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1、3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离学习目标1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握用解析法研究几何问题知识点一点到直线的距离思考1如图，点P(x0，y0)到直线AxByC0(A，B不同时为0)的距离d同线段PS，PR，RS间存在什么关系？答案d.思考2根据思考1的思路，点P到直线AxByC0的距离d怎样用A，B，C及x0，y0表示？答案d.思考3点到直线的距离公式对于A0或B0时的直线是否仍然适用？答案仍然适用，当A0，B0时，直线l的方程为ByC0，即y，d|y0|，适合公式当B0，A0时，直线l的方
2、程为AxC0，x，d|x0|，适合公式梳理点到直线的距离(1)定义：点到直线的垂线段的长度(2)图示：(3)公式：d.知识点二两条平行直线间的距离思考直线l1：xy10上有A(1,0)、B(0,1)、C(1,2)三点，直线l2：xy10与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？答案点A、B、C到直线l2的距离分别为、.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等梳理两条平行直线间的距离(1)定义：夹在两平行线间的公垂线段的长(2)图示：(3)求法：转化为点到直线的距离(4)公式：两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距离d
3、.类型一点到直线的距离例1(1)求点P(2，3)到下列直线的距离yx；3y4；x3.解yx可化为4x3y10，点P(2，3)到该直线的距离为；3y4可化为3y40，由点到直线的距离公式得；x3可化为x30，由点到直线的距离公式得1.(2)求过点M(1,2)，且与点A(2,3)，B(4,5)距离相等的直线l的方程解方法一当过点M(1,2)的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，恰好与A(2,3)，B(4,5)两点距离相等，故x1满足题意，当过点M(1,2)的直线l的斜率存在时，设l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由点A(2,3)与B(4,5)到直线l的距离相等，得，解得k，此时l的方
4、程为y2(x1)，即x3y50.综上所述直线l的方程为x1或x3y50.方法二由题意得lAB或l过AB的中点，当lAB时，设直线AB的斜率为kAB，直线l的斜率为kl，则kABkl，此时直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB的中点(1,4)时，直线l的方程为x1.综上所述，直线l的方程为x1或x3y50.反思与感悟(1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题：直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用直线方程AxByC0，当A0或B0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解(2)用待定系数法求
5、直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意跟踪训练1(1)若点(4，a)到直线4x3y0的距离不大于3，则a的取值范围是_(2)已知直线l过点P(3,4)且与点A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为_答案(1)，(2)2xy20或2x3y180解析(1)由题意知3，解得a，故a的取值范围为，(2)过点P(3,4)且斜率不存在时的直线x3与A、B两点的距离不相等，故可设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，由已知得，k2或k，所求直线l的方程为2x3y180或2xy20.类型二两平行线间的距离例2(1)两直线3xy30和6xmy10平行，则它们之间的距离为_(2)已知直线l
6、与两直线l1：2xy30和l2：2xy10的距离相等，则l的方程为_答案(1)(2)2xy10解析(1)由题意，得，m2，将直线3xy30化为6x2y60，由两平行线间距离公式，得.(2)设直线l的方程为2xyc0，由题意，得，解得c1，直线l的方程为2xy10.反思与感悟求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：ykxb1，l2：ykxb2，且b1b2时，d；当直线l1：AxByC10，l2：AxByC20且C1C2时，d.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等跟踪训练2(1)求与直线l：5x12y60平行且到l的距离为2的直线方程；(2)两平行直线l1，l2分
7、别过P1(1,0)，P2(0,5)，若l1与l2的距离为5，求两直线方程解(1)方法一设所求直线的方程为5x12yC0，在直线5x12y60上取一点P0(0，)，则点P0到直线5x12yC0的距离为，由题意，得2，所以C32或C20，故所求直线的方程为5x12y320或5x12y200.方法二设所求直线的方程为5x12yC0，由两平行直线间的距离公式得2，解得C32或C20，故所求直线的方程为5x12y320或5x12y200.(2)依题意，两直线的斜率都存在，设l1：yk(x1)，即kxyk0，l2：ykx5，即kxy50.因为l1与l2的距离为5，所以5，解得k0或.所以l1和l2的方程分
8、别为y0和y5或5x12y50和5x12y600.类型三利用距离公式求最值例3已知实数x，y满足6x8y10，则的最小值为_答案解析，上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离，即为点N到直线l：6x8y10上任意一点M(x，y)的距离，S|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，即|MN|mind.反思与感悟解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决跟踪训练3(1)动点P(x，y)在直线xy40上，O为原点，求|OP|最小时P点的坐标；(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程解(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直
9、线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP1，OP所在直线方程为yx，由解得P点坐标为(2,2)(2)由题意知过P点且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，kOP2，所求直线方程为y2(x1)，即x2y50.例4两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(3，1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.(1)求d的取值范围；(2)求d取最大值时，两条直线的方程解(1)设经过A点和B点的直线分别为l1、l2，显然当时，l1和l2的距离最大，且最大值为|AB|3，d的取值范围为(0,3(2)由(1)知dmax3，此时k3，两直线的方程分别为3xy200或3xy100.反思与感悟两平
10、行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值跟踪训练4已知P，Q分别是直线3x4y50与6x8y50上的动点，则|PQ|的最小值为()A3 B. C. D.答案D解析两平行线间的距离就是|PQ|的最小值，3x4y50可化为6x8y100，则|PQ|.1已知点(a,1)到直线xy10的距离为1，则a的值为()A1 B1 C. D答案D解析由题意知1，即|a|，a.2直线x2y10与直线x2yc0的距离为2，则c的值为()A9 B11或9C11 D9或11答案B解析两平行线间的距离为d2，解得c9或11.3已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2xy
11、10上，则|MP|的最小值是()A. B.C. D3答案B解析点M到直线2xy10的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为.4两平行直线3x4y50与6xay300间的距离为d，则ad_.答案10解析由两直线平行知，a8，d2，ad10.5直线3x4y270上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是_答案(5，3)解析由题意知过点P作直线3x4y270的垂线，设垂足为M，则|MP|为最小，直线MP的方程为y1(x2)，解方程组得所求点的坐标为(5，3)1点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式当直线与坐标轴垂直时可直接求
12、之2利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰3已知两平行直线，其距离可利用公式d求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离课时作业一、选择题1点(1，1)到直线y1的距离是()A. B.C3 D2答案D解析d2，故选D.2两平行线3x4y70和6x8y30之间的距离为()A. B2C. D.答案C解析3x4y70可化为6x8y140，由两平行线间的距离公式可得.3已知点A(3，4)，B(6,3)到直线l：axy10的距离相等，则实数a的值等于()A. BC或 D或答案C解析由点到直线的距离公式可得，化简得|3a3|6a4|，解得实数a或.故选C.4到
13、直线2xy10的距离等于的直线方程为()A2xy0B2xy20C2xy0或2xy20D2xy0或2xy20答案D解析根据题意可设所求直线方程为2xyc0，因为两直线间的距离等于，所以d，解得c0或c2，故所求直线方程为2xy0或2xy20.5点P(2,3)到直线：ax(a1)y30的距离d为最大时，d与a的值依次为()A3，3 B5,2C5,1 D7,1答案C解析直线恒过点A(3,3)，根据已知条件可知当直线ax(a1)y30与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a1.故选C.6两平行线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，它们之间的距离d满足的条件是()A0d3 B0d5C0d4 D3d5
14、答案B解析当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大为|AB|5，所以01)，则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)，|AD|，|BC|b.梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故h(b1)，由梯形面积公式得4，b29，b3.但b1，b3.从而得到直线l2的方程是xy30.四、探究与拓展13已知入射光线在直线l1：2xy3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为()A6 B3 C. D.答案C解析如图所示，结合图形可知，直线l1l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离由题意知l1与l2关于x轴对称，故l2的方程为y2x3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y2x3.由两平行线间的距离公式得l1与l3间的距离d，即点P到直线l3的距离为.14已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，求一点P，使|PA|PB|，且点P到l的距离等于2.解AB的中点坐标为(3，2)，kAB1，所以线段AB的垂直平分线方程为y2x3，即xy50，设点P(a，b)，则P在直线xy50上，故ab50，又2，解得或故所求的点为P(1，4)或P(，)