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1、第11讲圆锥曲线的基本问题1.(2019南京、盐城期末,6)若双曲线x22-y2m=1的离心率为2,则实数m的值为.2.(2019泰州期末,8)若抛物线y2=2px(p0)的准线与双曲线x2-y2=1的一条准线重合,则p=.3.(2019扬州期末,9)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为x-2y=0,则该双曲线的离心率为.4.(2019无锡期末,8)以双曲线x25-y24=1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是.5.(2019南通期末,7)已知经过双曲线x216-y28=1的一个焦点,且垂直于实轴的直线l与双曲线交于A,B两点,则线段AB的长为.6.(2019南通通州
2、、海门联考,9)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A,上顶点为B,AB=13,且椭圆的离心率为53,则过椭圆C的右焦点F2且与直线AB平行的直线l的方程为.7.(2018高考数学模拟(1)若双曲线x2a-y23=1的焦距等于4,则它的两准线之间的距离等于.8.(2018高考数学模拟(2)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2-y23=1的左准线为l,则以l为准线的抛物线的标准方程是.9.(2018徐州铜山高三第三次模拟)若直线y=x+2与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线平行,则双曲线的离心率为.10.(2019苏中、苏北七大市一模,17)如图,在平面直角坐
3、标系xOy中,椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,上顶点为B.(1)已知椭圆的离心率为12,线段AF中点的横坐标为22,求椭圆的标准方程;(2)已知ABF外接圆的圆心C在直线y=-x上,求椭圆的离心率e的值.11.(2017江苏海门检测)如图,F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,A是椭圆C的上顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,F1AF2=60.(1)求椭圆C的离心率;(2)已知AF1B的面积为403,求a,b的值.答案精解精析1.答案6解析因为a2=2,b2=m,e=ca=2,所以c2=(2a)2=4a2=8=a2+b2=2+
4、m,所以m=6.2.答案2解析双曲线中,c=2,所以双曲线的准线为x=12=22,抛物线的开口向右,准线为x=-p2,所以-p2=-22,解得p=2.3.答案52解析双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线为y=bax,所以ba=12,离心率e=ca=a2+b2a=1+ba2=52.4.答案y2=12x解析双曲线中,c=5+4=3,所以右焦点为F(3,0),抛物线的焦点也为(3,0),所以p2=3,所以p=6,所以抛物线的标准方程为y2=12x.5.答案4解析a=4,b=22,c=a2+b2=26,由对称性,不妨取直线l:x=26,代入双曲线的方程可得2416-y28=1,解得y=2,|AB|=4
5、.6.答案2x-3y-25=0解析由题意得a2+b2=13,ca=53,a2-b2=c2,a=3,b=2,c=5,椭圆的右焦点坐标为(5,0).由题意得直线AB的斜率为23,直线l的方程为2x-3y-25=0.7.答案1解析双曲线x2a-y23=1的焦距等于4,则2c=4,c=2.所以a=4-3=1.故它的两准线之间的距离等于2122=1.8.答案y2=2x解析在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2-y23=1的左准线为l:x=-12,则以l为准线的抛物线的标准方程是y2=2x.9.答案2解析由直线y=x+2与双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线平行,得ba=1,故双曲线的离心率e=ca=1
6、+ba2=2.10.解析(1)因为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,所以ca=12,则a=2c.因为线段AF中点的横坐标为22,所以a-c2=22,所以c=2,则a2=8,b2=a2-c2=6.所以椭圆的标准方程为x28+y26=1.(2)因为A(a,0),F(-c,0),所以线段AF的中垂线方程为x=a-c2.又因为ABF外接圆的圆心C在直线y=-x上,所以Ca-c2,-a-c2.因为A(a,0),B(0,b),所以线段AB的中垂线方程为y-b2=abx-a2.由圆心C在线段AB的中垂线上,得-a-c2-b2=aba-c2-a2,整理得b(a-c)+b2=ac,即(b-c)(a+b)=0.因为a+b0,所以b=c.所以椭圆的离心率e=ca=cb2+c2=22.11.解析(1)由题意可知,AF1F2为等边三角形,所以a=2c.所以e=12.(2)设AB=t.因为AF2=a,所以BF2=t-a.由椭圆定义,得BF1+BF2=2a,可知BF1=3a-t.在AF1B中,由余弦定理,可得(3a-t)2=a2+t2-2atcos 60,所以t=85a,即AB=85a,由SAF1B=12a85a32=235a2=403,得a=10.所以b=53.