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1、2.2.2椭圆的几何性质(一)学习目标1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考1观察椭圆1(ab0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？思考2在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？梳理椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程_(ab0)_(ab0)图形焦点坐标对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b
2、，0)，B2(b，0)范围|x|_，|y|_|x|_，|y|_长轴、短轴长轴A1A2长为_，短轴B1B2长为_知识点二椭圆的离心率思考如何刻画椭圆的扁圆程度？梳理(1)椭圆的焦距与长轴长的比e_称为椭圆的离心率 (2)对于1，b越小，对应的椭圆越_，反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当ab时，c0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x2y2a2.(如图) 类型一由椭圆方程研究其简单几何性质例1求椭圆9x216y2144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x216y21”，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶
3、点坐标反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量跟踪训练1求椭圆9x2y281的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率类型二椭圆几何性质的简单应用命题角度1依据椭圆的几何性质求标准方程例2如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为，求这个椭圆的方程反思与感悟此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置跟踪训练2根据下列条件，求中心在原
4、点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，6)；(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.命题角度2对称性问题例3讨论方程x3yx2y2xy31所表示的曲线关于x轴，y轴，原点的对称性反思与感悟研究曲线关于x轴，y轴，原点的对称性，只需用“y”代替方程中的“y”，用“x”代替方程中的“x”，或同时代替，若方程不变，则得到相应的对称性跟踪训练3曲线x22y10的对称轴为()Ax轴 By轴C直线yx D无法确定命题角度3最值问题例4椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e，已知点P(0，)到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程反思与
5、感悟求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等跟踪训练4已知点F1，F2是椭圆x22y22的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是()A0 B1 C2 D2类型三椭圆离心率的求解例5已知椭圆1(ab0)的两个焦点分别为F
6、1，F2，斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A，B，与y轴的交点为C，且B为线段CF1的中点，若|k|，求椭圆离心率e的取值范围反思与感悟求e的取值范围有以下几个步骤：(1)切入点：已知|k|，求e的取值范围，需建立关于e的不等式(2)思考点：e与k有什么关系？建立e与k的等量关系式；利用B在椭圆上且为CF1的中点，构建关于e与k的等式；如何求e的范围？先用e表示k，再利用|k|，求e的取值范围(3)解题流程：先写出l的方程，求出B点的坐标，由点B在椭圆上，建立e与k的关系式，再求e的范围跟踪训练5已知点P(m，4)是椭圆1(ab0)上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若PF1F2
7、的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率为_1已知椭圆的方程为2x23y2m(m0)，则此椭圆的离心率为()A. B. C. D.2与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是()A.1 Bx21C.y21 D.13若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3，0)，则此椭圆的标准方程为_4已知点(m，n)在椭圆8x23y224上，则2m4的取值范围是_5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(10，0)，则焦点坐标为_1可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因
8、此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理2椭圆的定义式：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|PF2|看成一个整体灵活应用3利用正弦、余弦定理处理PF1F2的有关问题4椭圆上的点到一焦点的最大距离为ac，最小距离为ac.提醒：完成作业第二章2.2.2(一)答案精析问题导学知识点一思考1(1)范围：axa，byb；(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)思考2在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)梳理11(c，0)
9、(0，c)abba2a2b知识点二思考用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁梳理(1)(2)扁题型探究例1解已知方程化成标准方程为1，于是a4，b3，c，椭圆的长轴长和短轴长分别是2a8和2b6，离心率e，又知焦点在x轴上，两个焦点坐标分别是(，0)和(，0)，四个顶点坐标分别是(4，0)，(4，0)，(0，3)和(0，3)引申探究解由已知得椭圆标准方程为1，于是a，b，c .长轴长2a，短轴长2b，离心率e.焦点坐标为(，0)和(，0)，顶点坐标为(，0)，(0，)跟踪训练1解椭圆的标准方程为1，则a9，b3，c6，长轴长2a18， 短轴长2b6，焦点坐标为(0，6)
10、，(0，6)，顶点坐标为(0，9)，(0，9)，(3，0)，(3，0)离心率e.例2解依题意，设椭圆的方程为1(ab0)，由椭圆的对称性知|B1F|B2F|，又B1FB2F，B1FB2为等腰直角三角形，|OB2|OF|，即bc，|FA|，即ac，且a2b2c2，将上面三式联立，得解得所求椭圆方程为1.跟踪训练2解(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为1(ab0)依题意有解得椭圆方程为1.同样地可求出当焦点在y轴上时，椭圆方程为1.故所求的椭圆方程为1或1.(2)依题意有bc6，a2b2c272，所求的椭圆方程为1.例3解用“y”代替方程x3yx2y2xy31中的“y”，得x3yx2y2xy31，
11、它改变了原方程，因此方程x3yx2y2xy31所表示的曲线不关于x轴对称同理，方程x3yx2y2xy31所表示的曲线也不关于y轴对称而用“x”代替原方程中的“x”，用“y”代替原方程中的“y”，得(x)3(y)(x)2(y)2(x)(y)31，即x3yx2y2xy31，故方程x3yx2y2xy31所表示的曲线关于原点对称跟踪训练3B例4解设所求椭圆方程为1(ab0) ，a2b.椭圆方程为1.设椭圆上点M(x，y)到点P(0，)的距离为d，则d2x2(y)24b2(1)y23y3(y)24b23，(*)令f(y)3(y)24b23.(1)当b，即b时，df()4b237，解得b1，椭圆方程为y21.(2)当b，即0b，与b矛盾综上所述，所求椭圆方程为y21.跟踪训练4C例5解依题意得F1(c，0)，直线l：yk(xc)，则C(0，kc)因为点B为CF1的中点，所以B(，)因为点B在椭圆上，所以1，即1.所以1，所以k2.由|k|，得k2，即，所以2e417e280.解得e28.因为0e1，所以e21，即e1.跟踪训练5当堂训练1B2.B3.1442，425.(0，)