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1、2.4.2抛物线的几何性质学习目标1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题知识点一抛物线的范围思考观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？(2)根据图形及抛物线方程y22px(p0)如何确定横坐标x的范围？梳理抛物线y22px(p0)中，x_，y_.抛物线y22px(p0)中，x_，y_.抛物线x22py(p0)中，x_，y_.抛物线x22py(p0)中，x_，y_.知识点二四种形式的抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x2
2、2py(p0)图形范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴x轴x轴y轴y轴焦点F(，0)F(，0)F(0，)F(0，)准线方程xxyy顶点坐标O(0，0)离心率e1通径长2p知识点三直线与抛物线的位置关系直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x22(kbp)xb20解的个数 当k0时，若0，则直线与抛物线有_个不同的公共点；若0时，直线与抛物线有_个公共点；若0)，|PF|x0|x0；抛物线y22px(p0)，|PF|x0|x0；抛物线x22py(p0)，|PF|y0|y0；抛物线x22py(p0)，|PF|y0|y0.(2)已知
3、AB是过抛物线y22px(p0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：y1y2p2，x1x2；|AB|x1x2p(为直线AB的倾斜角)；SABO(为直线AB的倾斜角)；以AB为直径的圆与抛物线的准线相切(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.跟踪训练2已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离类型三抛物线综合问题命题角度1与抛物线有关的最值问题例3抛物线y24x的焦点为F
4、，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(1，0)，求的最小值反思与感悟(1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决跟踪训练3已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A2 B3 C. D.命题角度2定值或定点问题例4抛物线y22px(p0)上有两动点A，B及一个定点M，F为抛物线的焦点，若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列(1)求证：线段AB的垂直平分线过定点Q；(
5、2)若|MF|4，|OQ|6(O为坐标原点)，求抛物线的方程反思与感悟在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数关系的利用、焦半径的转化等跟踪训练4在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A，B两点，4，求证：直线l必过一定点1已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A B1 C D2已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A. B3 C. D.3过抛物
6、线y24x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|_.4已知过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p_.5已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且|AK|AF|，则AFK的面积为_. 1抛物线的中点弦问题用点差法较简便2轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系3在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等解决这些问题的关键是代换和转化提醒：完成
7、作业第二章2.4.2答案精析问题导学知识点一思考(1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心(2)由抛物线y22px(p0)有 所以x0.所以抛物线x的范围为x0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸梳理0，)(，)(，0(，)(，)0，)(，)(，0知识点三两一没有平行或重合一题型探究例1解椭圆的方程可化为1，其短轴在x轴上，抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的方程为y22px或y22px(
8、p0)抛物线的焦点到顶点的距离为3，即3，p6.抛物线的标准方程为y212x或y212x，其准线方程分别为x3或x3.引申探究解由题意，设抛物线方程为y22mx(m0)，焦点F(，0)，直线l：x，所以A，B两点坐标为(，m)，(，m)，所以|AB|2|m|.因为OAB的面积为4，所以|2|m|4，所以m2.所以抛物线的标准方程为y24x.跟踪训练1解由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上故可设抛物线方程为y2ax(a0)设抛物线与圆x2y24的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)抛物线y2ax(a0)与圆x2y24都关于x轴对称，点A与B关于x轴对称，|y1|y2|且|y
9、1|y2|2，|y1|y2|，代入圆x2y24，得x234，x1，A(1，)或A(1，)，代入抛物线方程，得()2a，a3.所求抛物线方程是y23x或y23x.例2(1)16(2)xy10或xy10(3)跟踪训练2解(1)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan 60.又F，所以直线l的方程为y. 联立消去y得x25x0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25，而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，所以|AB|538.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2px1x23，所以x1x26.于是线段AB的中点M的横坐标是3
10、，又准线方程是x，所以M到准线的距离等于3.例3解抛物线y24x的准线方程为x1，如图，过点P作PN垂直x1于点N，由抛物线的定义可知|PF|PN|，连接PA，在RtPAN中，sinPAN，当最小时，sinPAN最小，即PAN最小，即PAF最大，此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为yk(x1)，联立得k2x2(2k24)xk20，所以(2k24)24k40，解得k1，所以PAFNPA45，cosNPA.跟踪训练3A例4(1)证明设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则|AF|x1，|BF|x2，|MF|x0，x0为已知值由题意得x0，线段AB的中点坐标可设为(x0，t)
11、，其中t0(否则|AF|MF|BF|p0)而kAB，故线段AB的垂直平分线的方程为yt(xx0)，即t(xx0p)yp0，可知线段AB的垂直平分线过定点Q(x0p，0)(2)解由|MF|4，|OQ|6，得x04，x0p6，联立解得p4，x02.抛物线方程为y28x.跟踪训练4证明设l：xtyb，代入抛物线y24x，消去x得y24ty4b0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b.又x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b，又4，b24b4，解得b2，故直线过定点(2，0)当堂训练1C2.A3.84.25.8