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1、23.1等比数列(一)学习目标1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程知识点一等比数列的概念思考观察下列4个数列，归纳它们的共同特点1,2,4,8,16，；1，；1,1,1,1，；1,1，1,1，.梳理等比数列的概念和特点(1)文字定义：一般地，如果一个数列从第_项起，每一项与它的_一项的_都等于_常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，通常用字母q(q0)表示(2)递推公式形式的定义q(n1，nN)(或q，nN)(3)等比数列各项均_为0.知识点二等比中项的概念思考在2,8之间插入一个数，使之
2、成等比数列这样的实数有几个？梳理等差中项与等比中项的异同，对比如下表：对比项等差中项等比中项定义若x，A，y成等差数列，则A叫做x与y的等差中项若x，G，y成等比数列，则G叫做x与y的等比中项定义式AxyA公式AG个数x与y的等差中项唯一x与y的等比中项有_个，且互为_备注任意两个数x与y都有等差中项只有当xy0时，x与y才有等比中项知识点三等比数列的通项公式思考等差数列通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式吗？梳理等比数列an首项为a1，公比为q，则ana1qn1.类型一证明等比数列例1已知f(x)logmx(m0且m1)，设f(a1)，f(a2)，f(a
3、n)，是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列an是等比数列反思与感悟判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即q(与n无关的常数)跟踪训练1已知数列an的前n项和为Sn，且Sn(an1)(nN)(1)求a1，a2；(2)证明：数列an是等比数列类型二等比数列通项公式的应用命题角度1方程思想例2一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项反思与感悟已知等比数列an的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项跟踪训练2在等比数列an中(1)已知a13，q2，求a6；(2)已知a3
4、20，a6160，求an.命题角度2等比数列的实际应用例3某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长？(精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)反思与感悟等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际含义跟踪训练3某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(保留到个位，lg 60.778，lg 1.20.079)类型三等比中项例4若1，a,3成等差数列，1，b,4成
5、等比数列，则的值为()A B.C1 D1反思与感悟(1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项；(2)只有同号的两个实数才有实数等比中项，且一定有2个跟踪训练41与1的等比中项是()A1 B1C1 D.1在等比数列an中，a18，a464，则a3等于()A16 B16或16C32 D32或322若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为()A4 B8 C6 D323已知等比数列an满足a1a23，a2a36，则a7等于()A64 B81 C128 D243445和80的等比中项为_1等比数列的判断或证明(1)利用定义：q(与n无关的常数)(2)利用等比中项：aanan2(nN
6、)2两个同号的实数a、b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个()，而不是一个()，这是容易忽视的地方3等比数列的通项公式ana1qn1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量答案精析问题导学知识点一思考从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数梳理(1)2前比同一个公比(3)不能知识点二思考设这个数为G.则，G216，G4.所以这样的数有2个梳理两相反数知识点三思考等差数列通项公式的推导是借助叠加消去中间项，等比数列则可用叠乘根据等比数列的定义得q，q，q，q(n2)将上面n1个等式的左、右两边分别相乘，得qn1，化简得qn1，即ana1qn1(n2)当n1时，上面的等
7、式也成立ana1qn1(nN)题型探究类型一例1证明由题意知f(an)42(n1)2n2logman，anm2n2，m2，m0且m1，m2为非零常数，数列an是等比数列跟踪训练1(1)解a1S1(a11)，a1.又a1a2S2(a21)，a2.(2)证明Sn(an1)，Sn1(an11)，两式相减得an1an1an，即an1an，数列an是首项为，公比为的等比数列类型二命题角度1例2解设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么，得q，将q代入，得a1.因此，a2a1q8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是与8.跟踪训练2(1)a696，(2)an52n1(nN)命题角度2例3解设这种物质最
8、初的质量是1，经过n年，剩余量是an，由条件可得，数列an是一个等比数列其中a10.84，q0.84，设an0.5，则0.84n0.5.两边取常用对数，得nlg 0.84lg 0.5，用计算器算得n4.所以这种物质的半衰期大约为4年跟踪训练3解记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，an，.则依题意可得a15，1.2(n2且nN)，从而an51.2n1，这里an30，故1.2n16，即n1log1.269.85.故n11.所以从2021年开始，该糖厂年制糖量开始超过30万吨类型三例4D1，a,3成等差数列，a2，1，b,4成等比数列，b214，b2，1.跟踪训练4C当堂训练1C2.C3.A4.60或60