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1、第五章 平面向量 网络体系总览 考点目标定位 1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.2.掌握向量的加法与减法的运算律及运算法则.3.掌握实数与向量的积的运算律及运算法则.4.了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.复习方略指南 向量是数学中的重要概念，它广泛应用于生产实践和科学研究中，其重要性逐渐加强.从近几年高考试题可以看出，主要考查平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量的数量积、图形的平移等基本概念、运算及简单应用.随着新教材的逐步推广、使用，“平面向量”将会成为命题的热点，一般选择题、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其
2、运算律.本单元试题的常见类型有：（1）与“定比分点”有关的试题；（2）平面向量的加减法运算及其几何意义；（3）平面向量的数量积及运算律，平面向量的坐标运算，用向量的知识解决几何问题；（4）正、余弦定理的应用.复习本章时要注意：（1）向量具有大小和方向两个要素.用线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量.（2）共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.（3）向量的加、减、数乘积是向量的线性运算，其结果仍是向量.向量的数量积结果是一个实数.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹
3、角，判断相应的两条直线是否垂直.（4）向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律.（5）要注意向量在几何、三角、物理学中的应用.（6）平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考的重点，复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力.5.1 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积 知识梳理 1.平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，或用AB，BC，表示.（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|AB|.（4）零
4、向量：长度为零的向量叫做零向量，记作 0；零向量的方向不确定.（5）单位向量：长度为 1 个长度单位的向量叫做单位向量.（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.（7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.（2）法则：三角形法则；平行四边形法则.（3）运算律：a+b=b+a；（a+b）+c=a+（b+c）.3.向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.（2）法则：三角形法则；平行四边形法则.4.实数与向量的积：（1）定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a，规定：|a|
5、=|a|.当0 时，a的方向与a的方向相同；当0 时，a的方向与a的方向相反；当=0 时，a与a平行.（2）运算律：（a）=（）a，（+）a=a+a，（a+b）=a+b.5.两个重要定理：（1）向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=a，即bab=a（a0）.（2）平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且仅有一对实数1、2，使a=1e1+2e2.点击双基 1.（2004 年天津，理 3）若平面向量b与向量a=（1，2）的夹角是 180，且|b|=35，则b等于 A.（3，6）B.（3，6）C.（6，3）
6、D.（6，3）解析：易知a与b方向相反，可设b=（，2）（0）.又|b|=35=224，解之得=3 或=3（舍去）.b=（3，6）.答案：A 2.（2004 年浙江，文 4）已知向量a=（3，4），b=（sin，cos），且ab，则 tan等于 A.43 B.43 C.34 D.34 解析：由ab，3cos=4sin.tan=43.答案：A 3.若ABCD为正方形，E是CD的中点，且AB=a，AD=b，则BE等于 A.b+21a B.b21a C.a+21b D.a21b 解析：BE=AEAB=AD+DEAB=AD+21ABAB=b21a.答案：B 4.e1、e2是不共线的向量，a=e1+ke
7、2，b=ke1+e2，则a与b共线的充要条件是实数k等于 A.0 B.1 C.2 D.1 解析：a与b共线存在实数m，使a=mb，即e1+ke2=mke1+me2.又e1、e2不共线，.1kmmk，k=1.答案：D 5.若a=“向东走 8 km”，b=“向北走 8 km”，则a+b|=_，a+b的方向是_.解析：|a+b|=6464=82（km）.答案：82 km 东北方向 典例剖析【例 1】已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，|ab|=2，则|a+b|等于 A.1 B.2 C.5 D.6 剖析：欲求|a+b|，一是设出a、b的坐标求，二是直接根据向量模计算.解法一：设a=（x1，y1）
8、，b=（x2，y2），则x12+y12=1，x22+y22=4，ab=（x1x2，y1y2），（x1x2）2+（y1y2）2=4.x122x1x2+x22+y122y1y2+y22=4.12x1x22y1y2=0.2x1x2+2y1y2=1.（x1+x2）2+（y1+y2）2=1+4+2x1x2+2y1y2=5+1=6.|a+b|=6.解法二：|a+b|2+|ab|2=2（|a|2+|b|2），|a+b|2=2（|a|2+|b|2）|ab|2=2（1+4）22=6.|a+b|=6.故选 D.深化拓展 此题也可以利用“解斜三角形”的方法进行处理.【例 2】如图，G是ABC的重心，求证：GA+GB
9、+GC=0.剖析：要证GA+GB+GC=0，只需证GA+GB=GC，即只需证GA+GB与GC互为相反的向量.证明：以向量GB、GC为邻边作平行四边形GBEC，则GB+GC=GE=2GD.又由G为ABC的重心知 AG=2GD，从而GA=2GD.GA+GB+GC=2GD+2GD=0.评述：向量的加法可以用几何法进行.正确理解向量的各种运算的几何意义，能进一步加深对“向量”的认识，并能体会用向量处理问题的优越性.深化拓展 此题也可用向量的坐标运算进行证明.【例 3】设OA、OB不共线，点P在AB上，求证：OP=OA+OB且+=1，、R.剖析：点P在AB上，可知AP与AB共线，得AP=tAB.再用以O
10、为起点的向量表示.证明：P在AB上，AP与AB共线.AP=tAB.OPOA=t（OBOA）.OP=OA+tOBtOA=（1t）OA+tOB.设 1t=，t=，则OP=OA+OB且+=1，、R.评述：本例的重点是考查平面向量的基本定理，及对共线向量的理解及应用.深化拓展 本题也可变为OA，OB不共线，若OP=OA+OB，且+=1，R，R，求证：A、B、P三点共线.提示：证明AP与AB共线.当=21时，OP=21（OA+OB），此时P为AB的中点，这是向量的中点公式.【例 4】若a、b是两个不共线的非零向量（tR）.（1）若a与b起点相同，t为何值时，a、tb、31（a+b）三向量的终点在一直线上
11、?（2）若|a|=|b|且a与b夹角为 60，那么t为何值时，|atb|的值最小?解：（1）设atb=ma31（a+b）（mR），化简得（32m1）a=（3mt）b.a与b不共线，.2123030132tmtmm，t=21时，a、tb、31（a+b）的终点在一直线上.（2）|atb|2=（atb）2=|a|2+t2|b|22t|a|b|cos60=（1+t2t）|a|2，t=21时，|atb|有最小值23|a|.评述：用两个向量共线的充要条件，可解决平面几何中的平行问题或共线问题.思考讨论 两个向量共线与两条线段在一条直线上是否一样?闯关训练 夯实基础 1.（2004 年广东，1）已知平面向量
12、a=（3，1），b=（x，3）且ab，则x等于 A.3 B.1 C.1 D.3 解析：由ab，则 3x3=0，x=1.答案：B 2.若a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则有 A.ab且a、b方向相同 B.a=b C.a=b D.以上都不对 解析：a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，ab且方向相同.答案：A 3.在四边形ABCD中，ABDCCB等于 A.AC B.BD C.AD D.AC 解析：ABDCCB=ABDB=AB+BD=AD.答案：C 4.设四边形ABCD中，有DC=21AB且|AD|=|BC|，则这个四边形是 A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
13、 解析：DC=21AB，DCAB，且DCAB.又|AD|=|BC|，四边形为等腰梯形.答案：C 5.l1、l2是不共线向量，且a=l1+3l2，b=4l1+2l2，c=3l1+12l2，若b、c为一组基底，求向量a.解：设a=1b+2c，即l1+3l2=1（4l1+2l2）+2（3l1+12l2），即l1+3l2=（4132）l1+（21+122）l2，.31221342121，解得1=181，2=277，故a=181b+277c.6.设两向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夹角为 60，若向量 2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.解：e1
14、2=4，e22=1，e1e2=21cos60=1，（2te1+7e2）（e1+te2）=2te12+（2t2+7）e1e2+7te22=2t2+15t+7.2t2+15t+70.7t21.设 2te1+7e2=（e1+te2）（0）tt722t2=7t=214，=14.当t=214时，2te1+7e2与e1+te2的夹角为.t的取值范围是（7，214）（214，21）.思考讨论 向量a、b的夹角为钝角，则 cosa，b0，它们互为充要条件吗?培养能力 7.已知向量a=2e13e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共线，向量c=2e19e2.问是否存在这样的实数、，使向量d=a+b与c共线?
15、解：d=（2e13e2）+（2e1+3e2）=（2+2）e1+（3+3）e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d=kc，即（2+2）e1+（3+3）e2=2ke19ke2，由，kk933222得=2.故存在这样的实数、，只要=2，就能使d与c共线.8.如图所示，D、E是ABC中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知BC=a，BD=b，试用a、b分别表示DE、CE和MN.解：由三角形中位线定理，知DE21BC.故DE=21BC，即DE=21a.CE=CB+BD+DE=a+b+21a=21a+b，MN=MD+DB+BN=21ED+DB+21BC=41a+21ab=41ab.探究创新
16、 9.在ABC中，AMAB=13，ANAC=14，BN与CM交于点E，AB=a，AC=b，用a、b表示AE.解：由已知得AM=31AB，AN=41AC.设ME=MC，R，则AE=AM+ME=AM+MC.而MC=ACAM，AE=AM+（ACAM）=31AB+（AC31AB）.AE=（313）AB+AC.同理，设NE=tNB，tR，则AE=AN+NE=41AC+tNB=41AC+t（ABAN）=41AC+t（AB41AC）.AE=（414t）AC+tAB.（313）AB+AC=（414t）AC+tAB.由AB与AC是不共线向量，得，441331tt 解得.113112t，AE=113AB+112A
17、C，即AE=113a+112b.评述：此题所涉及的量较多，且向量与向量之间的关系较为复杂，因此对学生来说确有一定困难.通过共线向量，增加辅助量来理清向量之间关系是“探索”之所在，即对基本定理的深化及应用.思悟小结 1.我们学习的向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.2.共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.3.对于两个向量平行的充要条件：aba=b，只有b0 才是正确的.而当b=0 时，ab是a=b的必要不充分条件.4.向量的坐标表示体现了数形的紧密关系，从
18、而可用“数”来证明“形”的问题.5.培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力.教师下载中心 教学点睛 1.本课复习的重点是：理解向量的基本概念，掌握向量的加法、减法运算，掌握实数与向量的积的运算.2.复习时要构建良好的知识结构.3.向量的加法、减法运算既要注重几何运算，又要注重代数运算.4.强化数学思想的教学，尤其是数形结合思想、化归思想等.拓展题例【例题】对任意非零向量a、b，求证：|a|b|ab|a|+|b|.证明：分三种情况考虑.（1）当a、b共线且方向相同时，|a|b|a+b|=|a|+|b|，|a|b|=|ab|a|+|b|.（2）当a、b共线且方向相反时，ab=a+（b），a+b=a（b），利用（1）的结论有|a|b|a+b|a|+|b|，|a|b|ab|=|a|+|b|.（3）当a，b不共线时，设OA=a，OB=b，作OC=OA+OB=a+b，BA=OAOB=ab，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得|a|b|ab|a|+|b|.综上得证.