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1、1.3 三角函数的诱导公式（二）学习目标1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.知识点一诱导公式五完成下表，并由此总结角，角的三角函数值间的关系.(1)sin，cos，sincos；(2)sin，cos，sincos；(3)sin，cos，sincos.由此可得诱导公式五sin=cos ，cos=sin .知识点二诱导公式六思考能否利用已有公式得出的正弦、余弦与角的正弦、余弦之间的关
2、系？答案 以代替公式五中的得到sin cos()，cos sin().由此可得诱导公式六sin=cos ，cos=sin .知识点三诱导公式的推广与规律1.sin()cos ，cos()sin ，sin()cos ，cos()sin .2.诱导公式记忆规律：公式一四归纳：2k(kZ)，的三角函数值，等于角的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”.公式五六归纳：的正弦(余弦)函数值，分别等于的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”.六组诱导公式可以统一概括为
3、“k(kZ)”的诱导公式.记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指k(kZ)中k的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是诱导公式中，把看成锐角时原函数值的符号，而不是函数值的符号.类型一利用诱导公式求值例1(1)已知cos()，为第一象限角，求cos的值.(2)已知cos，求cossin的值.解(1)cos()cos ，cos ，又为第一象限角，则cossin .(2)cossincossincossinsincos.反思与感悟对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如与，与，与等互余，与，与等互补，遇到此类问题，不妨考
4、虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.跟踪训练1已知sin，求cos的值.解，.coscossin.类型二利用诱导公式证明三角恒等式例2求证：tan .证明左边tan 右边.原等式成立.反思与感悟利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同.跟踪训练2求证：.证明因为左边.右边.所以左边右边，故原等式成立.类型三诱导公式在三角形中的应用例3在ABC中，sinsin，试判断AB
5、C的形状.解ABC，ABC2C，ABC2B.sinsin，sinsin，sin(C)sin(B)，即cos Ccos B.又B，C为ABC的内角，CB，ABC为等腰三角形.反思与感悟解此类题需注意隐含的条件，如在ABC中，ABC，结合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，sincos，cossin.跟踪训练3在ABC中，给出下列四个式子：sin(AB)sin C；cos(AB)cos C；sin(2A2B)sin 2C；cos(2A2B)cos 2C.其中为常数的是()A. B. C. D.答案B解析sin(AB)sin C2sin C；cos(A
6、B)cos Ccos Ccos C0；sin(2A2B)sin 2Csin2(AB)sin 2Csin2(C)sin 2Csin(22C)sin 2Csin 2Csin 2C0；cos(2A2B)cos 2Ccos2(AB)cos 2Ccos2(C)cos 2Ccos(22C)cos 2Ccos 2Ccos 2C2cos 2C.故选B.类型四诱导公式的综合应用例4已知f().(1)化简f()；(2)若角A是ABC的内角，且f(A)，求tan Asin A的值.解(1)f()cos .(2)因为f(A)cos A，又A为ABC的内角，所以由平方关系，得sin A，所以tan A，所以tan As
7、in A.反思与感悟解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.跟踪训练4已知sin 是方程5x27x60的根，是第三象限角，求tan2()的值.解方程5x27x60的两根为x1，x22，由是第三象限角，得sin ，则cos ，tan2()tan2tan2tan2.1.已知sin，则cos的值为()A. B.C. D.答案D解析coscossin.2.若cos(2)，则sin()等于()A. B.C. D.答案A解析cos(2)cos()cos ，sin()cos .3.已知tan 2，则等于()A.2 B.2C.0
8、D.答案B解析2.4.已知cos2sin，求的值.解cos2sin，sin 2sin，sin 2cos ，即tan 2.5.求证：tan .证明因为左边tan 右边，所以原等式成立.1.诱导公式的分类及其记忆方式(1)诱导公式分为两大类：k2，(2k1)(kZ)的三角函数值，等于的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”.，的三角函数值，等于的异名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.(2)以上两类公式可以归纳为：k(kZ)的三角函数值，当k为偶数时，得的同名函数值；当k为奇
9、数时，得的异名函数值，然后在前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.2.利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成(0，)内的三角函数值”这种方式求解.用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到之间的角的三角函数的基本步骤：课时作业一、选择题1.已知sin()，那么cos 等于()A. B.C. D.答案C解析sin()cos ，故cos ，故选C.2.已知cos()，且是第四象限角，则cos(3)等于()A. B.C. D.答案B解析cos()sin ，sin .又为第四象限角，cos ，cos(3)cos()cos ，故选B.3.若角A，B，C是ABC的
10、三个内角，则下列等式中一定成立的是()A.cos(AB)cos C B.sin(AB)sin CC.cossin B D.sincos答案D解析ABC，ABC，cos(AB)cos C，sin(AB)sin C，故A，B项不正确；ACB，coscos()sin，故C项不正确；BCA，sinsin()cos，故D项正确.4.已知锐角终边上一点P的坐标是(2sin 2，2cos 2)，则等于()A.2 B.2C.2 D.2答案C解析cos sin 2，为锐角，2.5.已知f(sin x)cos 3x，则f(cos 10)的值为()A. B. C. D.答案A解析f(cos 10)f(sin 80)
11、cos 240cos(18060)cos 60.6.若sin()cosm，则cos2sin(2)的值为()A. B. C. D.答案C解析sin()cossin sin m，sin .故cos2sin(2)sin 2sin 3sin .二、填空题7.若cos ，且是第四象限角，则cos .答案解析cos ，且是第四象限角，sin .cossin .8.sin21sin22sin288sin289 .答案解析原式(sin21sin289)(sin22sin288)(sin244sin246)sin24544.9.已知tan(3)2，则 .答案2解析因为tan(3)tan()tan 2，所以原式2
12、.10.在ABC中，sin3sin(A)，且cos Acos(B)，则C .答案解析由题意得cos A3sin A，cos Acos B， 由得tan A，A.由得cos B，B.C.三、解答题11.已知角的终边经过点P(4，3)，求的值.解角的终边经过点P(4，3)，tan ，tan .12.已知sincos，且cos 0，即sin cos 0，sin cos 0，sin cos ，sin cos ，得sin ，得cos .13.已知sin().计算：(1)cos；(2)sin；(3)tan(5).解sin()sin ，sin .(1)coscossin .(2)sincos ，cos21s
13、in21.sin ，为第一或第二象限角.当为第一象限角时，sincos .当为第二象限角时，sincos .(3)tan(5)tan()tan ，sin ，为第一或第二象限角.当为第一象限角时，cos ，tan ，tan(5)tan .当为第二象限角时，cos ，tan ，tan(5)tan .四、探究与拓展14.已知sin(3)2cos(4)，则 .答案解析sin(3)2cos(4)，sin(3)2cos(4)，sin()2cos()，sin 2cos 且cos 0，原式.15.已知是第四象限角，且f().(1)若cos，求f()的值；(2)若1 860，求f()的值.解f().(1)cos，cos，cos，sin ，f()5.(2)当1 860时，f().