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1、第10讲直线与圆1.(2019淮安五校联考,10)已知过点(-2,-3)的直线l被圆x2+y2+2x-4y-5=0截得的弦长为6,则直线l的方程是.2.(2019镇江期末,13)已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-a)2+(y-2)2=2.若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点为A,B,使得PAPB,则实数a的取值范围为.3.(2018南通中学高三考前冲刺练习)在平面直角坐标系xOy中,直线ax+y-2a=0与圆x2+y2=1交于A,B两点,若弦AB中点的横坐标为25,则实数a的取值集合为.4.(2018高考数学模拟(2)在平面直角坐标系xOy中,若直线l:x+2y=0与圆C:(x-
2、a)2+(y-b)2=5相切,且圆心C在直线l的上方,则ab的最大值为.5.(2018徐州铜山高三第三次模拟)已知圆O:x2+y2=r2(r0)及圆上的点A(-r,0),过点A的直线l交y轴于点B(0,1),交圆于另一点C.若AB=2BC,则直线l的斜率为.6.(2018扬州中学高三下学期开学考试)在平面直角坐标系xOy中,过点P(-2,0)的直线与圆x2+y2=1相切于点T,与圆(x-a)2+(y-3)2=3相交于点R,S,且PT=RS,则正数a的值为.7.(2019南京三模,13)在平面直角坐标系xOy中,已知MN是C:(x-1)2+(y-2)2=2的一条弦,且CMCN,P是MN的中点.当
3、弦MN在圆C上运动时,直线l:x-3y-5=0上存在两点A,B,使得APB2恒成立,则线段AB长度的最小值是.8.已知点P(2+1,2-2),M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过点P的圆C的切线方程;(2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.9.(2018兴化楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校联考)已知圆O:x2+y2=1与x轴的负半轴相交于点A,与y轴的正半轴相交于点B.(1)若过点C12,32的直线l被圆O截得的弦长为3,求直线l的方程;(2)若在以B为圆心,r为半径的圆上存在点P,使得PA=2PO(O为坐标原点),求r的取值范围;(3)设M(x1,y1),
4、Q(x2,y2)是圆O上的两个动点,点M关于原点的对称点为M1,点M关于x轴的对称点为M2,如果直线QM1,QM2与y轴分别交于点(0,m)和(0,n),问mn是不是定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.答案精解精析1.答案12x-5y+9=0或x=-2解析圆x2+y2+2x-4y-5=0化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=10,因为直线l被圆截得的弦长为6,所以圆心到直线的距离d=r2-9=1.当直线斜率不存在时,过点(-2,-3)垂直于x轴的直线x=-2符合题意;当斜率存在时,设直线l:y+3=k(x+2),由d=1=|k-5|k2+1解得k=125,则直线方程为12x-5y+
5、9=0.所以直线l的方程为12x-5y+9=0或x=-2.2.答案-2,2解析如图,因为PAPB,所以四边形PAOB为矩形,又OA=OB,所以四边形PAOB为正方形,则OP=2,因为圆M的半径为2,所以根据三角形两边之和大于第三边,得|OM|22,即a2+48,解得-2a2.3.答案-12,12解析易得弦AB的中点C25,8a5与圆心O的连线与弦AB垂直,则kOCkAB=-1,即4a(-a)=-1,解得a=12.故实数a的取值集合为-12,12.4.答案258解析因为直线l:x+2y=0与圆C:(x-a)2+(y-b)2=5相切, 所以|a+2b|5=5.又因为圆心C在直线l的上方,所以a+2
6、b0.所以a+2b=5.又a+2b=522ab,所以ab的最大值为258,当且仅当a=2b=52时,等号成立.5.答案33或3解析过点A的直线l交y轴于点B(0,1),交圆于另一点C,AB=2BC,则AB=2BC或AB=-2BC,则Cr2,32或C-r2,12.由点C在圆O:x2+y2=r2(r0)上,得r24+94=r2,r=3,或r24+14=r2,r=33.故A(-3,0)或A-33,0,则直线l的斜率,即直线AB的斜率为33或3.6.答案4解析易得PT=4-1=3,且PT的方程为y=33(x+2),设圆(x-a)2+(y-3)2=3的圆心(a,3)到直线PT的距离为d,则RS=3=23
7、-d2,所以d=32.所以|a-1|2=32,或|a+5|2=32.又a为正数,则a=4.7.答案210-2解析圆心C的坐标为(1,2),半径为2,易知PC=1,点P的轨迹方程为(x-1)2+(y-2)2=1.圆心(1,2)到直线l的距离d=|1-32-5|12+(-3)2=10,由大边对大角知,AB最小时,APB=2.故当APB=2,且P在AB的中垂线上时,线段AB的长度最小.易知ABmin=210-2.8.解析由题意得圆心为C(1,2),半径r=2.(1)(2+1-1)2+(2-2-2)2=4,点P在圆C上.又kPC=2-2-22+1-1=-1,切线的斜率k=-1kPC=1.过点P的圆C的
8、切线方程是y-(2-2)=x-(2+1),即x-y+1-22=0.(2)(3-1)2+(1-2)2=54,点M在圆C外部.当过点M的直线的斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0.又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,直线x-3=0是圆的切线.当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,则圆心C到切线的距离d=|k-2+1-3k|k2+1=r=2,解得k=34.切线方程为y-1=34(x-3),即3x-4y-5=0.综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0.|MC|=(3-1)2+(1-2)2=5,过点M的圆C
9、的切线长为|MC|2-r2=5-4=1.9.解析(1)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=12,符合题意.若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-32=kx-12,即2kx-2y-k+3=0.点O到直线l的距离d=|-k+3|(2k)2+(-2)2.直线l被圆O截得的弦长为3,d2+322=1.|-k+3|(2k)2+(-2)2=12,解得k=33,此时直线l的方程为x-3y+1=0.所求直线l的方程为x=12或x-3y+1=0.(2)设点P的坐标为(x,y),由题意,易得点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(0,1).由PA=2PO,可得(x+1)2+y2=2x2+y2,化简可得(x-1)2+y2=2.点P在圆B上,|r-2|(1-0)2+(0-1)2r+2.又r0,0r22.所求r的取值范围是0r22.(3)M(x1,y1),则M1(-x1,-y1),M2(x1,-y1).直线QM1的方程为y+y1=y2+y1x2+x1(x+x1).令x=0,则m=x1y2-x2y1x1+x2.同理可得n=x1y2+x2y1x1-x2.mn=x1y2-x2y1x1+x2x1y2+x2y1x1-x2=(x1y2)2-(x2y1)2x12-x22=x12(1-x22)-x22(1-x12)x12-x22=1.mn为定值1.