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1、第八节函数与方程考点高考试题考查内容核心素养函数的零点2017全国卷T125分零点性质的应用数学运算逻辑推理2014全国卷T125分零点性质的应用数学运算逻辑推理命题分析利用函数的性质或函数的图像，对函数是否存在进行判断或利用零点的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，以选择题、填空题为主，分值5分.1函数的零点(1)函数零点的定义函数yf(x)的图像与与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)利用函数性质判定函数零点若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，
2、即f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解2用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定区间a，b验证f(a)f(b)0，给定精确度.(2)求区间(a，b)的中点值c.(3)计算f(c)：若f(c)0，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)(4)判断是否达到精确度.若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第(2)(3)(4)步提醒：(1)辨明两个易误点函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也
3、是函数yf(x)的图像与x轴交点的横坐标函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件(2)明确三个等价关系(三者相互转化)(3)用二分法求方程的近似解时注意以下两点并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：a在区间a，b上连续不断；bf(a)f(b)0.上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同应注意精确度对近似值的影响1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)只
4、要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()(4)若函数yf(x)在区间(a，b)内，有f(a)f(b)0成立，那么yf(x)在(a，b)内存在唯一的零点()(5)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0，f(2)ln 20，f(3)ln 310，f(4)ln 4 20，故f(3)f(4)0，所以函数的一个零点所在区间为(3,4)，因此k3.答案：3判断函数零点所在的区间明技法确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数的性质：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图像是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(2)数形结合法：
5、通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断提能力【典例】 (2018郑州检测)函数f(x)ln xx2的零点所在的区间是()AB(1,2)C(2，e)D(e,3)解析：选C因为fe20，f(1)20，f(2)ln 20，所以f(2)f(e)0，所以函数f(x)ln xx2的零点所在的区间是(2，e)，故选C刷好题1(金榜原创)设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析：选B方法一函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图像交点的横坐标所在的取值范围作图如下：可知f(x)的零点所在
6、的区间为(1,2)方法二由于f(1)10，f(1)f(2)0，所以函数f(x)ln xx2的零点在区间(1,2)内2(2018南充质检)方程|x|cos x在(，)内()A没有根B有且仅有一个根C有且仅有两个根D有无穷多个根解析：选C构造两个函数y|x|和ycos x，在同一个坐标系内画出它们的图像，草图如图所示，观察知图像有两个公共点，故已知方程有且仅有两个根函数零点个数问题明技法判断函数零点个数的方法(1)解方程法：所对应方程f(x)0有几个不同的实数解就有几个零点(2)零点存在性判定法：利用函数的性质并结合函数的图像进行判断(3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题先画出两个函
7、数的图像，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数提能力【典例】 (2018武汉模拟)偶函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且在x0,1时，f(x)x2，则关于x的方程f(x)x在上的根的个数是()A1B2C3D4解析：选C因为f(x)为偶函数，所以当x1,0时，x0,1，所以f(x)x2，即f(x)x2.又f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x)，故f(x)是以2为周期的周期函数，据此在同一坐标系中作出函数yf(x)与yx在上的图像如图所示，数形结合得两图像有3个交点，故方程f(x)x在上有三个根故选C母题变式 若将本例中“x”变为“|x|”，则方程f(x)|x|在3,3上所
8、有根的和为_解析：由本例解析知f(x)|x|在3,3上有六个不同根，不妨设为x1x2x3x4x5x6，由图像关于y轴的对称性知x1x60，x2x50，x3x40，所以x1x2x3x4x5x60.答案：0刷好题1(2018梅州质检)已知f(x)则函数g(x)f(x)ex的零点个数为_解析：函数g (x)f(x)ex的零点个数即为函数yf(x)与yex的图像的交点个数作出函数图像可知有2个交点，即函数g(x)f(x)ex有2个零点答案：22函数f(x)则函数yff(x)1的所有零点所构成的集合为_解析：由题意知ff(x)1，由f(x)1得x2或x，则函数yff(x)1的零点就是使f(x)2或f(x
9、)的x值，解f(x)2得x3或x；解f(x)得x或x，从而函数yff(x)1的零点构成的集合为. 答案：函数零点的综合问题析考情函数零点的应用主要是利用函数零点的存在性及零点个数求相关参数的值或范围，体现了化归的数学思想题目难度较大，以选择题、填空题形式出现提能力命题点1：利用函数的零点比较大小【典例1】 (2018大连质检)设函数f(x)ex2x4，g(x)ln x2x25，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则()Ag(a)0f(b)Bf(b)0g(a)C0g(a)f(b)Df(b)g(a)0解析：选A依题意，f(0)30，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0,
10、1)内，即0a1，g(1)30，函数g(x)的零点在区间(1,2)内，即1bf(1)0.又函数g(x)在(0,1)内是增函数，因此有g(a)g(1)0，所以g(a)00，则a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a1，即a.若a0，则f(x)的零点不唯一故选 C命题点3：二次函数零点的应用【典例3】 已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围是_解析：方法一设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即a2a20，
11、2a1.故实数a的取值范围为(2,1)方法二函数f(x)的图像大致如图，则有f(1)0，即1(a21)a20，得a2a20，2a1.故实数a的取值范围是(2,1)答案：(2,1)悟技法已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解刷好题1(2018武汉月考)已知函数f(x)有3个零点，则实数a的取值范围是_解析：因为函数f(x)有3个零点，所以当x0时，方程ax30有解，故a0，所以当x0时，需满足即0a1.综上，实数a的取值范围是(0,1)答案：(0,1)2已知函数f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是_解析：f(x)x2x的零点必定小于零，g(x)xln x的零点必位于(0,1)内，函数h(x)x1的零点必定大于1，这三个函数的零点依次增大，即x1x2x3.答案：x1x2x3