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1、大题速练手不生(04)时间：75分钟满分：70分17(12分)ABC，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2cos C.(1)求角C的大小；(2)若SABC2，a4，求c.解：(1)2cos C，acos Bbcos A2ccos C，由正弦定理得：sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos C，即sin(AB)2sin Ccos C，0C，sin C0，cos C，C.(2)由(1)知C，SABC2，abb2，解得b2.c2a2b22ab12，c2.18 (12分)为增强市民的环保意识，某市面向全市增招义务宣传志愿者从符合条件的志愿者中随机抽取20名志愿者，其年龄频率分
2、布直方图如图所示，其中年龄(岁)分成五组：第1组20,25)，第2组25,30)，第3组30,35)，第4组35,40)，第5组40,45得到的频率分布直方图(局部)如图所示(1)求第4组的频率，并在图中补画直方图；(2)从20名志愿者中再选出年龄低于30岁的志愿者3名担任主要宣讲人，求这3名主要宣讲人的年龄在同一组的概率解：(1)小矩形的面积等于频率，除35,40)外的频率和为0.70.第4组的频率：10.700.30，0.03.(2)用分层抽样的方法，则其中“年龄低于30岁”的人有5名，其中第一组有1人，第二组有4人，分别用a表示第一组的一人，用A，B，C，D表示第二组的4人，则任选三人总
3、的事件有aAB，aAC，aAD，aBC，aBD，aCD，ABC，ABD，ACD，BCD，共10种，其中在同一组的有，ABC，ABD，ACD，BCD，共4种，故这3名主要宣讲人的年龄在同一组的概率P.19(12分)如图，三棱锥PABC中，PAPC，底面ABC为正三角形(1)证明：ACPB；(2)若平面PAC平面ABC，AB2，PAPC，求三棱锥PABC的体积(1)证明：如图，取AC中点O，连接PO，BO，PAPC，POAC，又底面ABC为正三角形，BOAC，POOBO，AC平面POB，则ACPB；(2)解：平面PAC平面ABC，且平面PAC平面ABCAC，POAC，PO平面ABC，又AB2，PA
4、PC，可得PO1，且SABC2.VPABC1.20(12分)已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，顺次连接椭圆E的四个顶点得到的四边形的面积为16.(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆E的顶点P(0，b)的直线l交椭圆于另一点M，交x轴于点N，若|PN|、|PM|、|MN|成等比数列，求直线l的斜率解：(1)由题意可得：2ab16，又由e，c2a2b2，得a2b，由解的a4，b2，所以椭圆E的方程为1.(2)由题意|PM|2|PN|MN|，故点N在PM的延长线上，当直线l的斜率不存在时，|PM|2|PN|MN|，不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx2，令y0，得xN，将直线l的方
5、程代入椭圆E的方程1，得(4k21)x216kx0，因为xp0，解得xM，由，得，即解得k2，即k，直线l的斜率.21(12分)设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间及极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.(1)解：f(x)ex2x2a，xR，f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减2(1ln 2a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小
6、值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)，无极大值(2)证明：设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故当aln 21且x0时，exx22ax1.以下两题请任选一题：选修44：坐标系与参数方程22(10分)将圆(为参数)上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C.(1)
7、求出C的普通方程；(2)设直线l：x2y20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程解：(1)设(x1，y1)为圆上的任意一点，在已知的变换下变为C上的点(x，y)，则有，(为参数)，(为参数)，y21.(2)由解得：或，所以P1(2,0)，P2(0,1)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率k2，于是所求直线方程为y2(x1)，即4x2y30.化为极坐标方程得：4cos 2sin 30，即.选修45：不等式选讲23(10分)已知函数f(x)|x|x3|.(1)解关于x的不等式f(x)5x；(2)设m，ny|yf(x)，试比较mn4与2(mn)的大小解：(1)f(x)|x|x3|，得或或，解之得x或x或x8，所以不等式的解集为.(2)由(1)易知f(x)3，所以m3，n3，由于2(mn)(mn4)2mmn2n4(m2)(2n)，且m3，n3，所以m20,2n0，即(m2)(2n)0，所以2(mn)mn4.