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1、3.1.1倾斜角与斜率学习目标1.理解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率知识点一直线的倾斜角思考1在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？答案不能思考2在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？答案不同梳理(1)倾斜角的定义当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)直线的倾斜角的取值范围为0180.(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置
2、的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可知识点二直线的斜率与倾斜角的关系思考1在日常生活中，我们常用“”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？答案不同，因为.思考2思考1中图的“坡度”与角，存在等量关系吗？答案存在，图(1)中，坡度tan ，图(2)中，坡度tan .梳理(1)直线的斜率把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan .(2)斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)009090900不存在k0知识点三过两点的直线的斜率公式直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k(x1x2)类型一直线的倾斜角例1设直线l
3、过原点，其倾斜角为，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40，得直线l1，则直线l1的倾斜角为()A40B140C140D当0140时为40，当140180时为140答案D解析根据题意，画出图形，如图所示：因为0180，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意通过画图(如图所示)可知：当0140时，l1的倾斜角为40；当140180时，l1的倾斜角为40180140.故选D.反思与感悟(1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论跟踪训练1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30，
4、则直线l的倾斜角为 答案60或120解析有两种情况：如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60，即直线l的倾斜角为60.如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120，即直线l的倾斜角为120.类型二直线的斜率例2经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(2,3)，D(2，1)；(3)P(3,1)，Q(3,10)解(1)存在直线AB的斜率kAB1，即tan 1，又0180，所以倾斜角45.(2)存在直线CD的斜率kCD1，即tan 1，又0180，所以倾斜角135.(3)不存在因为xPxQ3，所以直线PQ
5、的斜率不存在，倾斜角90.反思与感悟(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项运用公式的前提条件是“x1x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置(2)在00知，直线l1的倾斜角为锐角；由k20知，直线l2的倾斜角为钝角；由k30知，直线l3的倾斜角为0.类型三直线的倾斜角、斜率的应用例3如果三点A(2,1)，B(2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求m的值解kAB，kAC，A，B，C三点共线，kABkAC，即，m6.反思与感悟斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的直线
6、上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因跟踪训练3已知倾斜角为90的直线经过点A(2m,3)，B(2，1)，则m的值为()A0 B1 C2 D3答案B解析由题意可得2m2，解得m1.例4直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围解如图所示kAP1，kBP，k(，1，)，45120.反思与感悟(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式ktan (90)解决(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k(x1x2)求解(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求
7、解跟踪训练4已知A(3,3)，B(4,2)，C(0，2)若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围解如图所示当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.1对于下列命题：若是直线l的倾斜角，则01时，tan 0，090，故090.5已知交于点M(8,6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1234，又知l2过点N(5,3)，求这四条直线的倾斜角解l2的斜率为1，l2的倾斜角为45，由题意可得：l1的倾斜角为22.5，l3的倾斜角为67.5，l4的倾斜角为90.直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：
8、直线情况平行于x轴垂直于x轴的大小009090900不存在k0k的增减情况k随的增大而增大k随的增大而增大课时作业一、选择题1下列说法中正确的是()A一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B直线的倾斜角的取值范围是0，180C和x轴平行的直线的倾斜角为180D每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率答案D解析倾斜角是直线向上方向与x轴的正方向所成的角，故选项A不正确；直线的倾斜角的取值范围是0，180)，故选项B不正确；当直线与x轴平行时，倾斜角为0，故选项C不正确2已知l1l2，直线l1的倾斜角为60，则直线l2的倾斜角为()A60 B120 C30 D150答案D
9、解析两直线垂直时，它们的倾斜角相差90，由l1的倾斜角为60知，l2的倾斜角为150.3若直线过坐标平面内两点(1,2)，(4,2)，则此直线的倾斜角是()A30 B45 C60 D90答案A解析由题意知k，直线的倾斜角为30.4已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角为()A60 B30C60或120 D30或150答案C解析由题意知|tan |，即tan 或tan ，直线l的倾斜角为60或120.5下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为()A(1,3)、(5,7)、(10,12) B(1,4)、(2,1)、(2,5)C(0,2)、(2,5)、(3,7) D(1，1)、(3,3)、
10、(5,7)答案C解析A、B、D三个选项中三点均共线6.若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2答案D解析由题图可知，k10，k30，且l2比l3的倾斜角大k1k3k2.7一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为(090)，则其倾斜角为()A B180C180或90 D90或90答案D解析如图所示，当l方向向上的部分在y轴左侧时，倾斜角为90；当l方向向上的部分在y轴右侧时，倾斜角为90.故选D.8已知直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是()A2 B1 C. D0答案A解析
11、如图，kOA2，kl0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k0,2故直线l的斜率k的最大值为2.二、填空题9若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则的值等于 答案解析由于A，B，C三点共线，所以此直线的斜率既可用A，B两点的坐标表示，也可用A，C两点的坐标表示，于是有，由此可得abab，两边同时除以ab，得.10已知点A(1,2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135，则点P的坐标为 答案(3,0)或(0,3)解析由题意知kPA1，若P点在x轴上，则设P(m,0)，则1，解得m3；若P点在y轴上，则设P(0，n)，则1，解得n3，故P点的坐标为(3,
12、0)或(0,3)11若经过点A(1t,1t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是 答案(2,1)解析由题意知，kAB.因为直线的倾斜角为钝角，所以kAB0，解得2t1.12若直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(mR)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为 答案0，45(90，180)解析直线l的斜率k1m21.若l的倾斜角为，则tan 1.又0，180)，当0tan 1时，045；当tan 0时，900，解得m2.(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，即k0，解得m2.(3)当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m3m2，此方程无解，故直线MN的倾斜角不可能为直角四、探究与拓展14已知坐标平面内三点A(1,1)，B(1,1)，C(2，1)若D为ABC的边AB上一动点，则直线CD的斜率k的取值范围为()A，3B0，)C，)D，)答案A15已知坐标平面内三点P(3，1)，M(6,2)，N(，)，直线l过点P.若直线l与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围解考虑临界状态，令直线PM的倾斜角为1，直线PN的倾斜角为2，由题意知tan 11，tan 2，故直线PM的倾斜角为45，直线PN的倾斜角为150，根据倾斜角的定义知符合条件的直线l的倾斜角的取值范围是45150.