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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2004-2022 上海历年高考数列大题（2004 上海） 22、此题满分 18 分 第 1 小题满分6 分, 第 2 小题满分4 分, 第 3 小题满分 8 分设P x y 1 1 1, P x 2 2,y 2, ,P x n n,y nn3,nN 是二次曲线C 上的点 , 且a 1OP 12, a 2OP 22, , a nOP n2构成了一个公差为d （d0） 的等差数列 , 其中 O是坐标原点 . 记S na 1a 2a . （1）如 C 的方程为x2y21,n3. 点P 13,0及S 3255, 求
2、点3P 的坐标；只需10025写出一个 2 2（2）如 C 的方程为 x2 y2 1 ab0. 点 P a 1 ,0 , 对于给定的自然数 n, 当公差 d 变化a b时, 求 S 的最小值；（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线 C 及 C 上的一点 P 1,对于给定的自然数 n,写出符合条件的点 P P 2 , , P 存在的充要条件 ,并说明理由 . 【解】 1 a 1 OP 1 2100 ,由 S 3 3 a 1 a 3 255 ,得 a 3 OP 3 270 . 22 2x y 1 x 3 260由 100 25,得2x 3 2y 3 270 y 3 10点 3P 的坐标可以为 2 15
3、, 10 . 2 2x y2 【解法一】原点 O 到二次曲线 C : 2 2 1（a b 0）上各点的最小距离为 b ,a b最大距离为 a . 细心整理归纳 精选学习资料 a 1OP 122 a , d0,且anOP n2a2n1 d2 b , 第 1 页,共 10 页 db2a2n3,nn1 0 0. 2n1n n1d 在b2a2S nna2,0上递增 , 2n1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -故S 的最小值为na2n n1b2a2=na2
4、2b2. 2n1【解法二】对每个自然数 k 2 k n , x k 2 y k 2 a 2 k 1 d 2由 x k 22 y k2 21, 解得 y k 2 ba 2 kb 12 da b2 20 ky 2 b ,得 2 b ad 0k 12 2b a d 0n 1以下与解法一相同 . 2 23 【解法一】如双曲线 C : x 2y2 =1, 点 P a 1 ,0 , a b就对于给定的 n , 点 P P 2 , , P 存在的充要条件是 d 0 . 2原点 O 到双曲线 C 上各点的距离 h | a |, ,且 OP 1 a , 点 P P 2 , , P 存在当且仅当 OP n 2 O
5、P 1 2,即 d0. 2【解法二】如抛物线 C y 2 x ,点 P 10,0 , 就对于给定的 n , 点 P P 2 , , P 存在的充要条件是 d 0 .理由同上2 2【解法三】如圆 C : x a y a （a 0）, P 10,0 , 24 a就对于给定的 n, 点 P P 2 , , P 存在的充要条件是 0 d . n 1原点 O 到圆 C 上各点的最小距离为 0,最大距离为 2 a , 22 2 4 a且 OP =0, d0 且 OP n n 1 d 4 a .即 0 d . n 1（2005 上海）20（此题满分 14 分）此题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,
6、第 2 小题满分 8 分. 细心整理归纳 精选学习资料 假设某市2004 年新建住房面积400 万平方米,其中有250 万平方米是中低价房.估计 第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -在今后的如干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%. 另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米 .那么,到哪一年底,（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以 4750 万平方米？2004 年为累计的第一年）将首次
7、不少于（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85% ？解：（1）设中低价房面积形成数列 a n,由题意可知 a n 是等差数列,其中 a 1=250 ,d=50 ,就 Sn 250 n n n 1 50 25 n 2225 n ,2令 25 n 2 225 n 4750 , 即 n 2 9 n 190 ,0 而 n 是正整数 , n 10 .到 2022 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米 . （2）设新建住房面积形成数列b n,由题意可知 b n是等比数列,其中 b 1=400 ,q=1.08 ,就 b n=400 1.08 n1
8、由题意可知 a n 0 . 85 b n有 250+n 150400 1.08 n1 0.85. 由运算器解得满意上述不等式的最小正整数 n=6 ,到 2022 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%. （2006 上海） 21（本小题满分 16 分）已知有穷数列 an共有 2k 项（整数 k 2）,首项 a1 = 2；设该数列的前 n 项和为 Sn,且 an+1 = a 1 S n + 2 n = 1 , 2 , , 2k 1 ,其中常数 a 1 ；1 求证：数列 a n是等比数列；2 如a2221,数列 bn满意bn1log2a 1a2an n = 1 ,
9、2 , , 2k ,求kn数列 bn的通项公式；13 如 2 中 的 数 列 b n 满 足 不 等 式|b13|+|b23|+ +|b2k13|+ 第 3 页,共 10 页 222|b2k3| 4,求 k 的值；nnn1 2证明 当 n=1 时 ,a2=2a, 就a 2=a ；a 12 n 2k 1 时, a n+1=a 1 S n+2, a n=a 1 S n1+2, an+1 an=a 1 a n, an1 =a, 数列 a n是等比数列 . a nn n12 解：由 1 得 an=2an1, a1a 2 a n=2na12n1 =2na2=22k1, bn=1nn n1n11n=1,2
10、, ,2k.细心整理归纳 精选学习资料 n2k12 k1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3（3）设 b n21 ,解得 n k+ 2,又 n 是正整数 ,于是当 nk时 , b n3 2. 3 bk+b k+123+ +b2k3 原式 =3 b 1+ 23 b2+ + 222=bk+1+ +b2kb1+ +bk = 12 k 2 k 1 kk 12 0 k 1 kk = k 2. 2 k 1 2 k 1 2 k 12当 k 4,得 k 28k+
11、40, 4 2 3 k4+2 3 ,又 k2,2 k 1当 k=2,3,4,5,6,7 时 ,原不等式成立 . （2007 上海） 20（此题满分 18 分）此题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分假如有穷数列a a, , , , （ n为正整数） 满意条件a1an,a2an1, ,ana 1, 第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - 即a iani1（i1 2, , ）,我们称其为“ 对称数列”例如,由组合数组成的数列C0 1m, , ,Cm m就是“ 对称数列”（1）设b n是项数为 7 的“ 对称数列”,其中
12、b b, , , 是等差数列,且1b2,b 411依次写出b n的每一项；（2）设cn是项数为2k1正整数k1的“ 对称数列” ,其中c k,c k1, ,c 2k1 是首项为 50,公差为4 的等差数列记c n各项的和为S 2k1当 k 为何值时,S 2k1取得最大值？并求出S 2k1的最大值；（ 3 ）对于确定的正整数m1,写出全部项数不超过2m的“ 对称数列”,使得2 m1 2 2, , ,21依次是该数列中连续的项；当 m1500时,求其中一个 “ 对称数列”前2022项的和S 2022解：（1）设b n的公差为 d ,就b 4b 13 d23 d11,解得d3,数列b n为 2 5
13、8 11 8 5 2, , （2）S 2k1c 1c2c k1ckc k1c2k12 c kck1c2k1ck,S k14k132413250,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当k13时,S 2k1取得最大值S 2k1的最大值为626 （3）全部可能的“ 对称数列” 是：2 m 2 m 1 m 2 2 1 2 2, , ,2,2,2, , ,；2 m 2 m 1 m 1 m 2 2 1 2 2, , ,2,2,2,2, , ,； 2 m 1,2 m 2,
14、, , , ,2 22 m 2,m 1；m 1 m 2 2 2 m 2 m 1 2,2, , , , ,2,22 2007 2022对于,当 m 2022 时,S 2022 1 2 2 2 2 1m 2 m 1 m 2 2 m 2022当 1500 m 2007 时,S 2022 1 2 2 2 2 22 m1 2 m 12 2 m 2 0 0 92 m2 m 12 2 m 2 0 0 912022对于,当 m 2022 时,S 2022 2 1m 1 2 m 2022当 1500 m 2007 时,S 2022 2 2 1m m 2022对于,当 m 2022 时,S 2022 2 2当 1
15、500 m 2007 时,S 2022 2 m2 2022 m3对于,当 m 2022 时,S 2022 2 m2 m 2022m 2022 m当 1500 m 2007 时,S 2022 2 2 2（2022 上海） 21（此题满分 18 分）此题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 8 分；anc an3,a 21, 第 5 页,共 10 页 已知a 为首项的数列 1a n满意 :an1an,an3,. d1 当a 11,c1,d3时,求数列 a n的通项公式；（2）当0a 11,c1,d3时,试用a 表示数列 na前 100 项的和S 1
16、00；（3）当0a 11,（ m是正整数）,c1,正整数d3 m 时,求证：数列mmm细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -a 3m21,a 6m21,a 9m21成等比数列当且仅当d3m；mmm（2022 上海） 23.（此题满分18 分）此题共有3 个小题,第1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分；已知a n是公差为 d 的等差数列,b n是公比为 q 的等比数列； 第 6 页,共 10
17、 页 - - - - - - - - - （1）如a n3 n1,是否存在m、kN*,有a ma m1a k. 说明理由；（2）找出全部数列a n和nb,使对一切nN*,a nn1b n,并说明理由；a（3）如a 15,d4,b 1q3,试确定全部的p ,使数列a n中存在某个连续p 项的和是数列b n中的一项,请证明；23 解法一 （1）由a ma m1a ,得 6 m53 k1,2 分整理后,可得k2m4,m、 kN,k2 m 为整数,3不存在 m、 kN,使等式成立；5 分（2）如a n1b n,即a 1a 1nndb qn1,（*）a1 d（）如d0,就1b qn1b ；当a 为非零常
18、数列,nb 为恒等于 1 的常数列,满意要求；7 分（）如d0,（*）式等号左边取极限得lim na 1a 1nnd1,（*）式等号右边的极限只1 d有当q1时,才能等于1；此时等号左边是常数,d0,冲突；综上所述,只有当a 为非零常数列, nb 为恒等于 1 的常数列,满意要求； 10 分【解法二】设anndc,如an1b n,且b n为等比数列an就a n2/a nn1q,对nN*都成立,即a a n2qa2n1a n1a细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - -
19、-dnc dn2 dc q dndc2 对nN*都成立,a2qd2.7 分（i）如 d=0 ,就anc0,b n1,nN*m,就 d=0 ,冲突（ii）如d0,就q=1,nbm（常数）即dndccdn综上所述,有anc0 ,bn,1使对一切nN* ,a nn1b n,310 分a（3）an4n1 ,b n3 n,nN*设a m1am2ampb k3k,p、kN*,mN. 13 分4 m1124 mp1p3k,4 m2p3k 3,p、kN*,p5 3,sN. p0 ,15 分取k3 s2 , 4 m2 3s22s 33412s2241 s由二项绽开式可得正整数M 1 、M 2,使得（ 4-1 ）
20、2s+2 =4M 1+1, 241 s8 M21s,24 m4 M12M21 s1,2存在整数 m 满意要求.故当且仅当p=3s,sN 时,命题成立 . 说明：第（ 3）题如同学从以下角度解题,可分别得部分分（即分步得分）如 p 为偶数,就am+1 +a m+2 + +am+p 为偶数,但3 k 为奇数1 k4M1 k,MZ,故此等式不成立,所以,p 肯定为奇数；当 p=1 时,就 am+1 =b k,即 4m+5=3k,而 3k=4-1k =0 C k4kC14k11 Ck141 k1Ckkkk当为偶数时,存在,使3k 成立1 分当 p=3 时,就 am+1 +a m+2 +a m+3 =b
21、 k,即 3a m+2 -b k, 也即 3（4m+9 ）=3k,所以 4m+9=3k-1,4m+1+5=3k-1 4m+9=3k 成立2 分由已证可知,当k-1 为偶数即 k 为奇数时,存在m, 当 p=5 时,就 am+1 +a m+2 + +a m+5 =b k,即 5a m+3 =b k细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -也即 5（4m+13 ）=3k,而 3k不是 5 的倍数,所以,当p
22、=5 时,所要求的m 不存在故不是全部奇数都成立. 13 分 此题共有2 个 小题,第一个小题满分2 分（2022 上海） 20. 此题满分5 分,第 2 个小题满分 8 分；*已知数列 na 的前 n 项和为 S n,且 S n n 5 a n 85,n N（1）证明：a n 1 是等比数列；（2）求数列 S n 的通项公式,并求出 n 为何值时,S n 取得最小值,并说明理由；5 n 1（2）S n = n 75 90 n=15 取得最小值6解析：1 当 n 1 时,a 1 14 ；当 n2 时,an S n S n 1 5a n 5a n 1 1,所以 a n 1 5 a n 1 1,6
23、又 a 1 1 15 0,所以数列 a n 1是等比数列；n 1 n 1 n 15 5 52 由1知：a n 1 15,得 a n 1 15,从而 S n 75 n 906 6 6n N*；n 1解不等式 S nSn 1,得 5 2,n log 5 2 1 14.9,当 n15 时,数列 Sn单调递6 5 6 25增；同理可得,当 n15 时,数列 Sn单调递减；故当 n 15 时, Sn 取得最小值（2022 上海） 22.（本大题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,其次小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分）已知数列 a n和 nb的通项公式分别为a n3 n6,b n2 n7（
24、nN*.将集合 第 8 页,共 10 页 - - - - - - - - - x xa n,nN*x xb nN*中 的 元 素 从 小 到 大 依 次 排 列 , 构 成 数 列c c c 3,c n,（1）写出c c 1 2,c c ；3 4（2）求证：在数列 nc中,但不在数列b n中的项恰为a a 4,a 2n,；（3）求数列 nc的通项公式 . （2022 上海） 23对于数集X,1x 1,x 2,x n,其中0x 1x 2nx,n2,定义向量集Ya|as , t,sX,tX. 如对于任意a1Y,存在a2Y,使得a 1a 20,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -
25、- - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -就称 X 具有性质 P. 例如X,1,12 具有性质 P. （1）如 x 2,且,1,12 ,x ,求 x 的值；（4 分）（2）如 X 具有性质 P,求证： 1 X,且当 xn1 时, x 1=1；（6 分）（3）如 X 具有性质 P,且 x 1=1,x 2=q（q 为常数）,求有穷数列x 1,x 2,x n的通项公式 . （8 分） 解 （1）选取a 1x,2,Y 中与1a 垂直的元素必有形式,1b . 2 分,所以 x=2b,从而 x=4. 4 分（2）证明：取a 1x 1
26、,x 1Y. 设a2s ,tY满意a 1a 20. 由 s t 1x 0 得 s t 0,所以 s、 t 异号 . 由于 - 1 是 X 中唯独的负数,所以 s 、 t 中之一为 - 1,另一为 1,故 1X. 7 分假设kx1,其中1kn,就0x 11x n. 选取 a 1 x 1 , x n Y,并设 a 2 s , t 就 s 、 t 异号,从而 s 、 t 之中恰有一个为如 s =- 1,就 2,冲突；Y满意a 1a20,即sx 1tx n0,- 1. 如 t =- 1,就x nsx 1sx n,冲突 . 所以 x 1=1. 10 分（3） 解法一 推测x ii q1,i=1, 2,
27、, n. 12 分记A k,1,1x 2,x k,k=2, 3, , n. 先证明：如A k1具有性质 P,就A 也具有性质P. 任取a 1s ,t, s、 tA . 当 s 、 t 中显现 - 1 时,明显有a 满意 2a 1a20；当s1且t1时, s 、 t 1. 由于A k1具有性质 P,所以有a2s 1,t1,1s 、1tA k1,使得a 1a20,从而1s 和1t 中有一个是 - 1,不妨设1s =- 1. 假设1tA k1且1tA ,就t 1kx1. 由s ,t,1kx10,得stx k1x k1与sA 冲突 . 所以1tA . 从而iA 也具有性质P. 15 分现用数学归纳法证
28、明：x iq1, i=1, 2, , n. 当 n=2 时,结论明显成立；细心整理归纳 精选学习资料 假设 n=k 时,A k,1,1x 2,x k有性质 P,就x iqi1,i=1, 2, , k； 第 9 页,共 10 页 当 n=k +1 时,如A k1,1,1x 2,x k,x k1 有性质 P,就A k,1,1x 2,x k也有性质 P,所以A k11 ,1 ,q,qk1,xk1.s取a 1x k1,q ,并设a 2 s ,t满意a 1a 20,即xk1 sqt0. 由此可得与 t 中有且只有一个为-1. 如t1,就 1,不行能；所以s1,x k1qtqqk1qk,又x k1qk1,
29、所以x k1k q. 综上所述,x ii q1x iqi1,i=1, 2, , n. 18 分解法二 设a 1s 1,t 1,a 2s 2,t2,就a 1a 20等价于s 1t2. t1s 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -记Bs t|sX,tX|,s|t|,就数集 X 具有性质 P当且仅当数集B 关于原点对称 . 14 分留意到 - 1 是 X 中的唯独负数,B,0 x 2,x 3,x n共有 n- 1 个数,所以B0 ,也只有 n- 1 个
30、数 . 由于xn1xn2x nxn,已有 n- 1 个数,对以下三角数阵x nx nx 2x1xn1xxn2xnxnxnnxx21x n1x n1xn1xn2xn3x 1 x 2x 1留意到xnkxn11qk1x2,所以x n1xn1x2,从而数列的通项公式为x1xx1xnxn2x1x kx 1x21,k=1, 2, , n. 18 分x 1（2022 上海） 23 此题满分 18 分 此题共有 3 个小题,第 6 分,第 3 小题满分 9 分1 小题满分 3 分,第 2 小题满分给定常数 c0,定义函数 f x 2| xc4| | xc|. 数列 a1,a2,a2, 满意 an 1f an
31、,nN *. 1 如 a1 c2,求 a2及 a3；2 求证：对任意 nN *,an1anc；3 是否存在 a1,使得 a1,a2, , an, 成等差数列？如存在,求出全部这样的 a1；如不存在,说明理由解： 1 a22,a3c10. x c 8, x c ,2 f x 3 x 3 c 8, c 4 x c ,x c 8, x c 4.当 an c 时, an1anc8c；当 c4 an c 时, an 1an2an3c82 c4 3c 8c；当 an c4 时, an1an 2anc8 2 c4 c8c. 所以,对任意 nN *,an1anc. 3 由2 ,结合 c0,得 an1an,即 an 为无穷递增数列又 an 为等差数列,所以存在正数 M,当 nM时, an c,从而, an1 f an anc8. 由于 an 为等差数列,因此其公差 dc8. 如 a1 c4,就 a2f a1 a1c 8,又 a2a1d a1 c8,故 a1c8a1c8,即 a1 c 8,从而 a20. 当 n2 时,由于 an 为递增数列,故 ana20 c,所以, an1 f an anc8,而 a2a1c8,故当 a1 c8 时, an 为无穷等差数列,符合要求；如 c4 a1 c,就 a2 f a1 3a13c8,