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1、概率论与数理统计- 1 - 第 1 章随机事件及其概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB) 0 时， P(A+B)=P(A)+P(B) 减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 BA时， P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=时， P(B)=1- P(B) 乘法公式乘法公式：)/()()(ABPAPABP更一般地，对事件A1，A2， An，若 P(A1A2An-1)0，则有21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP21|(AAAPn)1nA。独立性两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP，则称事件A、B是相互独立
2、的。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP多个事件的独立性设 ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ；P(BC)=P(B)P(C) ； P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C ）全概公式)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。贝 叶 斯 公式njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1 ，2， n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP， （1i，2，n） ，通常叫先验概率。)/(ABPi，
3、 （1i，2，n） ，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。第二章随机变量及其分布连 续 型随 机 变量 的 分布密度设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x，有xdxxfxF)()(，则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面性质：0)(xf。1)(dxxf离 散 与连 续 型随 机 变量 的 关系dxxfdxxXxPxXP)()()(。积分元dxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。精选学习资料 - - -
4、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页概率论与数理统计- 2 - （ 5） 八大分布0-1 分布P(X=1)=p, P(X=0)=q 二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为n,2 ,1 , 0。knkknnqpCkPkXP)()(，其中nkppq,2, 1 ,0, 10,1，则 称 随 机 变 量X服 从 参 数 为n，p的 二 项 分 布 。 记 为),(pnBX。当1n时，kkqpkXP1)(，1.0k，这就是（ 0-1 ）分布，所以（0-1 ）分布是二项分布的特例。泊松分布
5、设随机变量X的分布律为ekkXPk!)(，0，2,1 ,0k，则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为)(X或者 P() 。超几何分布),min(,2, 1 ,0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM?随机变量 X服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为H(n,N,M) 。几何分布,3 ,2, 1,)(1kpqkXPk，其中 p0，q=1-p 。随机变量 X服从参数为p 的几何分布，记为G(p) 。均匀分布设随机变量X的值只落在 a ，b 内，其密度函数)(xf在a ，b上为常数ab1，即,0,1)(abxf其他设X为随机变量，x是任意实数，则函数)()(xXPxF称为随机变量X的分布函
6、数，本质上是一个累积函数。)()()(aFbFbXaP可以得到X落入区间,(ba的概率。分布函数)(xF表示随机变量落入区间（， x 内的概率。1. , 1)(0 xFx； 2。)(xF是单调不减的函数，即21xx时，有)(1xF)(2xF； 3 。0)(lim)(xFFx，1)(lim)(xFFx； 4 。)()0(xFxF，即)(xF是右连续的；5. )0()()(xFxFxXP。对于离散型随机变量，xxkkpxF)(；对于连续型随机变量，。xdxxfxF)()(axb当 ax1x2b 时，X落在区间（21,xx）内的概率为abxxxXxP1221)(精选学习资料 - - - - - -
7、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页概率论与数理统计- 3 - 指数分布其中0，则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为正态分布设随机变量X的密度函数为其中、0为常数，则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为),(2NX。)(xf具有如下性质：1 )(xf的图形是关于x对称的；2 当x时，21)(f为最大值；若),(2NX，则X的分布函数为)(x是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x) 1- (x) 且 (0) 21。如果X),(2N，则。函 数 分布离散型已知X的分布列为,)(2121nnipppxxx
8、xXPX，)(XgY的分布列（)(iixgy互不相等）如下：,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgyYPY，若有某些)(ixg相等，则应将对应的ip相加作为)(ixg的概率。)(xf,xe0 x, 0, 0 x, )(xF,1xe0 x, ,0 x0。记住积分公式!0ndxexxn222)(21)(xexfdtexFxt222)(21)(X)1 ,0( N1221)(xxxXxP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页概率论与数理统计- 4 - 连续型先利用 X 的概率密度fX(x) 写出 Y 的分布
9、函数FY(y) P(g(X) y) ，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y) 。第三章二维随机变量及其分布连续型对 于 二 维 随 机 向 量),(YX， 如 果 存 在 非 负 函 数),)(,(yxyxf，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D=(X,Y)|axb,cy2) 二 维随 机变量期望?niiipxXE1)(?njjjpyYE1)(dxxxfXEX)()(dyyyfYEY)()(函数的期望),(YXGEijijjipyxG),(),(YXGEdxdyyxfyxG),(),(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
10、第 7 页，共 10 页概率论与数理统计- 8 - 数 字特征方差?iiipXExXD2)()(?jjjpYExYD2)()(dxxfXExXDX)()()(2dyyfYEyYDY)()()(2协方差对于随机变量X与 Y，称它们的二阶混合中心矩11为 X与 Y的协方差或相关矩，记为),cov(YXXY或，即).()(11YEYXEXEXY与记号XY相对应， X与 Y的方差 D （X）与 D （Y）也可分别记为XX与YY。相关系数对于随机变量X与 Y，如果 D（X）0, D(Y)0 ，则称)()(YDXDXY为 X与 Y的相关系数，记作XY（有时可简记为） 。| 1，当 |=1 时，称 X与 Y
11、完全相关：1)(baYXP完全相关，时负相关，当，时正相关，当)0(1)0(1aa而当0时，称 X与 Y不相关。 以下五个命题是等价的：0XY；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).协 方差 的性质(i)cov (X, Y)=cov (Y, X); (ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); (iii)cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); (iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).独 立和 不相关若随机变量X与 Y相互独立，则0XY；反之不真。精选学习资料
12、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页概率论与数理统计- 9 - （2）中心极限定理),(2nNX列维林德伯格定理设随机变量X1，X2，相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：),2, 1(0)(,)(2kXDXEkk，则随机变量nnXYnkkn1的分布函数Fn(x) 对任意的实数x，有xtnkknnndtexnnXPxF.21lim)(lim212此定理也称为 独立同分布 的中心极限定理。棣莫弗拉普拉斯定理设随机变量nX为具有参数n, p(0p1)的二项分布，则对于任意实数x, 有xtnndtexpnpnpXP.21
13、)1 (lim22第六章样本及抽样分布常见统计量及其性质样本均值.11niixnx样本方差niixxnS122.)(11样本标准差.)(1112niixxnS样本 k 阶原点矩样本 k 阶中心矩)(XE，nXD2)(，其中niiXXnS122)(1*，为二阶中心矩22)(SE221)*(nnSE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页概率论与数理统计- 10 - （ 2）正 态总 体 下 的四大分布正态分布设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数t 分布设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个
14、样本，则样本函数),1(/ntnsxtdef分布2设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则),1()1(222nSnwdefF 分布设nxxx,21为来自正态总体),(21N的一个样本，而nyyy,21为来自正态总体),(22N的一个样本，则样本函数),1, 1(/2122222121nnFSSFdef其中,)(11211211niixxnS;)(11212222niiyynS) 1, 1(21nnF表示自由度为11n，).1,0(/Nnxudef其中t(n-1)表示自由度为n-1 的 t 分布。表示自由度为n-1 的分布2分当总体 X 为连续型随机变量时，设其分布密度为),;(
15、21mxf，其中为未知参数。又设nxxx,21为总体的一个样本，称为样本的似然函数，简记为Ln. 当 总 体X为 离型 随 机变 量 时 ， 设其 分 布 律为),;(21mxpxXP， 则),;(),;,(1111222nimimnxpxxxL为样本的似然函数。若似然函数),;,(2211mnxxxL在m,21处取到最大值， 则称m,21分别为m,21的 最 大 似 然 估 计 值 ， 相 应 的 统 计 量 称 为 最 大 似 然 估 计 量 。miLiiin,2, 1,0ln若为的极大似然估.),;(),(11122nimimxfL精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页