《2019版高考数学（理科）总复习教师用书练习：7.2 圆锥曲线的标准方程与性质 .doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学（理科）总复习教师用书练习：7.2 圆锥曲线的标准方程与性质 .doc（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、7.2圆锥曲线的标准方程与性质命题角度1圆锥曲线的定义及标准方程高考真题体验对方向1.(2017全国10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为() A.16B.14C.12D.10答案A解析方法一:由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立抛物线方程,得消去y,得x2-2x-4x+=0,所以x1+x2=.同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=+4=+82
2、+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:如图所示,由题意可得F(1,0),设AB倾斜角为.作AK1垂直准线,AK2垂直x轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得所以|AF|cos +2=|AF|,即|AF|=.同理可得|BF|=,所以|AB|=.又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为+,则|DE|=,所以|AB|+|DE|=16,当=时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A.2.(2016全国5)已知方程=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)答案A解析(定义、公式)因为双曲线的焦距
3、为4,所以c=2,即m2+n+3m2-n=4,解得m2=1.又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n)0,解得-1n0,c=,则离心率e=,解得m=2.4.(2016北京13)双曲线=1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.答案2解析四边形OABC是正方形,AOB=45,不妨设直线OA的方程即双曲线的一条渐近线的方程为y=x.=1,即a=b.又|OB|=2,c=2.a2+b2=c2,即a2+a2=(2)2,可得a=2.新题演练提能刷高分1.(2018山东济南一模)已知椭圆C:=1(ab0),若长轴长为6,且两焦点
4、恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案B解析椭圆长轴长为6,焦点恰好将长轴三等分,2a=6,a=3,6c=6,c=1,b2=a2-1=8,椭圆方程为=1,故选B.2.(2018北京朝阳一模)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若|AB|=8,则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为()A.2B.4C.8D.16答案B解析如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为x=-1,即x+1=0,分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8,过AB的中点M作准线的垂线
5、,垂足为N,则MN为直角梯形ABDC的中位线,则|MN|=(|AC|+|BD|)=4,即M到准线x=-1的距离为4.故选B.3.(2018吉林长春第二次质量监测)已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则ABF1内切圆的半径为()A.B.1C.D.答案D解析由=1得a=2,c=1,根据椭圆的定义可知ABF1的周长为4a=8,ABF1面积为|F1F2|yA-yB|=23=3=8r,解得r=,故选D.4.(2018甘肃兰州第二次实战考试)已知点A(-1,0),B(1,0)为双曲线=1(a0,b0)的左、右焦点,点M在双曲线上,ABM为等腰三角形,且顶角
6、为120,则该双曲线的方程为()A.x2-=1B.x2-y2=1C.x2-=1D.x2-=1答案B解析由点M在双曲线上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,得|AB|=|BM|,ABM=120,过点M作MNx轴,垂足为N,则NBM=60,如图所示.在RtBNM中,|BM|=|AB|=2a,NBM=60,则|BN|=2acos 60=a,|MN|=2asin 60=a,即M(2a,a),代入双曲线方程得4-=1,即b2=a2.点A(-1,0),B(1,0)为双曲线的左、右顶点,a=b=1,双曲线的方程为x2-y2=1.5.(2018河北衡水模拟)已知抛物线C:y2=8x上一点P,直线l1:x=-
7、2,l2:3x-5y+30=0,则P到这两条直线的距离之和的最小值为()A.2B.2C.D.答案D解析由题意得直线l1:x=-2是抛物线的准线,设P到直线l1的距离为PA,点P到直线l2的距离为PB,所以P到这两条直线的距离之和为|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,当P,B,F三点共线时,距离之和最小.此时,最小值为,故选D.6.(2018安徽合肥第一次质检)如图,椭圆=1的焦点为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点,交y轴于点H.若F1,H是线段MN的三等分点,则F2MN的周长为()A.20B.10C.2D.4答案D解析由题意知H为线段F1N的中点,且F1(-c,0),b=2,由中
8、点坐标公式得点N的横坐标为c,即NF2x轴,所以Nc,则H0,.又F1为线段HM的中点,由中点坐标公式可得M-2c,-,代入椭圆方程得=1,a2=1+4c2,1+4c2=4+c2,c2=1,a2=b2+c2=5.由椭圆的定义可知,F2MN的周长为4a=4.7.(2018江西六校联考)双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为.答案9解析由双曲线的定义,得|AF2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a2+4a=2+8=9(即当ABx轴时取等号).命题角度2圆锥曲线的简单性质及其应用高考真题
9、体验对方向1.(2018全国5)双曲线=1(a0,b0)的离心率为,则其渐近线方程为()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x答案A解析e=,+1=3.双曲线焦点在x轴上,渐近线方程为y=x,渐近线方程为y=x.2.(2018全国11)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|=()A.B.3C.2D.4答案B解析由条件知F(2,0),渐近线方程为y=x,所以NOF=MOF=30,MON=6090.不妨设OMN=90,则|MN|=|OM|.又|OF|=2,在RtOMF中,|OM|=2cos 30=,所
10、以|MN|=3.3.(2017全国5)已知双曲线C:=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆=1有公共焦点,则C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案B解析由题意得,c=3.又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为=1.4.(2017天津5)已知双曲线=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为,若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案B解析设双曲线半焦距为c(c0),则双曲线=1(a0,b0)的左焦点F的坐标为(-c,0),渐近线方程为y=x.点P的坐标为(0,4),直线PF的斜率为k
11、=.由题意得.双曲线的离心率为,.在双曲线中,a2+b2=c2,联立解得a=b=2,c=4.所求双曲线的方程为=1.故选B.5.(2018全国16)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若AMB=90,则k=.答案2解析设直线AB:x=my+1,联立y2-4my-4=0,y1+y2=4m,y1y2=-4.而=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).AMB=90,=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5=-4(m2
12、+1)+(2m-1)4m+5=4m2-4m+1=0.m=.k=2.6.(2016天津6)已知双曲线=1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案D解析根据对称性,不妨设点A在第一象限,其坐标为(x,y),于是有则xy=b2=12.故所求双曲线的方程为=1,故选D.7.(2017全国16)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|=.答案6解析设N(0,a),由题意可知F(2,0).又M为FN的中
13、点,则M.因为点M在抛物线C上,所以=8,即a2=32,即a=4.所以N(0,4).所以|FN|=6.新题演练提能刷高分1.(2018河南豫南豫北第二次联考)若F(c,0)是椭圆=1的右焦点,F与椭圆上点的距离的最大值为M,最小值为m,则椭圆上与F点的距离等于的点的坐标是()A.c,B.-c,C.(0,b)D.不存在答案C解析由椭圆的性质得M=a+c,m=a-c,所以=a,椭圆上与F点的距离等于a的点为短轴的两个端点,故选C.2.(2018湖南长沙模拟)椭圆E的焦点在x轴上,中心在原点,其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆E的标准方程为()A.=1B.+y2=1C.=
14、1D.=1答案C解析由条件可知b=c=,a=2,所以椭圆方程为=1,故选C.3.(2018湖南长郡中学模拟)已知以原点为中心,实轴在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为y=x,焦点到渐近线的距离为6,则此双曲线的标准方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案C解析双曲线的一条渐近线方程是y=x,.=6,c=10.c2=a2+b2,a2=64,b2=36,双曲线方程为=1.4.(2018河南中原名校质量考评)已知点P(x1,y1)是椭圆=1上的一点,F1,F2是焦点,若F1PF2取最大时,则PF1F2的面积是()A.B.12C.16(2+)D.16(2-)答案B解析椭圆方程为=1,a=5,b=4
15、,c=3,因此椭圆的焦点坐标为F1(-3,0),F2(3,0).根据椭圆的性质可知,当点P与短轴端点重合时,F1PF2取最大值,则此时PF1F2的面积S=234=12,故选B.5.(2018湖北天门、仙桃、潜江期末联考)如图F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的虚轴长为.答案2解析设双曲线C2的半实轴长为a,半虚轴长为b,则|AF2|-|AF1|=2a,|AF2|+|AF1|=22=4,|AF2|2+|AF1|2=|F1F2|2=(2)2=12,=12,a2=2,b2=c2-a2=3-2=1.2
16、b=2,即C2的虚轴长为2.命题角度3求椭圆、双曲线的离心率高考真题体验对方向1.(2017全国9)若双曲线C:=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为() A.2B.C.D.答案A解析可知双曲线C的渐近线方程为bxay=0,取其中的一条渐近线方程为bx+ay=0,则圆心(2,0)到这条渐近线的距离为,即,所以c=2a,所以e=2,故选A.2.(2016全国11)已知F1,F2是双曲线E:=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1=,则E的离心率为()A.B.C.D.2答案A解析因为MF1垂直于x轴,所以|MF1|=,|MF
17、2|=2a+.因为sin MF2F1=,所以,化简得b=a,故双曲线的离心率e=.3.(2016全国11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:=1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.B.C.D.答案A解析由题意,不妨设直线l的方程为y=k(x+a),k0,分别令x=-c与x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.设OE的中点为G,由OBGFBM,得,即,整理,得,故椭圆的离心率e=,故选A.4.(2017全国15)已知双曲线C:=1(a0,b0)的右顶点为A
18、,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若MAN=60,则C的离心率为.答案解析如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,MAN=60,|AP|=b,|OP|=.设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为,则tan =.又tan =,解得a2=3b2,e=.新题演练提能刷高分1.(2018河北唐山二模)椭圆C:=1(ab0)右焦点为F,存在直线y=t与椭圆C交于A,B两点,使得ABF为等腰直角三角形,则椭圆C的离心率e=()A.B.-1C.-1D.答案B解析由题意得当BFAB时,ABF为等腰直角三角形,所以|FB|=|AB|,=2c,b2=2ac.a
19、2-c2=2ac.1-e2=2e.e2+2e-1=0.e=-1.由于椭圆的离心率e(0,1),所以e=-1,故选B.2.(2018湖南、江西十四校第二次联考)如图所示,圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案D解析椭圆的短轴长为圆柱的直径,椭圆的长轴、圆柱底面的直径和母线三者组成一个直角三角形,且长轴与直径的夹角为30.b=r,a=2r,c=r,e=.故选D.3.(2018东北三省三校二模)F1,F2是双曲线=1(a0,b0)的左、右焦点,过F1且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于B,A两点,若=2,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.答案B解析设直线方程
20、为y=x+c,与渐近线方程y=x联立方程组解得yB=,yA=,=2,yB-yA=2(0-yB),yA=3yB.,b=2a.c=a,e=,选B.4.(2018安徽合肥第二次质检)已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,A,B是双曲线C上的两点,且=3,cosAF2B=,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.答案B解析如图,设A,B是双曲线C左支上的两点,令|AF1|=3|F1B|=3m(m0),由双曲线的定义可得|BF2|=2a+m,|AF2|=2a+3m.在F2AB中,由余弦定理得(4m)2=(2a+m)2+(2a+3m)2-2(2a+m)(2a+3m),整理得3m2-2am-a2=
21、0,解得m=a或m=-a(舍去).|AB|=4a,|BF2|=3a,|AF2|=5a,F2AB为直角三角形,且ABF2=90.在RtF1BF2中,|F1B|2+|BF2|2=|F1F2|2,即a2+(3a)2=(2c)2,e2=.e1,e=,即该双曲线的离心率为.5.(2018湖南长郡中学、江西南昌二中等十四校第二次联考)设椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,其焦距为2c,点Qc,在椭圆的内部,点P是椭圆C上的动点,且|PF1|+|PQ|3ac,即2c2+3ac-2a20,2e2+3e-20.解得0e.|PF1|+|PQ|=2a-|PF2|+|PQ|,|PQ|-|PF2|QF2
22、|,且|QF2|=,要使|PF1|+|PQ|4|F1F2|恒成立,即2a-|PF2|+|PQ|2a+42c,2a.则椭圆离心率的取值范围是.命题角度4圆锥曲线的中点弦与焦点弦问题高考真题体验对方向1.(2013全国10)已知椭圆E:=1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为() A.=1B.=1C.=1D.=1答案D解析设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在椭圆上,-,得=0,即=-,AB的中点为(1,-1),y1+y2=-2,x1+x2=2,而=kAB=,.又a2-b2=9,a2=18,b2=9.椭圆E的方程为=1
23、.故选D.2.(2014江西15)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.答案解析由题意可设A(x1,y1),B(x2,y2),则可得-,并整理得=-.(*)M是线段AB的中点,且过点M(1,1)的直线斜率为-,x1+x2=2,y1+y2=2,k=-.(*)式可化为,即a2=2b2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,即.e=.新题演练提能刷高分1.(2018河南南阳模拟)已知双曲线E:=1,直线l交双曲线于A,B两点,若A,B的中点坐标为,-1,则l的方程为()A.4x+y-1=0B.2x+y=0C.2x+8y+
24、7=0D.x+4y+3=0答案C解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1,=0.-kl=0.-kl=0.kl=-,l:y-(-1)=-x-,整理得2x+8y+7=0.2.(2018山东德州期末)以双曲线的中心为原点,F(0,-2)是双曲线的焦点,过F的直线l与双曲线相交于M,N两点,且MN的中点为P(3,1),则双曲线的方程为()A.-y2=1B.y2-=1C.-x2=1D.x2-=1答案B解析由题意设该双曲线的标准方程为=1(a0,b0),M(x1,y1),N(x2,y2),则=1且=1,则,即,则=1,即b2=3a2,则c2=4a2=4,所以a2=1,b2=3,即该双曲线的方
25、程为y2-=1.故选B.3.(2018新疆乌鲁木齐第一次质量监测)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,M(3,2),直线MF交抛物线于A,B两点,且M为AB的中点,则p的值为()A.3B.2或4C.4D.2答案B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),M为AB的中点,y1+y2=4,故有,解得p=2或4.4.(2018重庆巴蜀中学适应性考试)已知双曲线x2-=1,直线l的斜率为-2,与双曲线交于A,B两点,若在双曲线上存在异于A,B的一点C,使直线AB,BC,AC的斜率满足=3,若D,E,H三点分别为AB,BC,AC的中点
26、,则kOE+kOH=()A.-6B.5C.6D.7答案D解析由题意得=3,.设点B,C,E的坐标分别为(xB,yB),(xC,yC),(xE,yE),则有两式相减得=(xB+xC)(xB-xC)-=0,整理得=kBCkOE=2,即kOE=.同理得kOH=.kOE+kOH=2=2=7.选D.5.(2018广东珠海3月质检)过点M(1,1)作斜率为-的直线l与椭圆C:=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为.答案解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0.2b2(x1-x2)+2a2(y1
27、-y2)=0.b2(x1-x2)=-a2(y1-y2).=-.a2=3b2.a2=3(a2-c2).2a2=3c2.e=.6.(2018辽宁辽南协作校一模)已知过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=16,且|AF|BF|,则|AF|=.答案8-4解析若斜率不存在,即ABx轴.此时|AB|=8,不满足题意.可设过抛物线y2=8x的焦点F的直线方程为y=k(x-2).联立得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.|AB|=16,x1+2+x2+2=16,即=12.k2=1,则x2-12x+4=0.x=64.|AF|BF|,x1=6-4,x2=6+4,|AF|=6-4+2=8-4.