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1、第15讲曲线的切线1.(2019盐城期中,7)在平面直角坐标系中,曲线y=ex+2x+1在x=0处的切线方程是.2.(2019如皋期中,6)设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1)处的切线斜率为2,则实数a的值为.3.(2019南京六校联合体联考,8)设直线l是曲线y=2x2+ln x的切线,则直线l的斜率的最小值是.4.(2018江苏南京模拟)如图,直线l经过点(0,1),且与曲线y=f(x)相切于点(a,3),若f (a)=23,则实数a的值是.5.在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+bx(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3
2、=0平行,则a+b的值是.6.(2019苏州期末,8)曲线y=x+2ex在x=0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为.7.(2018苏北四市第一次调研)在平面直角坐标系xOy中,曲线C:xy=3上的点P到直线l:x+3y=0的距离的最小值为.8.(2019苏锡常镇四市教学情况调查(二),12)已知点P在曲线C:y=12x2上,曲线C在点P处的切线为l,过点P且与直线l垂直的直线与曲线C的另一个交点为Q,O为坐标原点,若OPOQ,则点P的纵坐标为.9.(2018江苏泰州中学高三月考)若曲线y=12ex2与曲线y=aln x在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,则实数a的值为.10.(2019
3、扬州中学检测,11)已知函数f(x)=x2-4,x0,ex-5,x0.若关于x的方程|f(x)|-ax-5=0恰有三个不同的实数解,则满足条件的所有实数a的取值集合为.11.(2018江苏丹阳高级中学高三上学期期中考试)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1, f(x1)处的切线与该曲线交于另一点Q(x2, f(x2),记f (x)为函数f(x)的导函数,则 f (x1)f (x2)的值为.12.(2018江苏泰兴阶段检测)已知直线x=x0与曲线C1:y=(ax-1)ex和曲线C2:y=(1-x)e-x分别相交于点A和B,且曲线C1在点A处的切线为l1,曲线C2在点B处的切线为
4、l2.若存在x00,32,使得l1l2,求实数a的取值范围.答案精解精析1.答案y=3x+2解析y=ex+2,则k=3,切点为(0,2),故切线方程为y-2=3x,即y=3x+2.2.答案3解析函数f(x)=ax-ln x,则f (x)=a-1x,所以切线的斜率为k=f (1)=a-1=2,解得a=3.3.答案4解析y=2x2+ln x的定义域为(0,+),y=4x+1x24x1x=4,当且仅当x=12时取等号.直线l的斜率的最小值是4.4.答案3解析由题意知,(a,3)为切点,所以该切线的斜率为f (a)=23,又k=3-1a=23,得a=3.5.答案-3解析由曲线y=ax2+bx过点P(2
5、,-5)可得-5=4a+b2,又y=2ax-bx2,所以在点P处的切线斜率4a-b4=-72,联立解得a=-1,b=-2,所以a+b=-3.6.答案23解析切点为(0,2),求导得y=1+2ex,切线的斜率为k=3.切线方程为y=3x+2,求得切线与两坐标轴交点坐标分别为(0,2),-23,0,所以围成的三角形面积S=12223=23.7.答案3解析由y=3x,得y=-3x2,令-3x2=-13,则x=3,则点P(3,1)或(-3,-1)到直线l:x+3y=0的距离最小,最小值为3.8.答案1解析设Pt,t22,t0.对y=12x2求导得y=x,则切线l的斜率k=t,则与切线垂直的直线PQ的斜
6、率为-1t.则PQ:y-t22=-1t(x-t),与曲线方程联立解得Q-t-2t,12t+2t2.因为OPOQ,所以OPOQ=0,即t-t-2t+t2212t+2t2=0,整理得t44=1,解得t2=2,故P的纵坐标为1.9.答案1解析由题意可得12es2=alns,1es=as,解得s=e,a=1.10.答案-e,-5ln5,2,52解析令f(x)=0,得x=-2或x=ln 5,f(x)在(-,0上单调递减,在(0,+)上单调递增,|f(x)|=x2-4,x-2,4-x2,-2x0,5-ex,0ln5,作出y=|f(x)|的函数图象如图所示:关于x的方程|f(x)|-ax-5=0恰有三个不同
7、的实数解,直线y=ax+5与y=|f(x)|的图象有3个交点,直线y=ax+5过点(-2,0)或过点(ln 5,0)或直线y=ax+5与y=|f(x)|的图象相切.(1)若直线y=ax+5过点(-2,0),则a=52;(2)若直线y=ax+5过点(ln 5,0),则a=-5ln5;(3)若直线y=ax+5与y=|f(x)|在(-2,0上的图象相切,设切点为(x0,y0),则-2x0=a,y0=ax0+5,y0=4-x02,解得a=2;(4)若直线y=ax+5与y=|f(x)|在(0,ln 5上的图象相切,设切点为(x1,y1),则-ex1=a,y1=ax1+5,y1=5-ex1,解得a=-e.
8、a的取值集合为-e,-5ln5,2,52.11.答案14解析曲线y=f(x)在点P(x1, f(x1)处的切线方程为y-x13=3x12(x-x1),与y=x3联立得x3-3x12x+2x13=(x-x1)2(x+2x1)=0,x2=-2x1,则f (x2)=3x22=12x12,则f (x1)f (x2)=3x123x22=3x1212x12=14.12.解析因为函数y=(ax-1)ex的导函数为y=(ax+a-1)ex,函数y=(1-x)e-x的导函数为y=(x-2)e-x,所以切线l1,l2的斜率分别是k1=(ax0+a-1)ex0和k2=(x0-2)e-x0. 又由l1l2得k1k2=(ax0+a-1)(x0-2)ex0e-x0=(ax0+a-1)(x0-2)=-1,所以(ax0+a-1)(x0-2)=-1,x00,32有解,即a=x0-3(x0-2)(x0+1),x00,32有解,令x0-3=t,t-3,-32,则a=t(t+1)(t+4)=1t+4t+5,t-3,-32,因为t+4t-133,-4,所以a1,32.