《2022年北师版八年级上册《勾股定理》知识总结与练习题 3.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年北师版八年级上册《勾股定理》知识总结与练习题 3.pdf（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、勾股定理1. 知识总结1. 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a， b，斜边为 c ，那么222abc2勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一： 4EFGHSSS正方形正方形 ABCD，2214()2abbac ，化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc
2、,大正方形面积为222()2Sabaabb ，所以222abc方法三：1() ()2Sabab梯形，2112S222ADEABESSabc梯形，化简得证3勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形 ，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。4勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题5勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长a ，b， c 满足2
3、22abc ，那么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边。勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“ 数转化为形 ” 来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22ab 与较长边的平方2c 作比较 : 若它们相等时，以a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形；cbaHGFEDCBAbacbaccabcababccbaEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页若222abc ，时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是钝角三角形；若222abc ，时，以 a
4、 ， b ， c 为三边的三角形是锐角三角形；定理中 a ,b , c 及222abc 只是一种表现形式， 不可认为是唯一的， 如若三角形三边长a ，b ， c 满足222acb ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形6. 勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222abc中， a ，b， c 为正整数时，称a ， b， c 为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13； 7,24,25 等
5、用含字母的代数式表示n组勾股数：221,2 ,1nn n（2,nn为正整数）；2221,22 ,221nnnnn（ n 为正整数）2222,2,mnmn mn （,mnm ， n为正整数）7. 勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解8. 勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形， 在
6、具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论9. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形：ABC30DCBAADBC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页CBDA10. 互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把
7、其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。应用题的常见题型及数量关系：(1)行程问题：路程速度 时间(2)工程问题：工作总量工作效率 工作时间(3)浓度问题：溶质溶液 浓度(4)利率问题：本息和本金利息，利息本金 利率 期数(5)利润问题：利润成本 利润率，利润售价成本(6)价格问题：总价单价 数量(7)水流问题：顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度此外还有：等积变形问题、数字问题、比例问题、调配问题、与几何图形相关的问题、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页勾股定理复习题一、选择题 1 .如图直线
8、l上有三个正方形abc， ，若ac，的面积分别为5 和 11，则b的面积 【】（ A）4 (B) 6 (C) 16 (D) 55 2 已 知 直 角 三 角 形 两 边 的 长 为3和4 ， 则 此 三 角 形 的 周 长 为【】 （A）12 （B）7（C）12 或 77（D）以上都不对 3 若三角形三边长为a、b、c，且满足等式abcba2)(22，则此三角形是（）. （A）锐角三角形（B）钝角三角形（C ）等腰直角三角形（ D）直角三角形 4 直角三角形两直角边分别为5、 12，则这个直角三角形斜边上的高为（）. （A） 6 （B）8.5 （C）1320（D）1360 5 一只蚂蚁沿直角三
9、角形的边长爬行一周需2 秒，如果将直角三角形的边长扩大1 倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需（）. （A） 6秒（B）5 秒（C）4 秒（D）3 秒6 如图 5 所示，在长方形ABCD 中， E、 F分别是 AB 、 BC上的点， 且 BE=12， BF=16 ，则由点 E到 F 的最短距离为（）. （A）20 （B）24 （C）28 （D）32 7 我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图1 所示） ，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是 1，直角三角形的两直角边分别是a、b，那么2)(ba的值为（）. （A）1 （B） 1
10、2 （ C）13 （D）25 8 已知a、b、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100abc，则三角形的形状是【】 （A）底与边不相等的等腰三角形（B）等边三角形（C）钝角三角形（D）直角三角9 如图 2 是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、 D 的边长分别是3、5、2、3，则最大的正方形E 的面积是【】 （ A）13 （B）26 （ C） 47 （D） 94 10已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm2,则斜边长为【】 （A）30cm（B）80cm（C）90cm（D）120cm11 设一个直角三角形的两条直角边长为
11、a、b，斜边上的高为 h ，斜边长为c，则以 c+h ，a+b，h 为边的三角形的形状是（）A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定12. ABC中， AB=15 ，AC=13 。高 AD=12 。则 ABC的周长是（） A. 42 B. 32 C. 42或 32 D. 37或 33 图 1图图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页13、三角形的三边长分别为6,8,10 ，它的最短边上的高为. ( ) A、6 B、4.5 C、2.4 D、8 14、下面几组数: 7,8,9 ； 12,9
12、,15 ； m 2 + n 2, m 2-n 2, 2mn （ m ，n 均为正整数 ,mn） ；,. 其中能组成直角三角形的三边长的是.( ) A、 B、 C、 D、15 三角形的三边为a、b、 c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是 ( ) A、a:b:c=8 1617 B、a2-b 2=c2C、a2=(b+c)(b-c) D、a:b:c =13 512 16、三角形的三边长为, 则这个三角形是( ) A、等边三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、锐角三角形17、已知一直角三角形的三边的平方和为，则斜边长为 ( ) A、 B、 C、 D、18、在 RtABC中， C=90， AC=
13、9，BC=12 ，则点 C到 AB的距离是 ( ) A、 B、 C、 D、19、在中，BC边上的高，则的周长为 ( ) A、42 B、32 C、 42 或 32 D、 37 或 33 20、已知一个直角三角形的两边长分别为3 和 4，则第三边长是 ( ) A、5 B、25 C 、D、5 或21、已知 RtABC中， C=90 ，若 a+b=14cm，c=10cm，则 RtABC的面积是 ( ) A、24cm2 B、36cm2 C 、48cm2 D、60cm 222、 直角三角形中一直角边的长为9， 另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为( ) A、121 B、120 C、90 D、不能确定2
14、3、在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是 ( ) A、a=9 b=41 c=40 B、a=b=5 C=5C、a:b:c=3:4:5 D、a=11 b=12 c=15 24、下列说法正确的有 ( ) ABC是直角三角形，C=90，则 a2+b2=c2. ABC中， a2+b2c2，则 ABC不是直角三角形. ABC中， a2-b 2=c2，则 ABC是直角三角形 . ABC是直角三精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页图 3 角形，则 (a+b)(a-b)=c2. A、4 个B、 3 个 C、2 个D、1 个2
15、5、 已知 RtABC中，C=90，若 a+b=14cm ， c=10cm， 则 RtABC的面积是( ) A 、24cm 2B、36cm2C、48cm2 D、60cm 226、 2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图 ，它是由四个全等的直角三角形与中间的小小正方形拼成的一个大正方形（如图1所示） ，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ( ) A、13 B、19 C、25 D、169 27、如图 2，四边形ABCD 中， AB=3cm ，BC=4cm ，CD=12cm ，DA=13c
16、m ，且 ABC=90 o，则四边形 ABCD的面积是 ( )A、84 B、30 C、36 D、无法确定28、如图 3，已知矩形ABCD 沿着直线BD折叠，使点C 落在 C处， B C 交 AD于 E，AD=8，AB=4 ，则 DE的长为 ( )A、3 B、4 C、5 D、6 29 Rt一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt的周长为（）A、121 B、120 C、 132 D、不能确定30. 如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线 EF折叠，则图中阴影部分的周长为【】A 8 B 4C 8 D 6 二、填空题1. 如图5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半
17、圆的面1S=258，22S，则3S是2国庆期间，小华与同学到“ 花鼓灯嘉年华” 去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A 处图 5 图 1 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页出发先往东走8 千米，又往北走2 千米，遇到障碍后又往西走3 千米，再折向北走到6千米处往东拐， 仅走了 1 千米， 就找到了宝藏， 则门口 A 到藏宝点B 的直线距离是 【】 3.如图2，甲是我国古代著名的“ 赵爽弦图 ” 的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的在RtABC 中，若直角边AC6，BC6，将四个直角三角形中边长为6 的
18、直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“ 数学风车 ” ，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是 _. 4.如图 3，一只蚂蚁从点A 沿圆柱表面爬到点B，如果圆柱的高为8cm，圆柱的底面半径为6cm，那么最短的路线长是. 5如图 5，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面3 米处折断，树的顶端落在离树杆底4 米处，那么这棵树折断之前的高度是米6如图 6，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“ 捷径 ” ，在花铺内走出了一条 “ 路” 他们仅仅少走了步路（假设2 步为 1 米） ，却踩伤了花草7如图以Rt ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为8
19、. 如图，有一圆柱，其高为12cm ，它的底面半径为3cm ，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为_ cm。 （ 取 3）图 1 图 2 AB图 3 图 6 图 8 图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页9 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC沿直线 AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则 CD等于 _ 。10、一株荷叶高出水面1 米，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时荷叶偏离原来的位置有 3 米远，如图4 所示，则荷叶的高
20、度为米. 图 4 图 6 11、将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为 12cm 的圆柱形水杯中（如图5） ，设筷子露在杯子外面的长度是为hcm ，则 h 的取值范围是12、如图 6，圆柱形玻璃容器高20cm，底面圆的周长为48cm，在外侧距下底1cm的点 A 处有一蜘蛛， 与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm的点 B处有一只苍蝇， 则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为13、 小刚准备测量河水的深度, 他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底 , 竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐, 河水的深度为14、如图，已知在RtABC中，RtACB
21、，4AB，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为1S，2S，则1S+2S的值等于15.图甲是我国古代著名的“ 赵爽弦图 ” 的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在 RtABC 中， 若直角边 AC=6 ，BC=6 ，将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的 “ 数学风车 ” ，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是_。16、如图，已知RtABC 中， C=90 ，AC=4cm ，BC=3cm ，现将 ABC 进行折叠，使顶点A、B 重合，则折痕DE=_cm 17、如图，长方体的长为15，宽为 10，高为 20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方
22、体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是18、如图所示的圆柱体中底面圆的半径是2，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是（结果保留根号）. 图 5 5 211C A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页19 如图 7，已知在RtABC中，RtACB，4AB，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为1S，2S，则1S+2S的值等于20 如图 8，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现直角边沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD
23、的长为21在一棵树的10 米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20 米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_米。解答题1、已知直角三角形的周长是，斜边长2，求它的面积2、如图， 一个牧童在小河的南4km的 A处牧马， 而他正位于他的小屋B的西 8km北 7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家. 他要完成这件事情所走的最短路程是多少？3、如图长方形纸片ABCD 中，已知AD=8 ，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点 F处，折痕为AE ，且 EF=3求 AB的长 . A B 小河东北牧童小屋D B C
24、A 第 20 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页4. 如图 11，这是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m ，点 E在 CD上，CE=2m ，一滑行爱好者从A点到 E点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数）6 如图 13，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇， 且 QPN=300，点 A 处有一所中学， AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100 米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否回受到噪声的影响？说明理由如果受影响，已知拖拉机的速度为 18 千米 /时，那么学校受影响的时间为多少秒？图 13 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页