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1、第二节第二节 古典概型古典概型 考点高考试题考查内容核心素养 2017全国卷T115 分利用古典概型概率公式求解数学运算 2017天津卷T35 分利用古典概型概率公式求解数学运算 2017山东卷T1612 分 列出基本事件空间利用古典 概型的概率公式求解 数学运算 2016全国卷T35 分 列出基本事件空间利用古典 概型的概率公式求解 数学运算 2016全国卷T55 分 列出基本事件空间利用古典 概型的概率公式求解 数学运算 古典概型 2015全国卷T45 分 列出基本事件空间利用古典 概型的概率公式求解 数学运算 命题分析 古典概型是高考常考知识，一般是根据题意列出基本事件空间，然后 利用古
2、典概型的概率公式求概率，一般以选择题形式出现，有时候也 出在解答题中，难度不大. 1基本事件的特点 (1)任何两个基本事件都是_互斥_的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_基本事件_的和 2古典概型的定义 具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型 (1)试验的所有可能结果_只有有限个_，每次试验只出现其中的一个结果； (2)每一个试验结果出现的可能性_相同_ 3古典概型的概率计算公式 P(A)！ # 事件A包含的可能结果数 试验的所有可能结果数 m n 提醒： 1在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视它们是否是等可能 的 2基本事件的探求方法 (1)列举法
3、：适合于较简单的试验 (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的试验结果的探求另外在确定试验结果时， (x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相 同 1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是 “发芽与不发芽” ( ) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面” “一正一反” “两个反面” ，这三个事件是等可 能事件( ) (3)在古典概型中，如果事件 A 中基本事件构成集合 A，所有的基本事件构成集合 I， 则事件 A 的概率为.( ) card
4、A cardI 答案：(1) (2) (3) 2(教材习题改编)一个口袋内装有 2 个白球和 3 个黑球，则先摸出 1 个白球后放回的 条件下，再摸出 1 个白球的概率是( ) A B 2 3 1 4 C D 2 5 1 5 解析：选 C 先摸出 1 个白球后放回，再摸出 1 个白球的概率，实质上就是第二次摸 到白球的概率，因为袋内装有 2 个白球和 3 个黑球，因此概率为 2 5 3(2017天津卷)有 5 支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从 这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为( ) A B 4 5 3 5 C D 2
5、 5 1 5 解析：选 C 从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、 黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共 10 种，其中取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的 取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共 4 种，所以所求概率 P .故选 C 4 10 2 5 4(教材习题改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为_ 解析：1 6 36 5 6 答案： 5 6 基本事件与古典概型的判断 明技法 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点有限性和 等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型 提能力 【典例 1】 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分
6、别标有数字 1、2、3、4，下面做投 掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中 x 表示第 1 颗正四面体玩具出现的 点数，y 表示第 2 颗正四面体玩具出现的点数试写出： (1)试验的基本事件； (2)事件“出现点数之和大于 3”包含的基本事件； (3)事件“出现点数相等”包含的基本事件 解：(1)这个试验的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4) (2)事件“出现点数之和大于 3”包含的基本事件为(1,3)，(1,4
7、)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4) (3)事件“出现点数相等”包含的基本事件为(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4) 【典例 2】 袋中有大小相同的 5 个白球，3 个黑球和 3 个红球，每球有一个区别于其 他球的编号，从中摸出一个球 (1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模 型是不是古典概型？ (2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概 率模型，该模型是不是古典概型？ 解：(1)由于共有 11 个球，且每个球有
8、不同的编号，故共有 11 种不同的摸法 又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件 的概率模型为古典概型 (2)由于 11 个球共有 3 种颜色，因此共有 3 个基本事件，分别记为 A：“摸到白球” ， B：“摸到黑球” ，C：“摸到红球” ， 又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为，而白球有 5 个， 1 11 故一次摸球摸到白球的可能性为， 5 11 同理可知摸到黑球、红球的可能性均为， 3 11 显然这三个基本事件出现的可能性不相等， 所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型 刷好题 1袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，
9、现依次有放回地随机摸取 3 次，每次摸 取一个球 (1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果； (2)若摸到红球时得 2 分，摸到黑球时得 1 分，求 3 次摸球所得总分为 5 的概率 解：(1)一共有 8 种不同的结果，列举如下： (红，红，红)、(红，红，黑)、(红，黑，红)、(红，黑，黑)、(黑，红，红)、(黑，红， 黑)、(黑，黑，红)、(黑，黑，黑) (2)记“3 次摸球所得总分为 5”为事件 A 事件 A 包含的基本事件为：(红，红，黑)、(红，黑，红)、(黑，红，红)，事件 A 包含 的基本事件数为 3 由(1)可知，基本事件总数为 8，所以事件 A 的概率为 P(
10、A) 3 8 2下列试验中，古典概型的个数为 ( ) 向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率； 向正方形 ABCD 内，任意抛掷一点 P，点 P 恰与点 C 重合； 从 1,2,3,4 四个数中，任取两个数，求所取两数之一是 2 的概率； 在线段0,5上任取一点，求此点小于 2 的概率 A0 B1 C2 D3 解析：选 B 中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型；的 基本事件都不是有限个，不是古典概型；符合古典概型的特点，是古典概型 简单的古典概型的概率 明技法 求古典概型概率的基本步骤 第1步算出所有基本事件的个数n 第2步算出事件A包含的所有基本事件的个数m 第3步
11、代入公式PAm n，求出PA 提能力 【典例】 (1)(2017全国卷)从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后 再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A B 1 10 1 5 C D 3 10 2 5 解析：选 D 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如图： 基本事件总数为 25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10， 所求概率 P .故选 D 10 25 2 5 (2)(2016全国卷)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M，I，N 中的一个字母，第二
12、位是 1,2,3,4,5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功 开机的概率是( ) A B 8 15 1 8 C D 1 15 1 30 解析：选 C 第一位是 M，I，N 中的一个字母，第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字，所 以总的基本事件的个数为 15，密码正确只有一种，概率为，故选 C 1 15 刷好题 如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数， 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( ) A B 3 10 1 5 C D 1 10 1 20 解析：选 C 从 1,2,3,4,5 中任取
13、3 个数有 10 个基本事件，构成勾股数的只有 3,4,5 一 组，故概率为 1 10 古典概型的交汇问题 析考情 古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命 题点新颖，考查知识全面，能力要求较高 提能力 命题点 1：古典概型与平面向量相结合 【典例 1】 已知向量 a(x，1)，b(3，y)，其中 x 随机选自集合1,1,3，y 随机 选自集合1,3,9 (1)求 ab 的概率； (2)求 ab 的概率 解：由题意，得(x，y)所有的基本事件为(1,1)，(1,3)，(1,9)，(1,1)，(1,3)，(1,9)， (3,1)，(3,3)，(3,9)，共 9
14、个 (1)设“ab”为事件 A，则 xy3 事件 A 包含的基本事件有(1,3)，共 1 个 故 ab 的概率为 P(A) 1 9 (2)设“ab”为事件 B，则 y3x 事件 B 包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共 2 个 故 ab 的概率为 P(B) 2 9 命题点 2：古典概型与直线、圆相结合 【典例 2】 (2018洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 a，b，则直线 axby0 与圆(x2)2y22 有公共点的概率为_ 解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)， (1,3)，(6,6)，共 36 种，其中满足直线 a
15、xby0 与圆(x2)2y22 有公共点，即满 足，a2b2的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(6,6)，共 2a a2b22 65432121 种，因此所求的概率等于 21 36 7 12 答案： 7 12 命题点 3：古典概型与函数相结合 【典例 3】 (2018成都月考)将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为 m，n，则函数 y mx3nx1 在1，)上为增函数的概率是( ) 2 3 A B 1 2 5 6 C D 3 4 2 3 解析：选 B y mx3nx1，y2mx2n，令 y0 得 x ，x1 2 3 n 2m ，x2是函数的两个极值点，函数在上是
16、增函数，则 1，即 n 2m n 2m n 2m，) n 2m n2m 通过建立关于 m，n 的直角坐标系可得出满足 n2m 的点有 30 个，由古典概型公式可 得函数 y mx3nx1 在1，)上为增函数的概率是 P 2 3 30 36 5 6 命题点 4：古典概型与统计相结合 【典例 4】 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职 工根据这 50 名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分 组区间为：40,50)，50,60)，80,90)，90,100 (1)求频率分布直方图中 a 的值； (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80
17、 的概率； (3)从评分在40,60)的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人的评分都在40,50)的概 率 解：(1)因为(0.004a0.0180.02220.028)101，所以 a0.006 (2)由所给频率分布直方图知，50 名受访职工评分不低于 80 的频率为(0.0220.018) 100.4，所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4 (3)受访职工中评分在50,60)的有：500.006103(人)，记为 A1，A2，A3； 受访职工中评分在40,50)的有：500.004102(人)，记为 B1，B2 从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人，所有可
18、能的结果共有 10 种，它们是A1，A2， A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2， B1，B2又因为所抽取 2 人的评分都在40,50)的结果有 1 种，即B1，B2，故所求的概 率为 1 10 悟技法 解决古典概型交汇命题的关注点 解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出 基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算 刷好题 1将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 m，第二次出现的 点数为 n，向量 p(m，n)，q(3,6)则向量 p 与 q 共线的概率为(
19、) A B 1 3 1 4 C D 1 6 1 12 解析：选 D 由题意可得：基本事件(m，n)(m，n1,2，6)的个数为 6636 若 pq，则 6m3n0，得到 n2m.满足此条件的共有(1,2)，(2,4)，(3,6)三个基本事 件因此向量 p 与 q 共线的概率为 P 3 36 1 12 2若连续抛掷两次质地均匀的骰子得到的点数分别为 m，n，则点 P(m，n)在直线 xy4 上的概率是( ) A B 1 3 1 4 C D 1 6 1 12 解析：选 D 该试验会出现 6636 种情况，点(m，n)在直线 xy4 上的情况有 (1,3)，(2,2)，(3,1)共三种，则所求概率
20、P 3 36 1 12 3设 a1,2,3,4，b2,4,8,12，则函数 f(x)x3axb 在区间1,2上有零点的概 率为( ) A B 1 2 5 8 C D 11 16 3 4 解析：选 C f(x)x3axb，f(x)3x2a，a1,2,3,4，f(x)0，函 数 f(x)在区间1,2上为增函数若存在零点，只需满足条件Error!Error!则解得 a1b82a.因 此可使函数在区间1,2上有零点的有：a1,2b10，故 b2，b4，b8；a2,3b12，故 b4，b8，b12；a3,4b14，故 b4，b8，b12；a4,5b16，故 b8，b12.根据古典概型可得有零点的概率为 11 16