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1、2.2.2椭圆的几何性质(二)学习目标1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识知识点一点与椭圆的位置关系思考1判断点P(1，2)与椭圆y21的位置关系思考2类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系的判定吗？梳理设P(x0，y0)，椭圆1(ab0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：位置关系满足条件P在椭圆外1P在椭圆上1P在椭圆内b0)的位置关系？梳理(1)判断直线和椭圆位置关系的方法将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程若0，则直线和椭圆_；若0，则直线和椭圆_；若b0)相交，两个交点为A(x
2、1，y1)、B(x2，y2)，则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做_下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得|AB|，将y1kx1m，y2kx2m代入上式，得|AB|x1x2|，而|x1x2|，所以|AB|，其中x1x2与x1x2均可由根与系数的关系得到(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用0.例如，直线l：yk(x2)1和椭圆1.无论k取何值，直线l恒过定点(2，1)，而定点(2，1)在椭圆内部，所以直线l必与椭圆相交类型一点、直线与椭圆位置关系的判断命题角度1点与椭圆位置关系的判断例1已知点P(k，1)，椭圆1，点在椭圆外，则实数k的取
3、值范围为_引申探究若将本例中P点坐标改为“(1，k)”呢？反思与感悟处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性跟踪训练1已知点(3，2)在椭圆1(ab0)上，则()A点(3，2)不在椭圆上 B点(3，2)不在椭圆上C点(3，2)在椭圆上 D以上都不正确命题角度2直线与椭圆位置关系的判断例2(1)直线ykxk1与椭圆1的位置关系是()A相交 B相切 C相离 D不确定(2)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围反思与感悟直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程
4、，消元得到一元二次方程(1)0直线与椭圆相交有两个公共点(2)0直线与椭圆相切有且只有一个公共点(3)0直线与椭圆相离无公共点跟踪训练2(1)已知直线l过点(3，1)，且椭圆C：1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A1 B1或2 C2 D0(2)若直线ykx2与椭圆1相切，则斜率k的值是()A. B C D类型二弦长及弦中点问题例3已知椭圆1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，求直线AB的方程引申探究在本例中求弦AB的长反思与感悟直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式.解决弦长问题，一般应用弦长公式而用弦长公式时，
5、若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程跟踪训练3已知椭圆1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；(2)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程类型三椭圆中的最值(或范围)问题例4已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程反思与感悟求最值问题的基本策略(1)求解形如|PA|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|PB|取得最值(2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意
6、自变量的取值范围(3)求解形如axby的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决(4)利用不等式，尤其是均值不等式求最值或取值范围跟踪训练4已知动点P(x，y)在椭圆1上，若点A的坐标为(3，0)，|1，且0，求|的最小值1若点A(a，1)在椭圆1的内部，则a的取值范围是()Aa BaC2a2 D1a，故点在椭圆外思考2当P在椭圆外时，1；当P在椭圆上时，1；当P在椭圆内时，0相切一解0相离无解1，解得k2，即k.跟踪训练1C例2(1)A(2)解由已知条件知直线l的方程为ykx，代入椭圆方程得(kx)21.整理得x22kx10.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k244k22
7、0，解得k.即k的取值范围为.跟踪训练2(1)C(2)C例3解方法一根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y1k(x2)将其代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，于是x1x2.又M为线段AB的中点，2，解得k.故所求直线的方程为x2y40.方法二点差法设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2.M(2，1)为线段AB的中点，x1x24，y1y22.又A，B两点在椭圆上，则x4y16，x4y16，两式相减，得(xx)4(yy)0，于是(x1
8、x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.，即kAB.故所求直线的方程为x2y40.方法三对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，由于点M(2，1)为线段AB的中点，则另一个交点为B(4x，2y)A，B两点都在椭圆上，得x2y40.即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x2y40.引申探究解由上例得直线AB方程为x2y40.联立方程组消去y并整理，得x(x4)0，得x0或x4，得两交点坐标A(0，2)，B(4，0)，故|AB|2.跟踪训练3解(1)由已知可得直线l的方程为y2(x4)，即yx.
9、由消去y可得x2180，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1x20，x1x218.于是|AB| 63.所以线段AB的长度为3.(2)方法一当直线l的斜率不存在时，不合题意设l的斜率为k，则其方程为y2k(x4)联立消去y得(14k2)x2(32k216k)x(64k264k20)0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，由于AB的中点恰好为P(4，2)，所以4，解得k，且满足0.这时直线的方程为y2(x4)，即x2y80.方法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得0，整理得kAB由于P(4，2)是AB的中点，x1x28，y1y24，于是kAB，于是直线AB
10、的方程为y2(x4)，即x2y80.例4解(1)由得5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点， 所以4m220(m21)0，解得m.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知：5x22mxm210，所以x1x2，x1x2(m21)，所以|AB| .所以当m0时，|AB|最大，此时直线方程为yx.跟踪训练4解由|1，A(3，0)，知点M在以A(3，0)为圆心，1为半径的圆上运动，0且P在椭圆上运动，PMAM，即PM为A的切线，连接PA(如图)，则| ，当|minac532时，|min.当堂训练1A2.C3.24.(2，2)5解设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化简，得(12k2)x24kx0，所以x1x2，x1x20.由|MN|，得(x1x2)2(y1y2)2，所以(1k2)(x1x2)2，所以(1k2)(x1x2)24x1x2，即(1k2)()2，化简得k4k220，所以k21，所以k1.所以所求直线l的方程是yx1或yx1.