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1、5.1 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积稳固夯实根底 一、自主梳理 (1)向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量. (2)表示方法:用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a,b,或用,表示. (3)模:向量的长度叫向量的模,记作|a|或|. (4)零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作0;零向量的方向不确定. (5)向量:长度为1个长度的向量叫做向量. (6)共线向量:方向相同或相反的向量叫共线向量,规定零向量与任何向量共线. (7)相等的向量:长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. (1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加
2、法. (2)法那么:三角形法那么、平行四边形法那么. (3)运算律:a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c). (1)定义:求两个向量差的运算,叫做向量的减法. (2)法那么:三角形法那么、平行四边形法那么. (1)定义:实数与向量a的积是一个向量,记作a,规定:|a|=|a|.当0时,a的方向与a的方向相同;当0时,a的方向与a的方向相反;当=0时,a与a平行. (2)运算律:(a)=()a,(+)a=a+a,(a+b)=a+b. (1)向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得b=a,即bab=a(a0). (2)平面向量根本定理:如果e1、e2是同一平面
3、内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且仅有一对实数1、2,使a=1e1+2e2. 二、点击双基1.(天津高考,理)假设平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180,且|b|=3,那么b等于( )A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3)解析：易知a与b方向相反,可设b=(,-2)(0.又|b|=3=,解之得=-3或=3(舍去).b=(-3,6).答案：A2.(理)(浙江高考,文)向量a=(3,4),b=(sin,cos),且ab,那么tan等于( )A. C. 解析：由ab,3cos=4sin.tan=.答案：A(文)以下算式中不正确的选项是(
4、)A.+=0 B.-=0 D.(a)=()a解析：-=,故B错误.答案：B3.(全国高考卷，文)点O是ABC所在平面内的一点,满足=,那么点O是ABC的( )解析：由=,可得=0，即. 同理可得,.答案：D4.(江苏南通九校联考)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+(+)，0，+，那么P的轨迹一定通过ABC的( )A外心 B垂心 C内心 D重心解析：由=+(+),-=(+),0,+,=(+).ABC的重心.应选择D.答案：D5.ABC中，=3，那么=_.(用和表示)解析：=-,又=3， =+=+(-)=+.答案：+诱思实例点拨 【例1】 向量a、b满足|a|=1,
5、|b|=2,|a-b|=2,那么|a+b|等于( )A.1 B. C. D.剖析：欲求|a+b|,一是设出a、b的坐标求,二是直接根据向量模计算.解法一：设a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么x12+y12=1,x22+y22=4,a-b=(x1-x2,y1-y2), (x1-x2)2+(y1-y2)2=4. x12-2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22=4. 1-2x1x2-2y1y2=0. 2x1x2+2y1y2=1. (x1+x2)2+(y1+y2)2=1+4+2x1x2+2y1y2=5+1=6. |a+b|=.解法二：|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2
6、), |a+b|2=2(|a|2+|b|2)-|a-b|2 =2(1+4)-22=6. |a+b|=.应选D.答案：D链接提示 此题还可以利用向量的加、减运算的几何意义计算. 设=a，=b，那么-=. 在OAB中，cosAOB =, cosOAC=-. 在OAC中，|2=|2+|2-2|cosOAC =12+22-212(-)=6. |=，即|a+b|=.【例2】 如图，G是ABC的重心，求证：+=0.剖析：要证+=0，只需证+=-，即只需证+与互为相反的向量.证明：以向量、为邻边作平行四边形GBEC，那么+=2.又由G为ABC的重心知 =2，从而=-2. +=-2+2=0.讲评：向量的加法可
7、以用几何法进行.正确理解向量的各种运算的几何意义，能进一步加深对“向量的认识，并能体会用向量处理问题的优越性.【例3】 设、不共线,点P在AB上,求证: =+且+=1,、R.剖析：点P在AB上,可知与共线,得=t.再用以O为起点的向量表示.证明：P在AB上, 与共线. =t. -=t(-). =+t-t=(1-t)+t. 设1-t=,t=，那么=+且+=1,、R.讲评：本例的重点是考查平面向量的根本定理,及对共线向量的理解及应用.链接提示 (1)此题也可变为、不共线,假设=+,且+=1,R,R,求证:A、B、P三点共线. 提示:证明与共线. (2)当=时,=(+),此时P为AB的中点,这是向量的中点公式.【例4】 假设a、b是两个不共线的非零向量(tR)，假设a与b起点相同，t为何值时，a、tb，(a+b)三向量的终点在一直线上？解：设a-tb=ma-(a+b)(mR), 化简得(-1)a=(-t)b. a与b不共线， t=时，a、tb、(a+b)的终点在一直线上.