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1、第一节第一节 随机事件的概率随机事件的概率 考点高考试题考查内容核心素养 2017全国卷T1912 分 在直方图中计算频率进而估计概率， 并根据题目要求进行独立性检验 数据分析 2017全国卷T1812 分用频率估计概率数据分析 2016全国卷T1912 分 根据表写出分段函数的解析式，结合 频率的概念求 N 最小值 数据分析 2016全国卷T1812 分 根据频率估计概率，列出保费与频率 的关系利用公式求平均保费 数据分析 随机事 件的概 率 2015全国卷T1812 分 频率直方图的画法及运用频率对实际 问题的概率进行估计 数据分析 命题分 析 本节主要考查频率与概率的关系，互斥事件对立事
2、件的概念以及概率加法公 式在解答题中出现较多，有时也以选择题填空题形式出现，难度不大. 1随机事件的频率及特点 (1)频率是一个变化的量，但在大量重复试验时，它又具有_稳定性_，在一个“常数” 附近摆动 (2)随着试验次数的增加，随机事件发生的频率摆动的幅度具有_越来越小_的趋势 (3)随机事件的频率也可能出现偏离“常数”_较大_的情形，但是随着试验次数的_ 增大_，频率偏离“常数”的可能性会_减小_ 2随机事件的概率的定义 在_相同_的条件下，大量重复进行_同一_试验时，随机事件 A 发生的_频率_会 在某个_常数_附近摆动，即随机事件 A 发生的频率具有_稳定性_.这时这个_常数_叫 作随
3、机事件 A 的概率，记作_P(A)_，有_0_P(A)_1_ 3互斥事件 Error!Error! 4对立事件的概率 在每一次试验中，相互对立的事件 A 和事件不会同时发生并且一定有一个发生，其 A 计算公式：P()_1P(A)_ A 提醒： 互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件， 而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对 立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件 1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必然事件( )
4、(2)“方程 x22x80 有两个实根”是不可能事件( ) (3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值( ) (4)不可能事件就是一定不能发生的事件( ) (5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件( ) (6)若事件 A 发生的概率为 P(A)，则 0P(A)1.( ) (7)事件 A，B 为互斥事件，则 P(A)P(B)1.( ) (8)事件 A，B 同时发生的概率一定比 A，B 中恰有一个发生的概率小( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 2把红、黑、蓝、白 4 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得 1 张， 事件“甲分得红牌
5、”与事件“乙分得红牌”是( ) A对立事件 B不可能事件 C互斥事件但不是对立事件 D以上答案都不对 解析：选 C 由互斥事件和对立事件的概念可判断，应选 C 3给出下列三个命题，其中正确命题有_个 有一大批产品，已知次品率为 10%，从中任取 100 件，必有 10 件是次品；做 7 次抛硬币的试验，结果 3 次出现正面，因此正面出现的概率是 ；随机事件发生的频率就 3 7 是这个随机事件发生的概率 解析：错，不一定是 10 件次品；错， 是频率而非概率；错，频率不等于概率， 3 7 这是两个不同的概念 答案：0 4(教材习题改编)袋中装有 9 个白球，2 个红球，从中任取 3 个球，则恰有
6、 1 个红 球和全是白球；至少有 1 个红球和全是白球；至少有 1 个红球和至少有 2 个白球； 至少有 1 个白球和至少有 1 个红球在上述事件中，是对立事件的为_ 解析：互斥、但不对立；对立；不互斥；不互斥 答案： 随机事件的关系 明技法 判别互斥、对立事件的 2 种方法 (1)定义法 判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件； 两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件 (2)集合法 由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥 事件 A 的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的 A
7、 集合的补集 提能力 【典例】 (2018湖北联考)从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么互斥 而不对立的两个事件是( ) A “至少有一个黑球”与“都是黑球” B “至少有一个黑球”与“都是红球” C “至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D “恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” 解析：选 D A 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B 中的两个事件是对立事 件；C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D 中的两个事 件是互斥而不对立的关系 刷好题 1设条件甲：“事件 A 与事件 B 是对立事件” ，结论乙：“概率满足 P(A)P(B)1” ，
8、 则甲是乙的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 A 若事件 A 与事件 B 是对立事件，则 AB 为必然事件，再由概率的加法 公式得 P(A)P(B)1.设掷一枚硬币 3 次，事件 A：“至少出现一次正面” ，事件 B：“3 次出现正面” ，则 P(A) ，P(B) ，满足 P(A)P(B)1，但 A，B 不是对立事件 7 8 1 8 2若事件 A、B 互斥，那么( ) AAB 是必然事件 B是必然事件 A B C与一定互斥 D与一定不互斥 A B A B 解析：选 B A、B 互斥，不一定是对立事件，故 A 不正确；当 A、B 不是对立事
9、件时， 与不互斥，故 C 不正确；当 A、B 是对立事件时，与也是对立事件，当然也是互 A B A B 斥事件，故 D 也不正确 3判断下列每对事件是否为互斥的事件？是否为对立事件？ 从一副桥牌(52 张)中，任取 1 张， (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃” ； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌” ； (3)“抽出的牌点数为 3 的倍数”与“抽出的牌点数大于 10” 答案：(1)互斥事件；(2)对立事件；(3)不一定是互斥事件 随机事件的频率与概率 析考情 随机事件的频率与概率在高考中主要考查用样本的频率估计总体的概率，可能与其他 知识结合综合考查，难度中低档，一般出现在解答题中 提能力 【
10、典例】 (2016全国卷)某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保 人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数01234 5 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数01234 5 频数605030302010 (1)记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费” 求 P(A)的估计值； (2)记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%” 求 P(B)的估计值； (3)求续保人本年度的平均保费的估计值 解：(
11、1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2，由所给数据知，一年内出险次数 小于 2 的频率为0.55，故 P(A)的估计值为 0.55 6050 200 (2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4，由所给数据知，一年内出险 次数大于 1 且小于 4 的频率为0.3，故 P(B)的估计值为 0.3 3030 200 (3)由所给数据得 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a 频率0.300.250.150.150.100.05 调查的 200 名续保人的平均保费为 085a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.1
12、92 5a 因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a 悟技法 1概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值， 通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估 计值 2随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐 趋近于某一个常数，这个常数就是概率 刷好题 1(2017全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往 年销售经验，每天需求量与当天最高
13、气温(单位：)有关如果最高气温不低于 25，需求 量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需 求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据， 得下面的频数分布表： 最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40) 天数216362574 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率 (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率 (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)当六月份这种酸奶一天的进货 量为 450 瓶时，写出 Y 的所有
14、可能值，并估计 Y 大于零的概率 解：这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表格数据知， 最高气温低于 25 的频率为0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概 21636 90 率的估计值为 0.6 (2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时， 若最高气温不低于 25，则 Y64504450900； 若最高气温位于区间20,25)，则 Y63002(450300)4450300； 若最高气温低于 20，则 Y62002(450200)4450100， 所以，Y 的所有可能值为 900,300，100 Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格
15、数据知，最高气温不低于 20 的频率为 0.8，因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8 362574 90 2某超市随机选取 1 000 名顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况， 整理成如下统计表，其中“”表示购买， “”表示未购买. 商品 顾客人数 甲乙丙丁 100 217 200 300 85 98 (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率； (3)如果顾客购买了甲，那么该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解：(1)从统计表可以看出，在这 1 000 名顾客中有 200 名顾客同时购买了乙和丙，所 以顾客同
16、时购买乙和丙的概率可以估计为0.2 200 1 000 (2)从统计表可以看出，在这 1 000 名顾客中，有 100 名顾客同时购买了甲、丙、丁， 另有 200 名顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品，所以顾客在甲、 乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为0.3 100200 1 000 (3)与(1)同理，可得 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为0.2 200 1 000 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为0.6， 100200300 1 000 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为0.1， 100 1 000 所以，如果顾客购买了甲，那么该顾客同时购买丙的可能
17、性最大 互斥事件与对立事件的概率 析考情 互斥事件与对立事件是两个比较重要的知识点，单独命题的可能性不大，较多的是与 古典概型、独立事件等知识结合，以实际问题为背景，考查分析、推理能力，题目难度较 小 提能力 【典例】 盒中装有各色球共 12 只，其中 5 只红球，4 只黑球，2 只白球，1 只绿球， 从中取一球，设事件 A 为“取出一球是红球” ，事件 B 为“取出一球是黑球” ，事件 C 为 “取出一球是白球” ，事件 D 为“取出一球是绿球” 求： (1)事件 A，B，C，D 的概率； (2)“取出一球是红球或黑球”的概率； (3)“取出一球是红球或黑球或白球”的概率 解：(1)由古典概
18、型概率公式，得 P(A)，P(B) ，P(C) ，P(D) 5 12 4 12 1 3 2 12 1 6 1 12 (2)设“取出一球是红球或黑球”为事件 E，则 EAB，因为事件 A 与事件 B 互斥 P(E)P(AB)P(A)P(B) 5 12 1 3 3 4 故“取出一球是红球或黑球”的概率为 3 4 (3)设“取出一球是红球或黑球或白球”为事件 F，则 FABC，因为事件 A、B、C 两两互斥 P(F)P(ABC)P(A)P(B)P(C) 5 12 1 3 1 6 11 12 故“取出一球是红球或黑球或白球”的概率为 11 12 悟技法 求复杂互斥事件概率的 2 种方法 (1)直接求法
19、：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法 公式计算 (2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式 P(A)1P()求得，即运用逆向思 A 维(正难则反)，特别是“至多” “至少”型题目，用间接求法就会较简便 应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求 出各事件发生的概率，再求和(或差) 刷好题 1袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的 概率为 ，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄 1 3 5 12 5 12 球和绿球的概率各是多少？ 解：方法一 从袋中选取一个球，记事
20、件“摸到红球” “摸到黑球” “摸到黄球” “摸到 绿球”分别为 A，B，C，D，则有 P(A) ， 1 3 P(BC)P(B)P(C)， 5 12 P(CD)P(C)P(D)， 5 12 P(BCD)P(B)P(C)P(D)1P(A)1 ， 1 3 2 3 解得 P(B) ，P(C) ，P(D) ， 1 4 1 6 1 4 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 ， 1 4 1 6 1 4 方法二 设红球有 n 个，则 ，所以 n4，即红球有 4 个 n 12 1 3 又得到黑球或黄球的概率是，所以黑球和黄球共 5 个 5 12 又总球数是 12 个，所以绿球有 12453(个) 又得到黄球或
21、绿球的概率也是， 5 12 所以黄球和绿球共 5 个，而绿球有 3 个， 所以黄球有 532(个)所以黑球有 124323(个) 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 ， ， 3 12 1 4 2 12 1 6 3 12 1 4 2某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得，1 000 张奖券为一个 开奖单位设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个设 1 张奖券中特等奖，一等奖， 二等奖的事件分别为 A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1 张奖券的中奖概率； (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 解：(1)P(A)， P(B)，
22、 1 1 000 10 1 000 1 100 P(C) 50 1 000 1 20 故事件 A，B，C 的概率分别为， 1 1 000 1 100 1 20 (2)1 张奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖 设“1 张奖券中奖”这个事件为 M，则 MABC A、B、C 两两互斥， P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C) 11050 1 000 61 1 000 故 1 张奖券的中奖概率为 61 1 000 (3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N，则事件 N 与“1 张奖券中特等 奖或中一等奖”为对立事件， P(N)1P(AB)1 ( 1 1 000 1 100) 989 1 000 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 989 1 000