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1、2.3导数与积分命题角度1导数的运算与几何意义高考真题体验对方向1.(2018全国5)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x答案D解析因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率k=f(0)=1.故切线方程为y=x.2.(2016山东10)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=
2、f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=exD.y=x3答案A解析当y=sin x时,y=cos x,因为cos 0cos =-1,所以在函数y=sin x图象存在两点x=0,x=使条件成立,故A正确;函数y=ln x,y=ex,y=x3的导数值均非负,不符合题意,故选A.3.(2018全国13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.答案y=2x解析y=,当x=0时,y=2,曲线在(0,0)处的切线方程为y=2x.4.(2018全国14)直线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.答案-3解析设f(x)=
3、(ax+1)ex,f(x)=aex+(ax+1)ex=(ax+a+1)ex,f(x)=(ax+1)ex在(0,1)处的切线斜率k=f(0)=a+1=-2,a=-3.5.(2016全国16)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.答案1-ln 2解析对函数y=ln x+2求导,得y=,对函数y=ln(x+1)求导,得y=.设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2相切于点P1(x1,y1),与曲线y=ln(x+1)相切于点P2(x2,y2),则y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1).由点P1(x1,y1)在切线上,得y-(ln x1+2)=(
4、x-x1),由点P2(x2,y2)在切线上,得y-ln(x2+1)=(x-x2).因为这两条直线表示同一条直线,所以解得x1=,所以k=2,b=ln x1+2-1=1-ln 2.6.(2015陕西15)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)解析曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率k=y=ex|x=0=1;由y=,可得y=-,因为曲线y=(x0)在点P处的切线与曲线y=ex在点(0,1)处的切线垂直,故-=-1,解得xP=1,由y=,得yP=1,故所求点P的坐标为(1,1).新题演练提能刷高分1.(2018江西第二次检测)已知函数
5、f(x)=ln(ax-1)的导函数是f(x),且f(2)=2,则实数a的值为()A.B.C.D.1答案B解析f(x)=,=2,a=,选B.2.(2018重庆二诊)曲线xy-x+2y-5=0在点A(1,2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A.9B.C.D.答案B解析由xy-x+2y-5=0,得y=f(x)=,f(x)=,f(1)=-.曲线在点A(1,2)处的切线方程为y-2=-(x-1).令x=0,得y=;令y=0,得x=7.故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S=7=.3.(2018辽宁大连一模)过曲线y=ex上一点P(x0,y0)作曲线的切线,若该切线在y轴上的截距小于0,则x
6、0的取值范围是()A.(0,+)B.,+C.(1,+)D.(2,+)答案C解析y=ex,y=ex,切线斜率为,切线方程为y-y0=(x-x0),当x=0时,y=-x0+y0=-x0(1-x0)1,则x0的取值范围是(1,+),故选C.4.(2018山西太原一模)函数y=ex+sin x在点(0,1)处的切线方程是.答案2x-y+1=0解析函数y=ex+sin x,y=ex+cos x,y|x=0=e0+cos 0=2,函数y=ex+sin x在点(0,1)处的切线方程是y-1=2x,即2x-y+1=0.5.(2018海南二模)已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足关系式f(x)=3xf(2
7、)+ln x,则f(1)的值等于.答案解析由f(x)=3xf(2)+ln x,可得f(x)=3f(2)+,f(2)=3f(2)+,解得f(2)=-,f(1)=3f(2)+1=.6.(2018陕西质量检测)已知函数f(x)=2ln x和直线l:2x-y+6=0,若点P是函数f(x)图象上的一点,则点P到直线l的距离的最小值为.答案解析设直线y=2x+m与函数f(x)的图象相切于点P(x0,y0)(x00).f(x)=,则f(x0)=2,解得x=1.P(1,0).则点P到直线2x-y+6=0的距离d=.即为点P到直线2x-y+6=0的距离的最小值.命题角度2导数与函数的单调性、极值和最值高考真题体
8、验对方向1.(2017浙江7)函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()答案D解析设导函数y=f(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x10x2x3.所以在区间(-,x1)和(x2,x3)上,f(x)0,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.2.(2017全国11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为()A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1答案A解析由题意可得,f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1.因为x=-2是函数
9、f(x)的极值点,所以f(-2)=0.所以a=-1.所以f(x)=(x2-x-1)ex-1.所以f(x)=(x2+x-2)ex-1.令f(x)=0,解得x1=-2,x2=1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,1)1(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故选A.3.(2017山东15)若函数exf(x)(e=2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.f(x)=2-xf(x)
10、=3-xf(x)=x3f(x)=x2+2答案解析对,设g(x)=ex2-x,则g(x)=ex=ex2-x0,g(x)在R上单调递增,具有M性质;对,设g(x)=ex3-x,则g(x)=ex=ex3-x0,g(x)0,g(x)在R上单调递增,具有M性质.故填.新题演练提能刷高分1.(2018安徽安庆二模)已知函数f(x)=2ef(e)ln x-(e是自然对数的底数),则f(x)的极大值为()A.2e-1B.-C.1D.2ln 2答案D解析f(x)=,f(e)=,f(e)=,f(x)=.令f(x)=0,则x=2e.x(0,2e)时,f(x)0,f(x)单调递增;x(2e,+)时,f(x)f(x),
11、在下列不等关系中,一定成立的是()A.ef(1)f(2)B.ef(1)ef(2)D.f(1)ef(2)答案A解析由题意得f(x)-f(x)0,0,0,0,0,y=在R上是减函数.1f(2),故选A.4.(2018河南中原名校质量考评)已知f(x)=(x2+2ax)ln x-x2-2ax在(0,+)上是增函数,则实数a的取值范围是()A.1B.-1C.(0,1D.-1,0)答案B解析f(x)=(x2+2ax)ln x-x2-2ax,f(x)=2(x+a)ln x,已知f(x)在(0,+)上是增函数,f(x)0在(0,+)上恒成立,当x=1时,f(x)=0满足题意.当x1时,ln x0,要使f(x
12、)0恒成立,则x+a0恒成立,x+a1+a,1+a0,解得a-1.当0x1时,ln x0,要使f(x)0恒成立,则x+a0恒成立,x+af(x)cos x(其中f(x)为函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是()A.ffC.ffD.ff(x)cos x,f(x)sin x-f(x)cos x0,F(x)0,y=F(x)在(0,)内为单调递增函数.FF,即,即ff,故选B.6.(2018山东菏泽一模)已知函数f(x)=x3-ax+2的极大值为4,若函数g(x)=f(x)+mx在(-3,a-1)上的极小值不大于m-1,则实数m的取值范围是()A.-9,-B.-9,-C.-,+D.(-,-9)
13、答案B解析f(x)=3x2-a,当a0时,f(x)0,f(x)无极值;当a0时,易得f(x)在x=-处取得极大值,则有f-=4,即a=3,于是g(x)=x3+(m-3)x+2,g(x)=3x2+(m-3).当m-30时,g(x)0,g(x)在(-3,2)上不存在极小值.当m-30时,易知g(x)在x=处取得极小值,依题意有解得-9m-.故选B.7.(2018新疆乌鲁木齐第二次质量监测)已知函数f(x)与其导函数f(x)的图象如图所示,则满足f(x)0时,函数f(x)单调递增,当f(x)0时,函数f(x)单调递减.由图象可知,当0x1时,函数y=f(x)的图象在y=f(x)图象的下方,满足f(x
14、)4时,函数y=f(x)的图象在y=f(x)图象的下方,满足f(x)f(x).所以满足f(x)f(x)的解集为x|0x4,故选D.8.(2018云南昆明质检)已知函数f(x)=+k(ln x-x),若x=1是函数f(x)的唯一极值点,则实数k的取值范围是()A.(-,eB.(-,e)C.(-e,+)D.-e,+)答案B解析由函数f(x)=+k(ln x-x),可得f(x)=+-1=-k,已知f(x)有唯一极值点x=1,f(x)=0有唯一解x=1.-k=0无解,即y=k与g(x)=无交点.g(x)=,由g(x)0得g(x)在1,+)上递增,由g(x)0得g(x)在(0,1)上递减,g(x)min
15、=g(1)=e.k0)在第一象限内围成的封闭图形的面积为4,则k=.答案4解析联立方程可得解得x=0或x=,先根据题意画出图形,如图阴影部分所示.直线y=kx与曲线y=x3所围图形的面积S=(kx-x3)dx=kx2-x4k2-k2=k2=4,解得k=4.7.(2018广东六校第三次联考)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,则f(x-2)+dx=.答案ln 3解析由定积分的运算性质可得f(x-2)+dx=f(x-2)dx+dx.函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,f(x-2)dx=f(x)dx=0.dx=ln x=ln 3,f(x-2)+dx=f(x-2)dx+dx=ln 3.8.(2018河南4月适应性考试)如图,已知点A(0,1),点P(x0,y0)(x00)在曲线y=x2上移动,过P点作PB垂直x轴于点B,若图中阴影部分的面积是四边形AOBP面积的,则P点的坐标为.答案(1,1)解析设P(a,a2),则四边形AOBP的面积为(1+a2)a,阴影部分的面积为x2dx=x3a3,a3=(1+a2)a,a=1.所以点P的坐标为(1,1).