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1、5.1三视图与几何体的体积、表面积命题角度1空间几何体三视图的识别与画法高考真题体验对方向1.(2018全国3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是() 答案A解析根据三视图原则,从上往下看,看不见的线画虚线,则A正确.2.(2018全国7)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.2B.2C.
2、3D.2答案B解析如图所示,易知N为的中点,将圆柱的侧面沿母线MC剪开,展平为矩形MCCM,易知CN=CC=4,MC=2,从M到N的路程中最短路径为MN.在RtMCN中,MN=2.3.(2017北京7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()A.3B.2C.2D.2答案B解析由题意可知,直观图为四棱锥A-BCDE(如图所示),最长的棱为正方体的体对角线AE=2.故选B.4.(2014全国12)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.6B.6C.4D.4答案B解析如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱
3、长为4.取B1B的中点G,即三棱锥G-CC1D1为满足要求的几何体,其中最长棱为D1G,D1G=6.5.(2013全国7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为()答案A解析如图所示,该四面体在空间直角坐标系O-xyz的图象为下图:则它在平面zOx上的投影即正视图为,故选A.新题演练提能刷高分1.(2018河北衡水调研)某几何体的正视图与俯视图如图,则其侧视图可以为()答案B解析由俯视图与正视图可知该几何体可以是一个三棱柱挖去一个圆柱,因此其
4、侧视图为矩形内有一条虚线,虚线靠近矩形的左边部分,只有选项B符合题意,故选B.2.(2018河南濮阳一模)如图,O1,O2为棱长为a的正方体的上、下底面中心,若正方体以O1O2为轴顺时针旋转,则该正方体的所有正视图中最大面积是()A.a2B.a2C.a2D.2a2答案B解析所有正视图中面积最大的是长为a,宽为a的矩形,面积为a2,故选B.3.(2018河北保定模拟)已知一几何体的正视图、侧视图如图所示,则该几何体的俯视图不可能是()答案D解析由图可知,选项D对应的几何体为长方体与三棱柱的组合,其侧视图中间的线不可视,应为虚线,故选D.4.(2018江西赣州十四县(市)期中)某几何体的三视图如图
5、所示,则此几何体的各面中最大面的面积为()A.2B.2C.3D.2答案B解析由三视图可得,该几何体为如图所示的三棱锥A1-BCD.结合三视图中的数据可得SBCD=22=2,22=2,2=2,故此几何体的各面中最大面的面积为2.选B.5.(2018安徽合肥第二次质检)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的所有棱中,最短的棱长为()A.2B.C.1D.2答案C解析由三视图可知原几何体是图中的三棱锥P-ABC,其中C为棱的中点.从图中可以看出棱AC最短,因为AC=1,所以最短的棱长为1,故选C.6.(2018安徽合肥第二次质检)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱A1B1的中点,用过点A
6、,C,E的平面截正方体,则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为()答案A解析如图所示,取B1C1的中点F,则EFAC,即平面ACFE亦即平面ACE截正方体所得的截面,据此可得位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图如选项A所示.7.(2018河南濮阳二模)已知三棱柱HIG-EFD的底面为等边三角形,且侧棱垂直于底面,该三棱柱截去三个角(如图所示,A,B,C分别是GHI三边的中点)后得到的几何体如图,则该几何体的侧视图为()答案A解析因为平面DEHG平面EFD,所以几何体的侧视图为直角梯形,且直角腰在侧视图的左侧,故选A.命题角度2空间几何体的体积、表面积高考真题体验对方向1.(2015全国6
7、)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B解析设底面圆半径为R,米堆高为h.米堆底部弧长为8尺,2R=8,R=.体积V=R2h=5.3,V(尺3).堆放的米约为22(斛).2.(2015山东7)在梯形ABCD中,ABC=,ADBC,BC=2AD=2AB=2.将梯形AB
8、CD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.B.C.D.2答案C解析由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥.V圆柱=122=2,V圆锥=121=.V几何体=V圆柱-V圆锥=2-.3.(2018全国16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45.若SAB的面积为5.则该圆锥的侧面积为.答案40解析设O为底面圆圆心,cosASB=,sinASB=.SASB=|AS|BS|=5.SA2=80.SA=4.SA与圆锥底面所成的角为45,SOA=90.SO=OA=SA=2.S圆锥侧=rl=42=40.新题演练提能刷高分1.(2018云南保山第
9、二次统测)我国古代数学名著增删算法统宗中有如下问题:“有个金球里面空,球高尺二厚三分,一寸自方十六两,试问金球几许金?”意思是:有一个空心金球,它的直径12寸,球壁厚0.3寸,1立方寸金重1斤,试问金球重是多少斤?(注3)()A.125.77B.864C.123.23D.369.69答案C解析由题意知,大球半径R=6,空心金球的半径r=6-0.3=5.7,则其体积V=(63-5.73)123.23(立方寸).因为1立方寸金重1斤,所以金球重123.23斤,故选C.2.(2018福建宁德期末)我国古代数学名著孙子算经中有如下问题:“今有筑城,上广二丈,下广五丈四尺,高三丈八尺,长五千五百五十尺,
10、秋程人功三百尺.问:须工几何?”意思是:“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙,其中底面等腰梯形的上底为2丈、下底为5.4丈、高为3.8丈,直棱柱的侧棱长为5 550尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出300立方尺,问:一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙?”(注:一丈等于十尺)()A.24 642B.26 011C.52 022D.78 033答案B解析根据棱柱的体积公式,可得城墙所需土方为385 550=7 803 300(立方尺),一个秋天工期所需人数为=26 011,故选B.3.(2018山西太原一模)三棱锥D-ABC中,CD底面ABC,ABC为正三角形,若AECD,AB=CD=A
11、E=2,则三棱锥D-ABC与三棱锥E-ABC的公共部分构成的几何体的体积为()A.B.C.D.答案B解析根据题意画出如图所示的几何体:三棱锥D-ABC与三棱锥E-ABC的公共部分构成的几何体为三棱锥F-ABC.ABC为正三角形,AB=2,SABC=22.CD底面ABC,AECD,CD=AE=2,四边形AEDC为矩形,则F为EC与AD的中点,三棱锥F-ABC的高为CD=1,三棱锥F-ABC的体积为V=1=.故选B.4.(2018四川雅安模拟)九章算术是我国古代的数学名著,书中提到一种名为“刍甍”的五面体,如图所示,四边形ABCD是矩形,棱EFAB,AB=4,EF=2,ADE和BCF都是边长为2的
12、等边三角形,则这个几何体的体积是()A.B.+2C.D.答案C解析过点E作EG平面ABCD,垂足为点G,过点F作FH平面ABCD,垂足为点H,过点G作PQAD,交AB于点Q,交CD于点P,过点H作MNBC,交AB于点N,交CD于点M,如图所示:四边形ABCD是矩形,棱EFAB,AB=4,EF=2,ADE和BCF都是边长为2的等边三角形,四边形PMNQ是边长为2的正方形,EG=,这个几何体的体积为V=VE-AQPD+VEPQ-FMN+VF-NBCM=122+22=+2.故选C.5.(2018上海虹口期末质量监控)已知M,N是三棱锥P-ABC的棱AB,PC的中点,记三棱锥P-ABC的体积为V1,三
13、棱锥N-MBC的体积为V2,则等于.答案解析如图,设三棱锥P-ABC的底面积为S,高为h.M是AB的中点,SBMC=S.N是PC的中点,三棱锥N-MBC的高为h,则V1=Sh,V2=Sh=Sh,.故填.6.(2018河北唐山二模)在四棱锥S-ABCD中,SD底面ABCD,底面ABCD是正方形,SD=AD=2,三棱柱MNP-M1N1P1的顶点都位于四棱锥S-ABCD的棱上,已知M,N,P分别是棱AB,AD,AS的中点,则三棱柱MNP-M1N1P1的体积为.答案1解析由题得M1是BC中点,N1是DC中点,P1是SC中点,PN=1,MN=,且PNMN,所以三棱柱MNP-M1N1P1的底面积为1.由题
14、得正方形的对角线长2,三棱柱MNP-M1N1P1的高为2,所以三棱柱MNP-M1N1P1的体积为=1,故填1.命题角度3三视图还原与几何体的体积、表面积高考真题体验对方向1.(2017全国7)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A.10B.12C.14D.16答案B解析由三视图可还原出几何体的直观图如图所示.该五面体中有两个侧面是全等的直角梯形,且该直角梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,则S梯=(2+4)22=6,所以这些梯形的面积之和为12.2.(2
15、017全国4)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A.90B.63C.42D.36答案B解析由题意,可知该几何体由两部分组成,这两部分分别是高为6的圆柱截去一半后的图形和高为4的圆柱,且这两个圆柱的底面圆半径都为3,故其体积为V=326+324=63,故选B.3.(2016全国6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是()A.17B.18C.20D.28答案A解析由三视图可知该几何体是球截去后所得几何体,则R3=,解得R=2,所以它的表
16、面积为4R2+R2=14+3=17.4.(2016全国6)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20B.24C.28D.32答案C解析由题意可知,该几何体由同底面的一个圆柱和一个圆锥构成,圆柱的侧面积为S1=224=16,圆锥的侧面积为S2=22=8,圆柱的底面面积为S3=22=4,故该几何体的表面积为S=S1+S2+S3=28,故选C.5.(2016全国9)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A.18+36B.54+18C.90D.81答案B解析由三视图知该几何体是平行六面体,且底面是边长为3的正方形,侧
17、棱长为3,所以该几何体的表面积为S=236+233+233=54+18,故选B.新题演练提能刷高分1.(2018河北唐山二模)如下图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则其表面积为()A.2B.5C.8D.10答案C解析由题得几何体原图是球被切割后剩下的,所以它的表面积由三个部分组成,所以S=422+22+22=8.故选C.2.(2018山西太原二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.B.C.D.答案D解析三视图还原是四棱锥,如图所示.ACAD,PD底面ABCD,PD=AD=BC=AC=1,所以体积V=(11)1=,故选D.3.(2018河北石家庄一
18、模)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.8+3B.8+4C.8+5D.8+6答案D解析由题图可知,几何体为半圆柱挖去半球体,几何体的表面积为2+4+24-+=8+6,故选D.4.(2018东北三省三校二模)如图所示,一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,则该三棱锥的体积为()A.3B.4C.6D.8答案B解析如图所示,在长、宽、高分别为4,2,3的长方体中,三棱锥P-ABC对应几何体的三视图即题中的三视图,据此可得该几何体的体积:V=SABCPC=243=4.故选B.5.(2018福建福州3月质检)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画
19、出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()A.+6B.+6C.+6D.+2答案C解析由三视图可知,该几何体为组合体:上方为半个圆锥,下方为放倒的直四棱柱,该几何体的体积为2+(1+2)22=+6,故选C.6.(2018江西教学质量监测)若一个空间几何体的三视图如图所示,且已知该几何体的体积为,则其表面积为()A.6+4B.6C.+2D.+答案A解析该几何体是半个圆锥,则V=r2r=,解得r=2,母线长为l=2r,所以其表面积为S=rl+r2+2rr=r2=6+4,故选A.7.(2018湖南、江西十四校第一次联考)已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图(单位:cm)如图所示
20、,则该几何体的体积是()A. cm3B.4 cm3C. cm3D. cm3答案D解析由三视图得原几何体如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,由平面AB1D1,平面CB1D1截得的几何体,它的体积为一个正方体的体积减去两个底面为等腰直角三角形的三棱锥的体积,即V=23-2Sh=8-22=(cm3).故选D.8.(2018安徽江南十校3月联考)某几何体的三视图如图所示,其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成,侧视图由半圆和等腰直角三角形组成,俯视图的实线部分为正方形,则该几何体的表面积为()A.3+4B.4(+1)C.4(+)D.4(+1)答案A解析由三视图知几何体的上半部分是半圆柱,圆柱
21、底面半径为1,高为2,其表面积为S1=21+12=3,下半部分为正四棱锥,底面棱长为2,斜高为,其表面积S2=42=4,所以该几何体的表面积为S=S1+S2=3+4.故选A.9.(2018山东济南一模)某几何体的三视图如图所示,其中正视图的轮廓是底边为2,高为1的等腰三角形,俯视图的轮廓为菱形,侧视图是个半圆.则该几何体的体积为.答案解析由三视图可知,该几何体是一个组合体,它由两个底面重合的半圆锥组成,圆锥的底面半径为1,高为,所以组合体的体积为212,故答案为.命题角度4球与几何体的切、接问题高考真题体验对方向1.(2018全国10)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为
22、等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.12B.18C.24D.54答案B解析由ABC为等边三角形且面积为9,设ABC边长为a,则S=aa=9.a=6,则ABC的外接圆半径r=a=24.设球的半径为R,如图,OO1=2.当D在O的正上方时,VD-ABC=SABC(R+|OO1|)=96=18,最大.故选B.2.(2017全国8)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.B.C.D.答案B解析由题意可知球心即为圆柱体的中心,画出圆柱的轴截面如图所示,则AC=1,AB=,底面圆的半径r=BC=,所以圆柱的体积是V=r2h=1=
23、,故选B.3.(2016全国10)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4B.C.6D.答案B解析由题意知要使球的体积最大,则它与直三棱柱的若干个面相切.设球的半径为R,易得ABC的内切球的半径为=2,则R2.因为2R3,即R,所以Vmax=,故选B.4.(2015全国9)已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36B.64C.144D.256答案C解析由AOB面积确定,若三棱锥O-ABC的底面OAB的高最大,则其体积才最大
24、.因为高最大为半径R,所以VO-ABC=R2R=36,解得R=6,故S球=4R2=144.新题演练提能刷高分1.(2018河南六市一模)在三棱锥S-ABC中,SBBC,SAAC,SB=BC,SA=AC,AB=SC,且三棱锥S-ABC的体积为,则该三棱锥的外接球半径是()A.1B.2C.3D.4答案C解析取SC中点O,连接OA,OB,则OA=OB=OC=OS,即O为三棱锥的外接球球心,设半径为r,则2rr2=,r=3,故选C.2.(2018福建厦门第一次质检)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体外接球的表面积是()A.8B.9C.D.答案A解析由三视图画出
25、如图所示的直观图:该几何体是直三棱柱ABC-ABC,其中ACBC,AC=BC=,AA=2,四边形ABBA是正方形,则将该直三棱柱补全成长方体,如图所示:故该长方体的体对角线为=2,则外接球的半径为.所以该几何体外接球的表面积是4()2=8,故选A.3.(2018河北邢台期末)有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等,此圆锥的母线与底面所成角为60,若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍,则此圆柱的高是其底面半径的()A.倍B.2倍C.2倍D.3倍答案B解析设圆柱的高为h,底面半径为r,圆柱的外接球的半径为R,则R2=2+r2.因为圆锥的母线与底面所成角为60,所以圆锥的高为r,母线长l=2r.
26、所以圆锥的侧面积为rl=2r2,所以4R2=42+r2=42r2,得2+r2=2r2,即h2=4r2,所以=2.故选B.4.(2018湖北黄冈、黄石等八市3月联考)九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.一块“堑堵”形石材表示的三视图如图所示.将该石材切削、打磨,加工成若干个相同的球,并尽量使每个球的体积最大,则所剩余料体积为()A.288-48B.288-16C.288-32D.288-4答案C解析由三视图知,该直三棱柱的底面直角三角形,直角边为6与8,要使每个球的体积最大,则球与三个侧面相切,求得三角形内切圆半径为2,则球的直径为4,由于棱柱高为12,所以最多可加工成3个半径
27、为2的球,剩余体积为6812-323=288-32,故选C.5.(2018湖南郴州第二次质量监测)三棱锥P-ABC的一条棱长为m,其余棱长均为2,当三棱锥P-ABC的体积最大时,它的外接球的表面积为()A.B.C.D.答案B解析由题意画出三棱锥的图形,其中AB=BC=CD=BD=AC=2,AD=m;取BC,AD的中点分别为E,F,可知AEBC,DEBC,且AEDE=E,BC平面AED,平面ABC平面BCD时,三棱锥A-BCD的体积最大,此时AD=m=AE=;设三棱锥外接球的球心为O,半径为R,由球体的对称性知,球心O在线段EF上,OA=OC=R,又EF=,设OF=x,OE=-x,R2=2+x2
28、=-x2+1,解得x=;球的半径R满足R2=,三棱锥外接球的表面积为4R2=4.6.(2018河北唐山一模)已知P,A,B,C是半径为2的球面上的点,PA=PB=PC=2,ABC=90,点B在AC上的射影为D,则三棱锥P-ABD体积的最大值是()A.B.C.D.答案B解析如图,由题意,PA=PB=PC=2,ABC=90,可知P在平面ABC上的射影G为ABC的外心,即AC中点,则球的球心在PG的延长线上,设PG=h,则OG=2-h,OB2-OG2=PB2-PG2,即4-(2-h)2=4-h2,解得h=1.则AG=CG=,过点B作BDAC于点D,设AD=x,则CD=2-x,再设BD=y,由BDCA
29、DB,可得,y=xy=,令f(x)=-x4+2x3,则f(x)=-4x3+6x2,由f(x)=0,可得x=,当x=时,f(x)max=,ABD面积的最大值为,则三棱锥P-ABD体积的最大值是1=.故选B.7.(2018河南郑州第二次质量预测)三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的表面上,AB平面BCD,BCCD,AB=1,BC=2,CD=3,则球O的表面积为.答案14解析根据题意及边长关系得到BC=2,CD=3,BD=,因为AB平面BCD,故得到AB=1,AD=,AC=,ABC为直角三角形,ACD也为直角三角形,故球心在AD的中点上,球的半径为,S=4=14.8.(2018重庆二诊)边长为2的等
30、边ABC的三个顶点A,B,C都在以O为球心的球面上,若球O的表面积为,则三棱锥O-ABC的体积为.答案解析设球半径为R,则4R2=,解得R2=.设ABC所在平面截球所得的小圆的半径为r,则r=2=.故球心到ABC所在平面的距离为d=,即为三棱锥O-ABC的高,所以VO-ABC=SABCd=22.9.(2018安徽马鞍山第二次质量检测)在三棱锥A-BCD中,AB=1,BC=,CD=AC=,当三棱锥A-BCD的体积最大时,其外接球的表面积为.答案6解析AB=1,BC=,AC=,AB2+BC2=AC2,即ABC为直角三角形,当CD平面ABC时,三棱锥A-BCD的体积最大,又CD=,ABC外接圆的半径
31、为,故外接球的半径R满足R2=2+2=,外接球的表面积为4R2=6.10.(2018安徽合肥第二次质量检测)已知半径为3 cm的球内有一个内接四棱锥S-ABCD,四棱锥S-ABCD的侧棱长都相等,底面是正方形,当四棱锥S-ABCD的体积最大时,它的底面边长等于cm.答案4解析如图,设四棱锥S-ABCD的侧棱长为x,底面正方形的边长为a,棱锥的高为h.由题意可得顶点S在底面上的射影为底面正方形的中心O1,则球心O在高SO1上.在RtOO1B中,OO1=h-3,OB=3,O1B=a,32=(h-3)2+a2,整理得a2=12h-2h2.在RtSO1B中,有x2=h2+a2=h2+(6h-h2)=6h,h=.a2=2x2-,VS-ABCD=a2h=2x2-(-x6+6x4).设f(x)=-x6+6x4,则f(x)=-6x5+24x3=-6x3(x2-24),当0x0,f(x)单调递增,当x2时,f(x)0,f(x)单调递减.当x=2时,f(x)取得最大值,即四棱锥S-ABCD的体积取得最大值,此时a2=2(2)2-=16,解得a=4.四棱锥S-ABCD的体积最大时,底面边长等于4 cm.故填4.