类讨论的数学思想1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角的范围是0180.(2)k(3)斜率的求法：依据倾斜角；依据直线方程；依据两点的坐标2直线方程的几种形式的转化3两条直线的位置关系设l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则(1)平行A1B2A2B10且B1C2B2C10；(2)相交A1B2A2B10；(3)重合A1A2，B1B2，C1C2(0)或(A2B2C20)4距离公式(1)两点间的距离公式已知点P1(x1
2、，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|.(2)点到直线的距离公式点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d；两平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20的距离d.类型一待定系数法的应用例1直线l被两条直线l1：4xy30和l2：3x5y50截得的线段的中点为P(1,2)，求直线l的方程解方法一设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(2x0，4y0)，并且满足即解得因此直线l的方程为，即3xy10.方法二设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由得x.由得x.则2，解得k3.因此所求直线方程为y23(x1)，即3xy10.方法三两
3、直线l1和l2的方程为(4xy3)(3x5y5)0，将上述方程中(x，y)换成(2x,4y)，整理可得l1与l2关于(1,2)对称图形的方程：(4xy1)(3x5y31)0.整理得3xy10，即为所求直线方程反思与感悟待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件来确定这些系数的方法直线的方程常用待定系数法求解选择合适的直线方程的形式是很重要的，一般情况下，与截距有关的，可设直线的斜截式方程或截距式方程；与斜率有关的，可设直线的斜截式或点斜式方程等跟踪训练1求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为的直线的方程解当直线过原点时，设直线
4、的方程为ykx，即kxy0.由题意知，解得k1或k.所以所求直线的方程为xy0或x7y0.当直线不经过原点时，设所求直线的方程为1，即xya0.由题意知，解得a2或a6.所以所求直线的方程为xy20或xy60.综上可知，所求直线的方程为xy0或x7y0或xy20或xy60.类型二分类讨论思想的应用例2过点P(1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程解当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x1，x0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，符合题意当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为yk(x1)，y2kx.令y0
5、，得x1与x.由题意得|1|1，即k1.两条直线的方程分别为yx1，yx2，即xy10，xy20.综上可知，所求的两直线方程分别为x1，x0或xy10，xy20.反思与感悟本章涉及直线方程的形式时，常遇到斜率的存在性问题的讨论，如两直线平行(或垂直)时，斜率是否存在；已知直线过定点时，选择点斜式方程，要考虑斜率是否存在跟踪训练2已知经过点A(2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，1)和点Q(a，2a)的直线l2互相垂直，求实数a的值解l1的斜率k1a，当a0时，l2的斜率k2.l1l2，k1k21，即a1，得a1.当a0时，P(0，1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(2,
6、0)、B(1,0)，这时直线l1为x轴，显然l1l2.综上可知，实数a的值为1或0.类型三最值问题例3求函数y|的最大值与最小值，并求取最大值或最小值时x的值解将已知条件变形为y|.故设M(x,0)，A(1,2)，B(2,1)，原函数变为y|MA|MB|.则上式的几何意义为：x轴上的点M(x,0)到定点A(1,2)与B(2,1)的距离的差的绝对值，由图可知，当|AM|BM|时，y取最小值0.即，解得x0，此时点M在坐标原点， y最小0.又由三角形性质可知|MA|MB|AB|，即当|MA|MB|AB|，也即当A、B、M三点共线时，y取最大值由已知得AB的方程为y2(x1)，即yx3，令y0，得x
7、3，当x3时，y最大|AB|.反思与感悟数形结合是解析几何的灵魂，两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结合常见的结合点，常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决，也能把几何问题转化为代数问题来解决，这就是数形结合跟踪训练3已知实数x、y满足4x3y100，求x2y2的最小值解设点P(x，y)，则点P在直线l：4x3y100上，x2y2()2()2|OP|2，如图所示，当OPl时，|OP|取最小值|OM|，原点O到直线l的距离|OM|d2，即|OP|的最小值是2.所以x2y2的最小值是4.例4已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4)(1)在直线l上求一点P，使|PA
8、|PB|最小；(2)在直线l上求一点P，使|PB|PA|最大解(1)设A关于直线l的对称点为A(m，n)，则解得故A(2,8)因为P为直线l上的一点，则|PA|PB|PA|PB|AB|，当且仅当B，P，A三点共线时，|PA|PB|取得最小值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，解得故所求的点P的坐标为(2,3)(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则|PB|PA|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，|PB|PA|取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为yx2，解得故所求的点P的坐标为(12,10)反思与感悟(1)中心对称两点关于点对称：
9、设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2ax1，2by1)，即P为线段P1P2的中点两直线关于点对称：设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另外一条直线上，必有l1l2，且P到l1、l2的距离相等(2)轴对称两点关于直线对称：设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上跟踪训练4在直线l：3xy10上求一点P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小解(1)如图，B关于l的对称点B(3,3)直线AB的方程为2xy9
10、0，由解得即P(2,5)(2)如图，C关于l的对称点C(，)，由图象可知：|PA|PC|AC|.当P是AC与l的交点P(，)时“”成立，P(，)1若方程(6a2a2)x(3a25a2)ya10表示平行于x轴的直线，则a的值是()A. B.C.， D答案D解析因为平行于x轴的直线斜率为零，所以由直线的一般式方程AxByC0(A2B20)得k0A0，B0，即6a2a20,3a25a20.本题易错在忽视B0这一条件而导致多解2已知直线l不经过第三象限，若其斜率为k，在y轴上的截距b(b0)，则()Akb0 Dkb0答案B解析由题意得直线l的方程为ykxb(b0)，直线l不经过第三象限，k0，b0，k
11、b0.3直线l：xy10关于y轴对称的直线方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10答案A解析直线l：xy10与两坐标轴的交点分别为(1,0)和(0,1)，因为这两点关于y轴的对称点分别为(1,0)和(0,1)，所以直线l：xy10关于y轴对称的直线方程为xy10.4若直线mx(m2)y20与3xmy10互相垂直，则点(m,1)到y轴的距离为_答案0或5解析由题意，得3mm(m2)0，解得m0或5，点(m,1)到y轴的距离为0或5.5直线l过点A(3,4)且与点B(3,2)的距离最远，那么l的方程为_答案3xy130解析由题意知直线l与AB垂直，且过A点，klkAB1，又kAB，k
12、l3，l的方程为y43(x3)，即3xy130.1一般地，与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBym0；与之垂直的直线方程可设为BxAyn0.2过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.3点到直线与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等课时作业一选择题1已知直线PQ的斜率为，则将直线绕点P沿顺时针方向旋转60所得的直线的斜率是()A B0 C. D.答案C解析由直线PQ的斜率为得直线的倾
13、斜角为120，故绕点P沿顺时针方向旋转60所得的直线的倾斜角为60，斜率为.2过两点(1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为()A B C. D2答案A解析由两点式，得y2x3，令y0，有x，即为在x轴上的截距3若直线mxny20平行于直线x2y50，且在y轴上的截距为1，则m，n的值分别为()A1和2 B1和2C1和2 D1和2答案C解析由已知得直线mxny20过点(0,1)，则n2，又因为两直线平行，所以，解得m1.4已知直线l的方程为AxByC0，当A0，B0时，直线l必经过()A第一、二、三象限 B第二、三、四象限C第一、三、四象限 D第一、二、四象限答案A解析直线l的方程可化为y
14、x，A0，B0，0且0.故直线l经过第一、二、三象限5等腰直角三角形ABC中，C90，若A，C的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B的坐标可能是()A(2,0)或(4,6) B(2,0)或(6,4)C(4,6) D(0,2)答案A解析设B点坐标为(x，y)，根据题意可得即解得或所以B(2,0)或B(4,6)6已知点P(x，y)在直线2xy50上，O为原点，则|OP|的最小值为()A. B.C2 D2答案A解析直线上的点到原点的距离的最小值，即原点到直线的距离，根据点到直线的距离公式得d.故选A.7已知点A(1,1)，B(3,5)到经过点(2,1)的直线l的距离相等，则l的方程为()A2xy
15、30Bx2C2xy30或x2D以上都不对答案C解析当A、B都在l的同侧时，设l的方程为y1k(x2)，此时，ABl，所以kkAB2，l的方程为2xy30.当A，B在l的两侧时，A，B到x2的距离相等，因此，l的方程为x2，故选C.8已知直线l1：y2x3，直线l2与l1关于直线yx对称，则直线l2的斜率为()A. B C2 D2答案A解析l1关于直线yx的对称直线为x2y3，即yx，所以l2的斜率为，故选A.二、填空题9若点A(4，1)在直线l1：axy10上，则l1与l2：2xy30的位置关系是_答案l1l2解析将A(4，1)点的坐标代入axy10，得a，则21，l1l2.10直线3xmy1
16、0与4x3yn0的交点为(2，1)，则坐标原点到直线mxny5的距离为_答案解析将x2，y1代入直线方程可得解得直线mxny5可化为xy10.则坐标原点到直线xy10的距离为.11将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn_.答案解析由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的垂直平分线，于是解得故mn.三、解答题12已知两条直线l1：xm2y60，l2：(m2)x3my2m0，当m为何值时，l1与l2(1)相交；(2)平行；(3)重合？解当m0时，l1：x60，l
17、2：x0，l1l2.当m2时，l1：x4y60，l2：3y20，l1与l2相交当m0且m2时，由，得m1或m3，由，得m3.故(1)当m1且m3且m0时，l1与l2相交(2)当m1或m0时，l1l2.(3)当m3时，l1与l2重合四、探究与拓展13已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|4，则称该直线为“切割型直线”下列直线中是“切割型直线”的是_(填序号)yx1；y2；yx；y2x1.答案解析根据题意，关键是看所给直线上的点到定点M的距离能否取4.可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到各直线的距离来分析由点到直线的距离公式得d34，故直线上不存在点P到M的距离等于4，不
18、是“切割型直线”；由点到直线的距离公式得d24，故直线上不存在点P到M的距离等于4，不是“切割型直线”14已知三条直线l1：mxym0，l2：xmym(m1)0，l3：(m1)xy(m1)0，它们围成ABC.(1)求证：不论m取何值时，ABC中总有一个顶点为定点；(2)当m取何值时，ABC的面积取最值？并求出最值(1)证明设直线l1与直线l3的交点为A.由解得点A的坐标为(1,0)，不论m取何值，ABC中总有一个顶点A(1,0)为定点(2)解由解得即l2与l3交点为B(0，m1)再由解得即l1与l2交点为C.设边AB上的高为h，SABC|AB|h.当m0时，S；当m0时，S.函数f(x)x的值域为2，)(，20或0，S或S.当m1时，ABC的面积的最大值为，当m1时，ABC的面积的最小值为.