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1、第一章 三角函数学习目标1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象.4.理解三角函数ysin x，ycos x，ytan x的性质.5.了解函数yAsin(x)的实际意义，掌握函数yAsin(x)图象的变换.1.任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(1)y叫做的正弦，记作sin ，即sin y；(2)x叫做的余弦，记作cos ，即cos x；(3)叫做的正切，记作tan ，即tan (x0).2.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2co
2、s21.(2)商数关系：tan .3.诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k(kZ)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1，11，1R对称性对称轴：xk(kZ)；对称中心：(k，0)(kZ)对称轴：xk(kZ)；对称中心：(kZ)对称中心：(kZ)，无对称轴奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性最小正周期：2最小正周期：2最小正周期：单调性在 (kZ)上单调递增；在 (kZ)上单调递减在2k，2k
3、(kZ)上单调递增；在2k，2k(kZ)上单调递减在开区间(k，k)(kZ)上递增最值在x2k(kZ)时，ymax1；在x2k(kZ)时，ymin1在x2k(kZ)时，ymax1；在x2k(kZ)时，ymin1无最值类型一三角函数的概念例1已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y .答案8解析r，且sin ，所以sin ，所以为第四象限角，解得y8.反思与感悟(1)已知角的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.在的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距
4、离为r(r0).则sin ，cos .已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便.(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值.解角的终边在直线3x4y0上，在角的终边上任取一点P(4t，3t)(t0)，则x4t，y3t.r5|t|.当t0时，r5t，sin ，cos ，tan ；当t0时，r5t，sin ，cos ，tan .综上可知，sin ，cos ，tan 或sin ，cos ，tan .类型二同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用例2已知关于x的方程2x2(1)x
5、m0的两根为sin ，cos ，(0，2).求：(1)；(2)m的值；(3)方程的两根及此时的值.解由根与系数的关系，得sin cos ，sin cos .(1)原式sin cos .(2)由sin cos ，两边平方可得12sin cos ，121，m.(3)由m可解方程2x2(1)x0，得两根和. 或 (0，2)，或.反思与感悟(1)牢记两个基本关系式sin2cos21及tan ，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin cos 的值，可求cos sin .注意应用(cos sin )212sin cos .(2)诱导公式可概括为k
6、(kZ)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.跟踪训练2已知f().(1)化简f()；(2)若f()，且，求cos sin 的值；(3)若，求f()的值.解(1)f()sin cos .(2)由f()sin cos 可知，(cos sin )2cos22sin cos sin212sin cos 12.又，cos sin ，即cos sin 0，求a，b的值.解令tsin x，则g(t)t2atb12b1，且t1，1.根据对称轴t0与区间1，1的位置关系进行分类讨论.当1，即a2时，解得当10，即0af()，则f(x)的单调递增区间是 .答案(kZ)解析由题意可知，当x
7、时，f(x)取最值.fsin1，k(kZ)，k(kZ).又ff()，sin()sin(2)，即sin sin ，sin 0)的图象向左平移个单位得到函数yg(x)的图象.若yg(x)在，上为增函数，则的最大值为 .答案215.已知函数f(x)cos，xR.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.解(1)因为f(x)cos，xR，所以函数f(x)的最小正周期为T.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，故函数f(x)的单调递增区间为(kZ).(2)因为f(x)cos在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f0，f，fcoscos 1，所以函数f(x)在区间上的最大值为，此时x；最小值为1，此时x.