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1、20022002年国际数学家大会会标年国际数学家大会会标 如图是在北京召开的第如图是在北京召开的第2424届届国际数学家大会的会标，会标是国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情象一个风车，代表中国人民热情好客。好客。一、新课引入一、新课引入ab2122ba S直角三角形ABEABCDS正方形如果设直角三角形的边长分别为如果设直角三角形的边长分别为a，b。填空：。填空：22abAB 思考：正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积和有什么关系？S直角三角形ABE4ab
2、24S直角三角形ABEABCDS正方形abba222思考：思考：（1）能否将上面的不能否将上面的不等式整理成等式整理成a , b的形式？的形式？22R2()ababa bab如 果， 那 么当 且 仅 当时 ， 取号(2)(2)当当 a,ba,b为任意实数时，上式还成立吗？证明你的结论？为任意实数时，上式还成立吗？证明你的结论？ABCDS正方形22ba 4S直角三角形ABEABCDS正方形S直角三角形ABEab2 4二、新课探究二、新课探究2.思考思考:(1)如果如果 a0 , b 0,用用 分别代分别代替替a , b，将得到什么结果？，将得到什么结果？ba,abba2（2）如何证明以上不等式
3、？）如何证明以上不等式？3.探究探究 (基本不等式基本不等式)的几何解释。的几何解释。abba2)2(abba在右图中，在右图中，AB是圆的直径，是圆的直径，点点C是是AB上的一点，上的一点，设设 AC = a , BC = b 。过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE，连接连接AD、BD。E思考：思考：（1）能否用）能否用a,b表示表示 CD？(2) 如图，如图， 有何几何意义？有何几何意义？2baabCD (3) 的几何意义是什么？的几何意义是什么？2abab2.基本不等式基本不等式,2,aba baba b我们把叫做正数的把叫做正数的算算术术平平均均数数，几几何何平平均均数数。两个正
4、数的算术平均数两个正数的算术平均数不小于不小于它们的几何平均它们的几何平均数数. 002()abababab如果，那么当且仅当时，取号此定理又可叙述为：此定理又可叙述为：22R2()abababab如果，那么当且仅当时，取号1.002()abababab如果，那么当且仅当时，取号2.基本不等式基本不等式(1)(1)不等式成立的条件不同：不等式成立的条件不同： 前者只要求前者只要求a，b都是都是实数实数，而后者要求，而后者要求a，b都是都是正数正数. .(2)(2)取等号时的条件相同：当且仅当取等号时的条件相同：当且仅当a =b时，取等号。时，取等号。2abab（）练一练：练一练：6123120
5、,3xxx2.若则当且仅当x= 时 ,取得最小值，最小值为23.3xyxy若x0,y0且，则当且仅当x=时，取得最大值，最大值为3294取得最小值，最小值为时，则当且仅当且若nmmmnnm, 90, 0. 1解：（解：（1）设矩形菜园的长为）设矩形菜园的长为x m，宽为，宽为y m， 2xyxy+2 100,xy+2()40 xy+当且仅当当且仅当x=y时等号成立，此时时等号成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是最短的篱笆是40m. 例例1 （1）用篱笆围一个面积为100 m 的矩形菜园，问这个矩
6、形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？2则面积为则面积为xy=100 m ， 篱笆的长为篱笆的长为2（x+y）m. 2三、例题讲解三、例题讲解定值定值（相等）（相等）因为x,y都大于零（正）（正）解解：设矩形菜园的长为设矩形菜园的长为x m,x m,宽为宽为y my m , , 18922xyxy+=81xy当且仅当当且仅当x=y,x=y,即即x=9x=9，y=9y=9时时等号成立。等号成立。 则则2(x+y)=36,x+y=18, 2(x+y)=36,x+y=18, 矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xyxy m . m .2 因此，这个矩形的长、宽为都因此，这个矩形的长、宽为
7、都9m9m时，菜园的面积时，菜园的面积最大，最大面积是最大，最大面积是81m 81m 2（2）一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少?三、例题讲解三、例题讲解10,xxx1.若求的 最 小 值 。10,xxx2 . 若求的 最 大 值 。10,xxx3 . 若求的 最 值 。11,1xxx4 . 若求的 最 小 值 。思考题：思考题：变式变式：练习：练习：1.本节课主要学习了基本不等式的证明与本节课主要学习了基本不等式的证明与初步应用。初步应用。 巅巅 峰峰 回回 眸眸 豁豁 然然 开开 朗朗2.2.注意公式的正用、逆用、变形使用注意公式的正用、逆用、变形使用。3 3. .牢记公式特征牢记公式特征“正正”、“定定”、“等等”. .谢谢大家！谢谢大家！