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1、1.2.1任意角的三角函数(二)学习目标1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.知识点一三角函数的定义域思考正切函数ytan x为什么规定xR且xk，kZ?答案当xk，kZ时，角x的终边在y轴上，此时任取终边上一点P(0，yP)，因为无意义，因而x的正切值不存在.所以对正切函数ytan x，必须要求xR且xk，kZ.梳理正弦函数ysin x的定义域是R；余弦函数ycos x的定义域是R；正切函数ytan x的定义域是x|xR且xk，kZ.知识点二三角函数线思考1在平面直角坐标系中
2、，任意角的终边与单位圆交于点P，过点P作PMx轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin ，cos ，tan 与MP，OM，AT的关系吗？答案 sin MP，cos OM，tan AT.思考2三角函数线的方向是如何规定的？答案 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值.思考3三角函数线的长度和方向各表示什么？答案 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.梳理图示正弦线角的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线余弦线有向线段OM即为余弦线正切线过点A(1,0)作单位圆的切线，
3、这条切线必然平行于y轴，设它与的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段AT即为正切线类型一三角函数线例1作出的正弦线、余弦线和正切线.解如图所示，sinMP，cosOM，tanAT.反思与感悟(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.(2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.跟踪训练1在单位圆中画出满足sin 的角的终边，并求角的取值集合.解已知角的正弦值，可知MP，则P点纵坐标为.所以在y轴上取点，过这点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP
4、1，OP2是角的终边，因而角的取值集合为|2k或2k，kZ.类型二利用三角函数线比较大小例2利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小.解如图，sinMP，cosOM，tanAT，sinMP，cosOM，tanAT. 显然|MP|MP|，符号皆正，sinsin；|OM|cos；|AT|AT|，符号皆负，tanM2P2，且符号皆正，sin 1 155sin(1 654).类型三利用三角函数线解不等式(组)命题角度1利用三角函数线解不等式(组)例3在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合.(1)sin ；(2)cos .解(1)作直线y交单位圆于A
5、，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角的终边的范围.故满足要求的角的集合为|2k2k，kZ.(2)作直线x交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角的终边的范围.故满足条件的角的集合为|2k2k，kZ.反思与感悟用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：(1)先找到“正值”区间，即02内满足条件的角的范围，然后再加上周期；(2)注意区间是开区间还是闭区间.跟踪训练3已知cos ，利用单位圆中的三角函数线，确定角的取值范围.解图中阴影部分就是满足条件的角的范围
6、，即|2k2k或2k2k，kZ.命题角度2利用三角函数线求三角函数的定义域例4求下列函数的定义域.(1)y；(2)ylg(sin x).解(1)自变量x应满足2sin x0，即sin x.图中阴影部分就是满足条件的角x的范围，即x|2kx2k，kZ.(2)由题意知，自变量x应满足不等式组即则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，x|2kx2k，kZ.反思与感悟(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制.(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固
7、定的集合写成若干个固定集合再求交集.跟踪训练4求函数f(x)的定义域.解要使函数f(x)有意义，必须使2sin x10，则sin x.如图，画出单位圆，作x轴的平行直线y，交单位圆于点P1，P2，连接OP1，OP2，分别过点P1，P2作x轴的垂线，画出如图所示的两条正弦线，易知这两条正弦线的长度都等于.在0,2)内，sinsin.因为sin x，所以满足条件的角x的终边在图中阴影部分内(包括边界)，所以函数f(x)的定义域为x|2kx2k，kZ.1.下列四个命题中：当一定时 ，单位圆中的正弦线一定；在单位圆中，有相同正弦线的角相等；和有相同的正切线；具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上.
8、则错误命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3答案B解析由三角函数线的定义知正确，不正确.2.如图在单位圆中，角的正弦线、正切线完全正确的是() A.正弦线为PM，正切线为ATB.正弦线为MP，正切线为ATC.正弦线为MP，正切线为ATD.正弦线为PM，正切线为AT答案C3.设asin，bcos，ctan，则()A.abc B.acb C.bca D.bac答案D解析，作的三角函数线，则sinMP，cosOM，tanAT，OMMPAT，bac，故选D.4.函数y的定义域为 .答案 ，kZ5.利用三角函数线，在单位圆中画出满足下列条件的角的区域，并写出角的集合：(1)cos ；(2)tan
9、 ；(3)|sin |.解(1)|2k2k，kZ.(2)|ksin 1.2sin 1.5B.sin 1sin 1.5sin 1.2C.sin 1.5sin 1.2sin 1D.sin 1.2sin 1sin 1.5答案C解析1,1.2,1.5均在内，正弦线在内随的增大而逐渐增大，sin 1.5sin 1.2sin 1.3.若02，且sin ，则角的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析角的取值范围为图中阴影部分，即.4.若角的余弦线是单位长度的有向线段，那么角的终边在()A.y轴上 B.x轴上C.直线yx上 D.直线yx上答案B解析由题意得|cos |1，即cos 1，则角的终边在x轴上
10、.故选B.5.在下列各组的大小比较中，正确的是()A.sinsin B.coscosC.tantan D.sintan答案B6.有三个命题：和的正弦线长度相等；和的正切线相同；和的余弦线长度相等.其中正确说法的个数为()A.1 B.2 C.3 D.0答案C解析和的正弦线关于y轴对称，长度相等；和两角的正切线相同；和的余弦线长度相等.故都正确，故选C.7.点P(sin 3cos 3，sin 3cos 3)所在的象限为()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析因为3，作出单位圆如图所示. 设MP，OM分别为a，b.sin 3a0，cos 3b0，所以sin 3cos 30.
11、因为|MP|OM|，即|a|b|，所以sin 3cos 3ab0.故点P(sin 3cos 3，sin 3cos 3)在第四象限.二、填空题8.不等式tan 0的解集是 .答案|kk，kZ解析不等式的解集如图所示(阴影部分)，.9.把sin，sin，cos，tan由小到大排列为 .答案cossinsin0，sinM2P20，tanAT0，cosOM30.而0M1P1M2P2AT，0sinsintan.而cos0，cossinsin0，所以是第一或第二象限角.12.若角的终边落在直线xy0上，则 .答案0三、解答题13.在单位圆中画出适合下列条件的角的终边.(1)sin ；(2)cos .解(1
12、)作直线y交单位圆于P，Q两点，则OP，OQ为角的终边，如图甲.(2)作直线x交单位圆于M，N两点，则OM，ON为角的终边，如图乙.四、探究与拓展14.函数ylogsin x(2cos x1)的定义域为 .答案x|2kx2k或2kx2k，kZ解析由题意可知，要使函数有意义，则需如图所示，阴影部分(不含边界与y轴)即为所求. 所以所求函数的定义域为x|2kx2k或2kx2k，kZ.15.若，是关于x的一元二次方程x22(cos 1)xcos20的两实根，且|2，求的范围.解方程有两实根，4(cos 1)24cos20，cos .|2，()248.由根与系数的关系，得2(cos 1)，cos2，4(cos 1)24cos28，即cos .由得cos ，利用单位圆中的三角函数线可知2k2k，kZ或2k2k，kZ.kk，kZ.