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1、 勾股定理 1.知识总结 1.勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222abc 2勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGHSSS正方形正方形ABCD，2214()2abbac，化简可证 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sab
2、cabc,大正方形面积为222()2Sabaabb，所以222abc 方法三：1()()2Sabab 梯形，2112S222ADEABESSabc 梯形，化简得证 3勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直 角三角形。4勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC中，90C ，则22cab，22bca，22acb 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 可运用勾股定理解决一些实际问题 5勾股定理的逆定理 内容：如果三角形三边长a，b，c满足222abc，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。6.勾股数 常见：3 4 5；
3、5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；16 30 34；16 63 65；18 24 30；18 80 82；20 21 29；25 60 65 cbaHGFEDCBAbacbaccabcababccbaEDCBA7.勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各
4、是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解 8.勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论 9.勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决 常见图形：ABC30DCBAADBCC
5、BDA 10.互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。应用题的常见题型及数量关系：(1)行程问题：路程速度 时间 (2)工程问题：工作总量工作效率 工作时间 (3)浓度问题：溶质溶液 浓度 (4)利率问题：本息和本金利息，利息本金 利率 期数 (5)利润问题：利润成本 利润率，利润售价成本 (6)价格问题：总价单价 数量 (7)水流问题：顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度 此外还有：等积变形问题、数字问题、比例问题、调配问题、与几何图形相关的问题、边分别为斜边为那么勾股
6、定理的证明勾股定理的证明方法很多常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后只要没有重叠没有空隙面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法列出等式推导出方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为所以方法三勾股定理的适用范围梯形梯形化简得证勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系它只适用于直角三角形勾股定理的应用已知直角三问题勾股定理的逆定理内容如果三角形三边长满足勾股数常见那么这个三角形是直角三角形其中为斜边勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定A B C FE
7、DCBA第 8 题 CBA 2.练习题 一.选择题 1已知一个 Rt的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（）A、25 B、14 C、7 D、7 或 25 2等腰ABC 的底边 BC 为 16，底边上的高 AD 为 6，则腰长 AB 的长为（）A10 B.12 C.15 D.20 3下列说法正确的是（）A若 a、b、c 是ABC 的三边，则 a2b2c2 B若 a、b、c 是 RtABC 的三边，则 a2b2c2 C若 a、b、c 是 RtABC 的三边，90 A，则 a2b2c2 D若 a、b、c 是 RtABC 的三边，90 C，则 a2b2c2 4如图，正方形网格中，每个小正方形
8、的边长为 1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）A 0 B 1 C 2 D 3 5把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2 倍，则斜边扩大到原来的（）A 2 倍 B 4 倍 C 6 倍 D 8 倍 6如图，将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度 hcm，则 h 的取值范围是（）A、h17cm B、h8cm C、15cm h16cm D、7cm h16cm 7如图，直线l上有三个正方形abc，若ac，的面积分别为 5 和 11，则b的面积为（）A.4 B.6 C.16 D.55 8 如图，将一个边长分别为 4、
9、8 的长方形纸片 ABCD 折叠，使 C 点与 A点重合，则 EB 的长是（）A3 B4 C5 D5 9如图，每个小正方形的边长为 1，A、B、C 是小正方形的顶点，则ABC 的度数为（）A90 B60 C45 D30 10ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知C=90，AC=30 米，AB=50 米，如果要a b c l 第 7 题 边分别为斜边为那么勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后只要没有重叠没有空隙面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法列出等式推导出方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的
10、和为大正方形面积为所以方法三勾股定理的适用范围梯形梯形化简得证勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系它只适用于直角三角形勾股定理的应用已知直角三问题勾股定理的逆定理内容如果三角形三边长满足勾股数常见那么这个三角形是直角三角形其中为斜边勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定B A 6cm 3cm 1cm 第 7 题图 在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮元计算，那么共需要资金（）.A.50 元 B.600 元 C.1200 元 D.1500 元 二.填空题 1在ABC 中，ABAC13，BC10，D 是 AB
11、的中点，过点 D 作 DEAC 于点 E，则 DE 的长是_ 2如图，小明在 A 时测得某树的影长为 2m，B 时又测得该树的影长为 8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_m.3如图，ABC 中，C=90，点 O 为ABC 的三条角平分线的交点，ODBC，OEAC，OFAB，点 D、E、F 分别是垂足，且 BC=8cm，CA=6cm，则点 O 到三边 AB，AC 和 BC 的距离分别等于 cm.4已知ABC 的三边长满足18,10abba，8c，则为 三角形.5 已知2512yxx与25102 zz互为 相反数，则 以zyx、为三边的三 角形 是 三角形.6如图，以 RtABC 的三边
12、为边向外作正方形，其面积分别为 S1、S2、S3，且 S1=4，S2=8，则 AB 的长为_.7如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm 如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要_cm；如果从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕 3 圈到达点 B，那么所用细线最短需要_cm 8如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”他们仅仅少走了 步路（假设 2 步为 1 米），却踩伤了花草 三.解答题 1如图，四边形 ABCD 中，ACB=90O,CDAB 于点 D，若 AD=8,BD=2，求 CD
13、的长度。A B C D E（第 1 题）第 2 题图 A 时 B 时 C O A B D E F 第 3 题图“路”4m3m第8题图 CBDA边分别为斜边为那么勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后只要没有重叠没有空隙面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法列出等式推导出方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为所以方法三勾股定理的适用范围梯形梯形化简得证勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系它只适用于直角三角形勾股定理的应用已知直角三问题勾股定理的逆定理内容如果三角形三边长满足勾股数常见
14、那么这个三角形是直角三角形其中为斜边勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定 2.已知：如图，在ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD2=AD BD.求证：ABC 是直角三角形.3.如果 AB C 的三边分别为 a、b、c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断 ABC的形状.4如图，P 是等边三角形ABC内的一点，连结 PA、PB、PC，以BP 为边作60 PBQ，且 BQ=BP，连结 CQ、PQ，若 PA:PB:PC=3:4:5,试 判 断PQC的形状。5 已知：正方形 ABCD 的边长为 1
15、，正方形 ABCD 的边长为 1，正方形 EFGH 内接于 ABCD，AE=a,AF=b,且32EFGHS正方形.求ab的值。6如图，ABC 中，AB=10,BC=9,AC=17，求ABC 的面积。7如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABAC，B45,AD1，BC4，求 DC 的长 8已知ABC中，13AB cm，10BC cm，BC边上的中线12AD cm，求证：ABAC QPCBACBAHGFEDCBAB A D 边分别为斜边为那么勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后只要没有重叠没有空隙面积不会改变根据同一种图形的面积
16、不同的表示方法列出等式推导出方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为所以方法三勾股定理的适用范围梯形梯形化简得证勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系它只适用于直角三角形勾股定理的应用已知直角三问题勾股定理的逆定理内容如果三角形三边长满足勾股数常见那么这个三角形是直角三角形其中为斜边勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定图 18.2-3 A D E B C 9如图所示，在四边形 ABCD 中，A=60，B=D=90，BC=2，CD=3，求 AB 的长.10 如图，铁路上 A，B 两点相
17、距 25km，C，D 为两村庄，DAAB 于 A，CBAB 于 B，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E，使得 C，D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站应建在离 A 站多少 km 处？11“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里，它们离开港口一个半小时后相距 30 海里 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？12台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城
18、市 A 的正南方向 220 千米 B 处有一台风中心，其中心最大风力为 12 级，每远离台风中心 20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以 15 千米/时的速度沿北偏东 30 方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？第 9 题图 边分别为斜边为那么勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后只要没有重叠没有空隙面积不会改变根据同一种图形的
19、面积不同的表示方法列出等式推导出方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为所以方法三勾股定理的适用范围梯形梯形化简得证勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系它只适用于直角三角形勾股定理的应用已知直角三问题勾股定理的逆定理内容如果三角形三边长满足勾股数常见那么这个三角形是直角三角形其中为斜边勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定 13.一个零件的形状如图，按规定这个零件中A 与BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12,BC=13，这个零件符合要
20、求吗？14如图，正方形 ABCD，E 为 BC 中点，F 为 AB 上一点，且 BF=AB.请问FE 与 DE 是否垂直?请说明。15如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米？（先画出示意图，然后再求解）边分别为斜边为那么勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后只要没有重叠没有空隙面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法列出等式推导出方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为所以方法三勾股定理的适用范围梯形梯形化简得证勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系它只适用于直角三角形勾股定理的应用已知直角三问题勾股定理的逆定理内容如果三角形三边长满足勾股数常见那么这个三角形是直角三角形其中为斜边勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定