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1、2.3等比数列2.3.1等比数列(一)学习目标1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式了解其推导过程知识链接下列判断正确的是_(1)从第2项起，每一项与它前一项的差等同一个常数的数列是等差数列；(2)从第2项起，每一项与它前一项的比等同一个常数的数列是等差数列；(3)等差数列的公差d可正可负，且可以为零；(4)在等差数列中，anam(nm)d(n，mN)答案(1)(3)(4)预习导引1等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数q(q0)，那么这个数列叫做等比数列2等比中项如果三个数a、G、b组成
2、等比数列，则G叫做a与b的等比中项根据定义得G2ab，G，只有同号的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数这一点与等差数列不同3等比数列的通项公式等比数列an的通项公式为ana1qn1，其中a1与q均不为0.要点一等比数列通项公式的基本量的求解例1在等比数列an中，(1)a42，a78，求an；(2)a2a518，a3a69，an1，求n；(3)a32，a2a4，求an.解(1)由得q34，从而q，而a1q32，于是a1，ana1qn1.(2)方法一由得q，从而a132，又an132()n11，即26n20，n6.方法二a3a6q(a2a5)，q.由a1qa1q418，知a132.
3、由ana1qn11，知n6.(3)设等比数列an的公比为q，则q0.a2，a4a3q2q，2q，解得q1，q23.当q时，a118，an18()n1233n.当q3时，a1，an3n123n3.综上，当q时，an233n；当q3时，an23n3.规律方法a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程(组)，求出a1和q.跟踪演练1(1)若等比数列an的首项a1，末项an，公比q，求项数n.(2)在等比数列an中，已知a5a115，a4a26，求an.解(1)由ana1qn1，得()n1，即()n1()3，得n4.(2)因
4、为由得q或q2.当q时，a116；当q2时，a11.an16()n1或an2n1.要点二等比中项的应用例2在等差数列an中，公差d0，且a1，a3，a9成等比数列，则等于多少？解由题意知a3是a1和a9的等比中项，aa1a9，(a12d)2a1(a18d)，得a1d，.规律方法由等比中项的定义可知：G2abG.这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数反之，若G2ab，则，即a，G，b成等比数列所以a，G，b成等比数列G2ab(ab0)跟踪演练2已知a，b，c这五个数成等比数列，求a，b，c的值解由题意知b2()()()6，b.当b时，ab()2，解得a；bc
5、()2()10，解得c()7.同理，当b时，a，c()7.综上所述，a，b，c的值分别为，()7或，()7.要点三等比数列的判定例3数列an满足a11，且an3an12n3(n2，3，)(1)求a2，a3，并证明数列ann是等比数列；(2)求an.解(1)a23a12234，a33a223315.下面证明ann是等比数列：3(n1,2,3，)又a112，ann是以2为首项，以3为公比的等比数列(2)由(1)知ann23n1，ann23n1.规律方法判断一个数列是否是等比数列的常用方法有：(1)定义法：q(q为常数且不为零)an为等比数列(2)等比中项法：aanan2(nN且an0)an为等比数
6、列(3)通项公式法：ana1qn1(a10且q0)an为等比数列跟踪演练3已知数列an的前n项和Sn2an1，求证an是等比数列，并求出通项公式解Sn2an1，Sn12an11.an1Sn1Sn(2an11)(2an1)2an12an.an12an，又S12a11a1，a110.又由an12an知an0，2，an是等比数列an12n12n1.要点四由递推公式构造等比数列求通项例4已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式(1)证明anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11
7、，2an1an1，2(an11)an1，首项c1a11，又a1a11.a1，c1，又cnan1，是以为首项，公比为的等比数列(2)解由(1)可知cn()()n1()n，ancn11()n.当n2时，bnanan11()n1()n1()n1()n()n.又b1a1代入上式也符合，bn()n.规律方法(1)已知数列的前n项和，或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解(2)由递推关系an1AanB(A，B为常数，且A0，A1)求an时，由待定系数法设an1A(an)可得，这样就构造了等比数列an跟踪演练4在数列an中，a11，an1，bn，求数列bn的通项公式解an122，2，即bn1
8、4bn2，bn14(bn)又a11，故b11，所以bn是首项为，公比为4的等比数列，所以bn4n1，bn.1在等比数列an中，a18，a464，则a3等于()A16 B. 16或16C. 32 D. 32或32答案C解析由a4a1 q3，得q38，即q2，所以a3a1q28432.2若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为()A4 B6 C5 D32答案B解析由等比数列的通项公式，得12842n1,2n132，所以n6.3已知等比数列an满足a1a23，a2a36，则a7等于()A64 B81 C128 D243答案A解析an为等比数列，q2.又a1a23，a11.故a
9、712664.445和80的等比中项为_答案60或60解析设45和80的等比中项为G，则G24580，G60.5一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项解设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么，得q，将q代入，得a1.因此，a2a1q8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是与8.1等比数列定义的理解(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零(2)均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列2等比中项的理解(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三个数是否成等比数列3等比数列的通项公式(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列(2)在公式ana1qn1中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量