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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 排列组合、二项式定理总结复习1,分类计数原理 完成一件事有几类方法, 各类方法相互独立每类方法又有多种不同的方法（每一种都可以独立的完成这个事情）分步计数原理 完成一件事, 需要分几个步骤, 每一步的完成有多种不同的方法2,排列排列定义：从 n 个不同元素中,任取 m（mn）个元素（被取出的元素各不相同）,根据肯定的次序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个排列；排列数定义；从n 个不同元素中,任取m（mn）个元素的全部排列的个n mn数Amn公式m A=nn .规定 0！ =1 m .3,组合组合定义从 n 个不同元素中,任取
2、m（mn）个元素并成一组,叫做从个不同元素中取出m个元素的一个组合组合数从 n 个不同元素中,任取m（mn）个元素的全部组合个数Cm C=m.n.m .n性质Cm=Cn mCm1CmCm1nnnnn排列组合题型总结一直接法1 .特别元素法例 1 用 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字组成无重复的四位数,试求满意下列条件的四位数各有多少个名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）数字 1 不排在个位和千位（2）数字 1 不在个位,数字 6 不在千位；分析：（ 1）个位和千位有5 个数字可供挑选A ,其余 5 22 位
3、有四个可供挑选A ,由乘法原理：22 A 52 A =240 2特别位置法二4A 6（2）当 1 在千位时余下三位有3 A =60 ,1 不在千位时,千位有1 A 种选法,个位有1 A 种,余下的有A ,共有 2A 4 1A 14A =192 2所以总共有192+60=252 间 接 法当 直 接 法 求 解 类 别 比 较 大 时 , 应 采 用 间 接 法 ； 如 上 例 中 （ 2 ） 可 用 间 接 法23 A 52 A 4=252 Eg 有五张卡片, 它的正反面分别写0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的
4、三位数？Eg 分析：任取三张卡片可以组成不同的三位数3 C 5233 A 3个,其中 0 在百位的有C2222 A 个,这是不合题意的；故共可组成不同的三位数43 C 5233 A 3-2 C 42 22 A =432 三个女生和五个男生排成一排（1） 女生必需全排在一起 有多少种排法（捆绑法）（2） 女生必需全分开（插空法 须排的元素必需相邻）（3） 两端不能排女生（4） 两端不能全排女生（5） 假如三个女生占前排,五个男生站后排,有多少种不同的排法名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二 插空法 当需排元素中有不能相
5、邻的元素时,宜用插空法；例 3 在一个含有8 个节目的节目单中,暂时插入两个唱歌节目,且保持原节目次序,有多少中插入方法？分析：原有的8 个节目中含有9 个空档,插入一个节目后,空档变为10 个,故有A 19A 10 1=100中插入方法；三 捆绑法 当需排元素中有必需相邻的元素时,宜用捆绑法；1四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,如使每个盒子不空,就不同的放法有 种（C 4A 23 3）,2,某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的同学参观,但每天只能支配一所学校,其中有一所学校人数1 19较多,要支配连续参观 2 天,其余只参观一天,就植物园 30 天内不同的支配方法有（C 29
6、A 28）（留意连续参观 2 天,即需把 30 天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有 C 29 1其余的就是 19 所学校选28 天进行排列）四 阁板法 名额安排或相同物品的安排问题,相宜采阁板用法例 5 某校预备组建一个由 12 人组成篮球队,这 12 个人由 8 个班的同学组成,每班至少一人,名额分配方案共 种 ；分析：此例的实质是 12 个名额安排给 8 个班,每班至少一个名额,可在 12 个名额种的 11 个空当中7插入 7 块闸板,一种插法对应一种名额的安排方式,故有 C 11 种五 平均分推问题eg 6 本不同的书按一下方式处理,各有几种分发？（1） 平均分成三堆,（2）
7、平均分给甲乙丙三人（3） 一堆一本,一堆两本,一对三本（4） 甲得一本,乙得两本,丙得三本（一种分组对应一种方案）（5） 一人的一本,一人的两本,一人的三本名师归纳总结 分析： 1,分出三堆书（ a1,a2）,a 3,a4,（a5,a6）由次序不同可以有3 A =6第 3 页,共 5 页种,而这6 种分法只算一种分堆方式,故6 本不同的书平均分成三堆方式有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 C 6C2 42 C 2=15 种A 3 32,六本不同的书,平均分成三堆有就有 x3 A种2 2C C C22x 种,平均分给甲乙丙三人五3,1 2C C C3
8、5,A31 2C C C3333合并单元格解决染色问题Eg 如图 1,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不 得使用同一颜色,现有四种颜色可供挑选,就不同的着色方法共有 种（以数字作答） ；分析：颜色相同的区域可能是 2、3、 4、5下面分情形争论 : 当 2、 4 颜色相同且3、 5 颜色不同时,将2、 4 合并成一个单元格,此时不同的着色方法相当于4个元素的全排列数 A 4 42,4（）当 2、4 颜色不同且3、 5 颜色相同时,与情形 类似同理可得 A 4种着色法4（）当2、4 与 3、5分别同色时,将2、4； 3、 5 分别合并,这样仅有三个单元格2,43,5从 4
9、 种颜色中选3 种来着色这三个单元格,计有C33 A 3种方法4由加法原理知：不同着色方法共有24 A 4C33 A 3=48+24=72（种）4练习 1（天津卷（文） ）将 3 种作物种植1 2 3 4 5 在如图的 5 块试验田里,每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物,名师归纳总结 不同的种植方法共种（以数字作答）（72 ）第 4 页,共 5 页2某城市中心广场建造一个花圃,花圃6 分为个部分（如图3）,现要栽种4 种颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话,不同的栽种方法有种（以数字作答） （120 ）62534ABD1CE图 3 图 4 3如图 4,用不同的5
10、 种颜色分别为ABCDE 五部分着色,相邻部分不能用同一颜色,但同一种颜色可以反复使用也可以不用,就符合这种要求的不同着色种数（540 ）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4如图 5：四个区域坐定 4 个单位的人,有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必需穿同种颜色的服装,且相邻两区域的颜色不同,不相邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么不同的着色方法是种（ 84 ）图 5 143CADEB2图 6 5将一四棱锥 图 6 的每个顶点染一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如只有五种颜色可供使用,名师归纳总结 就不同的染色方法共种（ 420 ）第 5 页,共 5 页- - - - - - -