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1、第18练推理与证明明考情推理与证明在高考中少数年份考查，小题中多以数表(阵)、图形、不等式等为指导，考查合情推理，难度为中档.知考向1.合情推理.2.演绎推理.3.推理与证明的综合应用.考点一合情推理方法技巧(1)归纳推理的思维步骤：发现共性，归纳猜想，结论验证.(2)类比推理的思维步骤：观察比较，联想类推，猜测结论.1.观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于()A.28 B.76C.123 D.199答案C解析观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，其规律为从第三项起，每项等于其前面相邻两项的和，所求值为数列中的第10项.继续写出此数
2、列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，第10项为123，即a10b10123.2.平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸十三边形的对角线条数为()A.42 B.65C.143 D.169答案B解析可以通过列表归纳分析得到：多边形45678对角线223234234523456凸十三边形有2341165(条)对角线.3.(2017甘肃模拟)一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形，类比此方法，若一个三棱锥的体积V2，表面积S3，则该三棱锥内切球的体积为()A.81 B.16C. D.答案C解析由一个三角形可分为以内切圆半径为高，
3、以原三角形三条边为底的三个三角形，可以类比一个三棱锥分为以内切球半径为高，以原三棱锥四个面为底的四个三棱锥.设三棱锥的四个面的表面积分别为S1，S2，S3，S4，由于内切球到各面的距离等于内切球的半径，V(S1rS2rS3rS4r)Sr，内切球半径r2，该三棱锥内切球的体积为23.4.某综艺节目中有这样一个问题，给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：，它的第8个数是_.答案解析将这一组数：，化为：，分母上是2的乘方，分子组成等差数列，奇数项符号为负，偶数项符号为正，则它的第8个数是.5.给出下面四个类比结论：实数a，b，若ab0，则a0或b0；类比复数z1，z2，若z1z2
4、0，则z10或z20；实数a，b，若ab0，则a0或b0；类比向量a，b，若ab0，则a0或b0；实数a，b，若a2b20，则ab0；类比复数z1，z2，有zz0，则z1z20；实数a，b，若a2b20，则ab0；类比向量a，b，若a2b20，则ab0.其中类比结论正确的个数是_.答案2解析显然正确；中若ab，则ab0，错误；中取z11，z2i，则zz0，错误；中a2|a|2，b2|b|2，若a2b20，则|a|b|0，ab0，正确.综上，正确结论的个数是2.考点二演绎推理要点重组演绎推理的特点：从一般到特殊；演绎推理的一般形式是三段论.方法技巧新定义问题的解题思路：读懂新定义的含义，在领会新
5、定义实质的基础上，将其应用在具体情境中进行演绎推理，得到新的结论.6.下面几种推理过程是演绎推理的是()A.两条直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线的同旁内角，则AB180B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C.某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D.在数列an中，a11，an(n2)，计算a2，a3，a4，由此推测通项an答案A解析演绎推理是由一般到特殊的推理，显然选项A符合；选项B属于类比推理；选项C，D是归纳推理.7.(2017绵阳模拟)若一个三位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们把这样的三位自然数定义为
6、“单重数”，例：112，232，则不超过200的“单重数”个数是()A.19 B.27 C.28 D.37答案C解析由题意，不超过200，两个数字一样为0，有2个；两个数字一样为1，110，101，112，121，113，131，114，141，115，151，116，161，117，171，118，181，119，191，有18个；两个数字一样为2，122，有1个；同理两个数字一样为3，4，5，6，7，8，9，各1个.综上所述，不超过200的“单重数”个数是218828.8.对于任意的两个实数对(x1，y1)和(x2，y2)，规定：(x1，y1)(x2，y2)，当且仅当运算“”为(x1，y1
7、)(x2，y2)(x1x2y1y2，y1x2x1y2)；运算“”为(x1，y1)(x2，y2)(x1x2，y1y2).设k，nR，若(1，2)(k，n)(3，1)，则(1，2)(k，n)_.答案(2，1)解析由(1，2)(k，n)(3，1)，得解得所以(1，2)(k，n)(1，2)(1，1)(2，1).9.如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，xn，都有f .若ysin x在区间(0，)上是凸函数，那么在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_.答案解析由题意知，凸函数满足f ，又ysin x在区间(0，)上是凸函数，则sin Asin Bsin C
8、3sin3sin.10.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现.数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数.具体数列为：1，1，2，3，5，8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列an为“斐波那契”数列，Sn为数列an的前n项和，则(1)S7_；(2)若a2 017m，则S2 015_.(用m表示)答案(1)33(2)m1解析(1)S71123581333.(2)an2anan1anan1ananan1an2an1anan1an2an3an2anan1an2an3a2a11，S2 015a2 0171m1.考点三推理与证明的综合应用要点重组(1)反证法的
9、证题步骤：反设、归谬、存真.(2)以实际问题为背景的推理问题，可利用归纳、分类、反证等多种方法进行推理论证.11.设a，b，c(，0)，则a，b，c()A.都不大于2B.都不小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2答案C解析假设a，b，c都大于2，即a2，b2，c2，将三式相加，得abc6，又因为a2，b2，c2，所以abc6，矛盾，所以假设不成立，故选C.12.(2017武昌区模拟)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调
10、查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁答案B解析乙、丁供词同真或同假，假设乙、丁同真，可知甲真，和题中条件矛盾，故乙、丁同假，甲、丙两人说的真话，易知罪犯是乙.13.用反证法证明命题：“三角形的三个内角中至少有一个不大于60”时，假设正确的是()A.假设三个内角都不大于60B.假设三个内角都大于60C.假设三个内角至多有一个大于60D.假设三个内角至多有两个不大于60答案B14.已知结论：在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的中心，则2.若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四
11、面体ABCD中，若BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则等于()A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析由于四面体ABCD是正四面体，因此AM平面BCD，且O在AM上，设BCD的面积为S，四面体ABCD的体积为V，则VV三棱锥OABCV三棱锥OABDV三棱锥OACDV三棱锥OBCD4SOM，又VSAM，所以4SOMSAM，故AM4OM，所以3，故选C.15.(2017虎林市校级模拟)甲、乙、丙三人代表班级参加校运会的跑步、跳远、铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不相同，现了解到以下情况：(1)甲不是最高的；(2)最高的没报铅球；(3)最矮的参加了跳远
12、；(4)乙不是最矮的，也没参加跑步.可以判断丙参加的比赛项目是_.答案跑步解析由(4)可知，乙参加了铅球比赛，由(2)可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由(1)可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛.1.已知12123，1222235，122232347，12223242459，则1222n2_.(其中nN*)答案n(n1)(2n1)解析根据题意可归纳出1222n2n(n1)(2n1)，下面给出证明：(k1)3k33k23k1，则2313312311，3323322321，(n1)3n33n23n1，累加得(n1)3133(1222n2)3(12n)n，整理得1222
13、n2n(n1)(2n1).2.(2017咸阳二模)观察下列式子：2，8，根据以上规律，第n个不等式是_.答案3.老师带甲、乙、丙、丁四名同学去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没能考好”.乙说：“我们四人中有人考得好”.丙说：“乙和丁至少有一人没考好”.丁说：“我没考好”.结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中_两人说对了.答案乙和丙解析如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对，如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故只有乙和丙两人说对了.解题秘籍(1)新定义问题的关键是明确新定义的实质，结合所学知识，将问题转化为熟悉的、
14、已掌握的问题.(2)实际问题和推理相结合，要按照可能发生的情况全面论证，去伪存真，找到问题的答案.1.如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n1，nN)个点，相应的图案中总的点数记为an，则等于()A. B. C. D.答案C解析每条边有n个点，所以3条边有3n个点，三角形的3个顶点重复计了一次，所以减3个顶点，则an3n3，那么，则1，故选C.2.将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为()135791113151719212325272931A.809 B.852 C.786 D.893答案A解析前20行共有正奇数13539202400(个)，
15、则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是24051809.3.观察一列算式：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，则式子35是第()A.22项 B.23项 C.24项 D.25项答案C解析两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，35为和为8的第3项，所以为第24项，故选C.4.设f(n)1(nN*)，那么f(n1)f(n)等于()A.B.C.D.答案D解析f(n)1，f(n1)1，f(n1)f(n).5.已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f
16、2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 017(x)等于()A.sin xcos x B.sin xcos xC.sin xcos x D.sin xcos x答案A解析f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，f6(x)f5(x)cos xsin x，可知fn(x)是以4为周期的函数，2 01750441，f2 017(x)f1(x)sin xcos x，故选A.6.用反证法证明命题“若abc0，abc0，则a，b，c三个实数
17、中至多有一个小于零的”的反设内容为()A.a，b，c三个实数中至多有一个不大于零B.a，b，c三个实数中至多有两个小于零C.a，b，c三个实数中至少有两个小于零D.a，b，c三个实数中至少有一个不大于零答案C解析a，b，c三个实数中小于零的个数只有0，1，2，3四种，“至多有一个”的否定为至少有两个.故选C.7.小明用电脑软件进行数学解题能力测试，每答完一道题，软件都会自动计算并显示出当前的正确率(正确率已答对题目数已答题目总数)，小明依次共答了10道题，设正确率依次为a1，a2，a3，a10.现有三种说法：若a1a2a3a10，则必是第一道题答错，其余题均答对；若a1a2a3a10，则必是第
18、一道题答对，其余题均答错；有可能a52a10，其中正确的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3答案D解析显然成立，前5个全答对，后5个全答错，符合题意，故选D.8.(2017河北衡水中学三调)来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起.他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种.有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译.针对他们懂的语言，正确的推理是()A.甲日德、乙法德、丙英法、丁英德
19、B.甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C.甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D.甲日法、乙英德、丙法德、丁法英答案A解析分析题目和选项，由知，丁不会说日语，排除B选项；由知，没有人既会日语又会法语，排除D选项；由知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C选项，故选A.9.已知f(n)1，经计算f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，则根据以上式子得到第n个式子为_.答案f(2n)(n2，nN*)解析由题意得f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，以此类推，当n2，nN*时，有f(2n).10.二维空间中圆的一维测度(周长)l2r，二维测度(面积)Sr2，观察发现Sl；三维空间中球的二维测度(表
20、面积)S4r2，三维测度(体积)Vr3，观察发现VS.则四维空间中“超球”的三维测度V8r3，猜想其四维测度W_.答案2r4解析因为(2r4)8r3，所以W2r4.11.给出下列等式：2cos ，2cos ，2cos ，请从中归纳出第n(nN*)个等式：_.答案2cos 解析因为2cos ，2cos ，2cos ，等式的右边系数是2，角是等比数列，公比为，角满足，所以2cos .12.70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩一个数学游戏.这个游戏十分简单：任意写出一个自然数N，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成3N1；如果是个偶数，则下一步变成.不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入.为什么这个游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论N是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1.准确地说，是无法逃出落入底部的421循环，永远也逃不出这样的宿命.这就是著名的“冰雹猜想”.按照这种运算，自然数27经过十步运算得到的数为_.答案214解析按照运算规则依次得到82，41，124，62，31，94，47，142，71，214，故第十步运算得到的数为214.