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1、第 1 章 随机大事及其概率PA+B=PA+PB-PAB加法公式当 PAB 0 时, PA+B=PA+PBPA-B=PA-PAB减法公式当 BA 时, PA-B=PA-PB当 A=时, P B =1- PB乘法公式： P ABP A PB / A乘法公式更一般地,对大事A1 ,A2 , An,如 PA1A2 An-10,就有P A1A2 AnP A1P A2 | A1 P A3 | A1 A2 P An | A1 A2 An1 ；两个大事的独立性设大事A 、 B 满意 P AB P A P B ,就称大事A 、 B 是相互独立的；如大事 A 、 B 相互独立,且P A0 ,就有P B | A独
2、立性P ABP AP AP BP AP B多个大事的独立性设 ABC是三个大事,假如满意两两独立的条件,PAB=PAPB；PBC=PBPC； PCA=PCPA并且同时满意 PABC=PAPBPC）全概公式P AP B1 P A | B1P B 2 P A | B2PBn P A | Bn ；P Bi / AP Bi P A /nBi , i=1, 2, n；贝 叶 斯 公式PB j P A / B j j 1此公式即为贝叶斯公式；P Bi ,（ i1 , 2 , n ）,通常叫先验概率；PBi/ A ,（ i1 ,2 ,n ）,通常称为后验概率；贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由
3、果朔因”的推断；其次章随机变量及其分布连 续 型随 机 变设 F x 是随机变量 X 的分布函数,如存在非负函数xf x,对任意实数 x ,有量 的 分F xf xdx,就称 X 为连续型随机变量；f x称为 X 的概率密度0；布密度函数或密度函数,简称概率密度；密度函数具有下面性质：f xf xdx1离 散 与连 续 型P XxP xXxdxf x dx ；积分元f x dx 在连续型随机变量理论随 机 变量 的 关系中所起的作用与P Xxk pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似；0-1 分布为随机变量,是任意实数,就函数设 XxPX=1=p, PX=0=qP Xx 称为随机变量X
4、的分布函数,F x本质上是一个累积函数；PaX bF bF a可以得到 X 落入区间a,b 的概率；分布函数F x 表示随机变量落入区间（,x 内的概率；1.0F x1,x； 2 ；F x 是单调不减的函数,即x1x2 时,有F x1F x2； 3 ； F limxF x0 , F limxF x1 ； 4 ；F x0F x ,即F x 是右连续的； 5.P XxF xF x0) ；对于离散型随机变量,F xpkxkx；对于连续型随机变量,； F x xf x dx在 n 重贝努里试验中,设大事A 发生的概率为 p ；大事 A 发生的次数是随机变量,设为X ,就 X 可能取值为 0,1,2,n
5、 ；PXkPn kCp qkkn kn,其中q1p,0p1, k0,1,2, n ,就 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 n , p 的 二 项 分 布 ； 记 为（ 5 ） 八大分布X Bn, p ；当 n1时, P Xkp k q1 k , k0.1 ,这二项分布就是（ 0-1）分布,所以（ 0-1）分布是二项分布的特例；设随机变量 X 的分布律为kPXke0 , k泊松分布k.,0,1,2,就称随机变量 X 听从参数为的泊松分布,记为X 或者 P；PXkCkM. CCNnNkMk0,1,2,ln,超几何分布lminM , n随机变量 X 听从参数为 n,N,M 的超几何分布,记
6、为Hn,N,M ；PXkq k 1 p,k1,2,3,其中 p 0, q=1-p；几何分布随机变量 X 听从参数为 p 的几何分布,记为Gp；设随机变量X 的值只落在 a, b 内,其密度函数f x 在a, b上为常数1,即ba当 ax1 x2 b 时,X 落在区间（ x1 , x2 ）内的概率为匀称分布1f xb0,a,a x b其他Px1Xx 2x2x1baex ,x0,f x0,x0,其中0 ,就称随机变量X 听从参数为的指数分布；指数分布X 的分布函数为1ex ,记住积分公式x0,F x0,xxnedxxn.00；设随机变量 X 的密度函数为f x12e x222其中、0 为常数,就称
7、随机变量X 听从参数为、的2正态分布正态分布或高斯（Gauss）分布,记为X N , ；f x 具有如下性质：1f x 的图形是关于x对称的；2 当 x时,f 12为最大值；如 X N ,2 ,就 X 的分布函数为F x12xet2 22dtx 是不行求积函数,其函数值,已编制成表可供查用；X N 0,1-x1- x且 0 2 ；假如1X N ,2 ,就P xx 21Xxx 12；已知 X 的分布列为函 数 分布X P Xxi x1,p1,x2,p 2,xn,pn,离散型Yg X 的分布列（yig xi 互不相等）如下：YPYyi g x1,p1,g x2 ,p 2,g xn,pn,如有某些g
8、 xi 相等,就应将对应的pi 相加作为g xi 的概率；连续型先利用 X 的概率密度 f Xx写出 Y 的分布函数FYyPgX y, 再利用变上下限积分的求导公式求出f Yy；第三章二维随机变量及其分布对 于 二 维 随 机 向 量 X , Y , 如 果 存 在 非 负 函 数f x,yx,y ,使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即 D=X,Y|axb,cy2n2E X nxi pi .i 1E X xf X x dxEY期望ny j p. jj 1EYyf Y ydy二 维E G X , Y 随 机变量Gxi , y j pijE G X , Y 函数的期望ijG x, y
9、) fx, y dxdyD X xiiE X 2pi.D X xE X 2f X xdxDY方差 x jjEY 2p. jD Y yEY 2f Y ydy对于随机变量 X 与 Y,称它们的二阶混合中心矩11 为 X 与 Y 的协方差或相关矩,记为XY 或cov X , Y ,即XY11E XE X YEY.协方差与记号XY 相对应, X 与 Y 的方差 D（ X）与 D（Y）也可分别记为XX与 YY ；对于随机变量X 与 Y,假如 D（X）0, DY0,就称数 字特点XY为 X 与 Y 的相关系数,记作XY （有时可简记为）；D X DY | 1,当 |=1 时,称 X 与 Y 完全相关：P
10、XaYb1完全相关系数正相关,当相关负相关,当1时a1时a0,0,而当0 时,称 X 与 Y 不相关； 以下五个命题是等价的： XY0 ；covX,Y=0;EXY=EXEY;DX+Y=DX+DY;DX-Y=DX+DY.协 方icov X, Y=cov Y, X;差 的性质iicovaX,bY=ab covX,Y;(iii) covX1+X2, Y=covX1,Y+covX2,Y;(iv) covX,Y=EXY-EXEY.XY独 立如随机变量 X 与 Y 相互独立,就和 不相关0 ；反之不真；设随机变量X1, X2,相互独立,听从同一分布,且具有相同的数学期望和方差：E X k , D X k
11、20k1,2, ,就随机变量列维林德伯n格定理X knYk 1nn的分布函数Fnx对任意的实数x,有n（2）中心极限定理X knlim F xlim Pk 1nnnxn12t 2xe 2 dt.2XN ,n此定理也称为 独立同分布 的中心极限定理；棣莫弗拉普拉斯定理设随机变量X n 为具有参数n, p0p1的二项分布,就对于任意实数 x,有t2lim PX nnpnxnp1p12xe 2 dt .第六章 样本及抽样分布样本均值1nxn i 1xi .样本方差S 212n1n2 xix .i1样本标准差S1nn1 i1 x ix .样本 k 阶原点矩常见统计量及其性质样本 k 阶中心矩2E S2
12、 2E X , D X ,nE S * 2 n122n其中 S * 21 nn i 1 X iX ,为二阶中心矩设 x1, x2 , xn 为来自正态总体N ,2 的一个样本,就样正态分布本函数defuxN/n 0 ,1 .t 分布设x1, x2 , xn 为来自正态总体N ,2 的一个样本,就样本函数defxts / t nn1,其中 tn-1 表示自由度为 n-1的 t 分布；（ 2 ）正态总 体 下 的2 分布设 x1, x2 , xn 为来自正态总体N ,2 的一个样本,就四大分布def nw1 S 222 n1,2表示自由度分布为 n-1 的分布设 x , x ,12, xn为来自正
13、态总体N ,21 的一个样本,而y , y ,12, y 为来自正态总体nN ,22 的一个样本,就样本函数defFS21S2/2122 F n11, n21, 其中2F 分布S21n1n 21n11 i xix 2 ,S212 yy 2 ;1n21 ii1F n11, n21 表示自由度为 n11,当总体 X 为连续型随机变量时,设其分布密度为f x; 1 ,2 ,m ,其中为未知参数；又设x1 , x 2 , xn 为总体的一个样本,称nL 1 ,2 , m f xi ; 1 ,2 , m i 1为样本的似然函数,简记为Ln.当 总 体 X 为 离 型 随 机 变 量 时 , 设 其 分 布 律 为 P Xxp x;1 ,2 ,m , 就nLx1, x2 , xn ;1,2 ,m pxi ;1 ,2 ,m 为样本的似然函数； 如似然函数i 1Lx1, x2 , xn;1,2 ,m 在 1 ,2 ,m 处取到最大值, 就称 1 ,2 ,m 分别为1 ,2 ,m的 最 大 似 然 估 计 值 , 相 应 的 统 计 量 称 为 最 大 似 然 估 计 量 ；ln Ln0,i1,2, m 如为 的极大似然估 .iii