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1、1.3 三角函数的诱导公式（一）学习目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.设角的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos ，sin ).知识点一诱导公式二思考角的终边与角的终边有什么关系？角的终边与单位圆的交点P1(cos()，sin()与点P(cos ，sin )呢？它们的三角函数之间有什么关系？答案角的终边与角的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式二sin()sin ，cos()cos ，tan()tan .知识点二诱导公式三思考角的终边与
2、角的终边有什么关系？角的终边与单位圆的交点P2(cos()，sin()与点P(cos ，sin )有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？答案角的终边与角的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式三sin()sin ，cos()cos ，tan()tan .知识点三诱导公式四思考角的终边与角的终边有什么关系？角的终边与单位圆的交点P3(cos()，sin()与点P(cos ，sin )有怎样的关系？它们的三角函之间有什么关系？答案角的终边与角的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式四sin()sin ，cos()cos
3、，tan()tan .梳理公式一四都叫做诱导公式，它们分别反映了2k(kZ)，的三角函数与的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是： 2k(kZ)，的三角函数值等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”.类型一利用诱导公式求值命题角度1给角求值问题例1求下列各三角函数式的值.(1)cos 210；(2)sin ；(3)sin()；(4)cos(1 920).解(1)cos 210cos(18030)cos 30.(2)sinsin(2)sinsin()sin.(3)sin()sin(6)sinsin()sin.(4)cos(1 920)cos
4、 1 920cos(5360120)cos 120cos(18060)cos 60.反思与感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：(1)“负化正”：用公式一或三来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0到360间的角.(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.跟踪训练1求下列各三角函数式的值.(1)sin 1 320；(2)cos；(3)tan(945).解(1)方法一sin 1 320sin(3360240)sin 240sin(18060)sin 60.方法二sin 1 320sin(4360120)sin(120)sin(18
5、060)sin 60.(2)方法一coscoscoscos()cos .方法二coscoscoscos.(3)tan(945)tan 945tan(2252360)tan 225tan(18045)tan 451.命题角度2给值求角问题例2已知sin()cos(2)，|，则等于()A. B. C. D.答案D解析由sin()cos(2)，|，可得sin cos ，|，即tan ，|，.反思与感悟对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角.跟踪训练2已知sin()sin()，cos()cos()，0，0，求，.解由题意，得22，得sin23
6、cos22，即sin23(1sin2)2，sin2，sin .0，sin ，或.把，分别代入，得cos 或cos .又0，或.，或，.类型二利用诱导公式化简例3化简下列各式.(1)；(2).解(1)原式tan .(2)原式1.引申探究若本例(1)改为：(nZ)，请化简.解当n2k时，原式tan ；当n2k1时，原式tan .反思与感悟三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.(3)注意“1”的变式应用：如1sin2cos2tan .跟踪训练3化简下列各式.(1)；(2).解(1)原式1.(2)原式.
7、1.sin 585的值为()A. B. C. D.答案A解析sin 585sin(360225)sin(18045)sin 45.2.cos()sin()的值为()A. B.C. D.答案C解析原式cos sin cos sin cos sin .3.已知cos()()，则tan()等于()A. B. C. D.答案D解析方法一cos()cos ，cos .0.sin ，tan()tan .方法二由cos ，得，tan ，tan()tan .4.sin 750 .答案解析sin sin(k360)，kZ，sin 750sin(236030)sin 30.5.化简：sin(2)cos(2).解原
8、式sin(2)cos(2)sin cos cos2.1.明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式一将角转化为02之间的角求值公式二将02内的角转化为0之间的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四将角转化为0之间的角求值2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上可以是任意角.3.已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为02之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解.必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知
9、角”课时作业一、选择题1.cos 600的值为()A. B.C. D.答案D解析cos 600cos(360240)cos 240cos(18060)cos 60.2.若cos()，2，则sin(2)等于()A. B.C. D.答案D解析由cos()，得cos ，故sin(2)sin (为第四象限角).3.记cos(80)k，那么tan 100等于()A. B.C. D.答案B解析cos(80)k，cos 80k，sin 80，则tan 80.tan 100tan 80.4.已知n为整数，化简所得的结果是()A.tan n B.tan nC.tan D.tan 答案C解析当n2k，kZ时，ta
10、n ；当n2k1，kZ时，tan .故选C.5.tan(5)m，则的值为()A. B.C.1 D.1答案A解析tan(5)tan m，原式.6.若sin()log8 ，且(，0)，则cos()的值为()A. B.C. D.以上都不对答案B解析sin()sin log 22，cos()cos .二、填空题7.的值是 .答案 2解析原式2.8.已知atan，bcos ，csin，则a，b，c的大小关系是 .并比较值的大小答案bac解析atantan ，bcoscos ，csinsin，bac.9.已知cos()，2，则sin(3)cos() .答案解析cos()cos ，cos ，又2，2，sin
11、 .sin(3)cos()sin(3)cos()sin()(cos )sin cos (sin cos ).10.已知函数f(x)asin(x)bcos(x)，且f(4)3，则f(2 017)的值为 .答案3解析f(4)asin(4)bcos(4)asin bcos 3，f(2 017)asin(2 017)bcos(2 017)asin()bcos()asin bcos 3.11.已知sin()log8，且(，0)，则tan(2)的值为 .答案12.已知cos(508)，则cos(212) .答案三、解答题13.化简下列各式.(1)sin()cos ；(2)sin(960)cos 1 470
12、cos(240)sin(210).解(1)sin()cos sin(6)cos()sin cos .(2)sin(960)cos 1 470cos 240sin(210)sin(180602360)cos(304360)cos(18060)sin(18030)sin 60cos 30cos 60sin 301.四、探究与拓展14.已知f(x)则f()f()的值为 .答案2解析因为f()sin()sin(2)sin；f()f()1f()2sin()22，所以f()f()2.15.已知f().(1)化简f()；(2)若是第三象限角，且sin()，求f()的值；(3)若，求f()的值.解(1)f()cos .(2)sin()sin ，sin .又是第三象限角，cos .f().(3)62，fcoscos cos .