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1、2.2等差数列2.2.1等差数列(一)学习目标1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用知识链接第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？预习导引1等差数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差2等差中项如果三个数x、A、y组成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项
2、，且A.3等差数列的通项公式若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项ana1(n1)d.4等差数列的单调性等差数列an中，若公差d0，则数列an为递增数列；若公差d0，则数列an为递减数列.要点一 等差数列的概念例1若数列an的通项公式为an10lg 2n，试说明数列an为等差数列解因为an10lg 2n10nlg 2，所以an1an10(n1)lg 2(10nlg 2)lg 2(nN)所以数列an为等差数列规律方法判断一个数列是不是等差数列，就是判断an1an(n1)是不是一个与n无关的常数跟踪演练1数列an的通项公式an2n5，则此数列()A是公差为2的等差数列 B是公差为5的等差数列C
3、是首项为5的等差数列 D是公差为n的等差数列答案A解析an1an2(n1)5(2n5)2，an是公差为2的等差数列要点二等差中项及其应用例2(1)在1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列(2)已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq(nN，p，q为常数)，且x1、x4、x5成等差数列求：p，q的值解(1)1，a，b，c,7成等差数列，b是1与7的等差中项b3.又a是1与3的等差中项，a1.又c是3与7的等差中项，c5.该数列为1,1,3,5,7.(2)由x13，得2pq3，又x424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，即q1，将代入
4、，得p1.规律方法在等差数列an中，由定义有an1ananan1(n2，nN)，即an，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项跟踪演练2若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项解由m和2n的等差中项为4，得m2n8.又由2m和n的等差中项为5，得2mn10.两式相加，得mn6.m和n的等差中项为3.要点三等差数列的通项公式及应用例3(1)若an是等差数列，a158，a6020，求a75.(2)已知递减等差数列an的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断34是该数列的项吗？解(1)设an的公差为d，首项为
5、a1.由题意知解得所以a75a174d7424.(2)依题意得解得或数列an是递减等差数列，d0.故取a111，d5.an11(n1)(5)5n16.即等差数列an的通项公式为an5n16.令an34，即5n1634，得n10.34是数列an的第10项规律方法在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的方程(组)求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量跟踪演练3已知an为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式：(1)a35，a713；(2)前三项为a,2a1,3a.解(1)设首项为a1，公差为d，
6、则解得ana1(n1)d1(n1)22n1.(2)由等差中项公式得2(2a1)a(3a)，a，首项为a，公差为2a1aa11，an(n1)1.1已知等差数列an的通项公式an32n，则它的公差d为()A2 B3 C2 D3答案C解析由等差数列的定义，得dan1an32(n1)(32n)2.2在ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于()A30 B60 C90 D120答案B解析因为A、B、C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有AC2B，又因ABC180，所以3B180，从而B60.3一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于()A. B. C. D.答案C解析b是x,2x的等
7、差中项，bx，又x是a, b的等差中项，则2xab，a，.4在等差数列an中，已知a1，a2a54，an33，求n的值解a2a5(a1d)(a14d)2a15d4，d.an(n1)n.由ann33，解得n50.1判断一个数列是不是等差数列的常用方法有：(1)an1and(d为常数，nN)an是等差数列；(2)2an1anan2(nN)an是等差数列；(3)anknb(k，b为常数，nN)an是等差数列但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可2由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式；反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量