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1、学习必备欢迎下载轴对称图形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学习必备欢迎下载轴对称图形典型例题例 1 如下图，已知，PBAB， PCAC，且 PBPC，D 是 AP 上一点求证： BDP CDP证明：PBAB，PCAC，且 PBPC，P AB PAC（到角两边距离相等的点在这个角平分线上），APB PAB90， APC PAC90，APB APC，在 PDB 和 PDC 中，PD PDAPCAPBPCPB.，PDB PDC（SAS） ，BDP CDP（图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全
2、等）注利用角平分线定理的逆定理，可以通过距离相等直接得到角相等，而不用再证明两个三角形全等例 2 已知如下图（ 1） ，在四边形ABCD 中， BCBA，ADCD，BD 平分 ABC求证：A C180（1）证法一：过D 作 DE AB 交 BA 的延长线于E，DF BC 于 F，BD 平分 ABC，DEDF ，在 RtEAD 和 RtFCD 中，.DFDEDCAD，（角平分线是常见的对称轴，因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明）RtEADRtFCD （HL） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页学习必备欢
3、迎下载C EAD，EAD BAD180，A C180证法二：如下图（2） ，在 BC 上截取 BEAB，连结 DE ，证明 ABD EBD 可得（2）证法三：如下图（3） ，延长 BA 到 E，使 BEBC，连结 ED，以下同证法二（3）注本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，关键是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法例 3 已知，如下图，AD 为 ABC 的中线，且DE 平分 BDA 交 AB 于 E，DF 平分 ADC交 AC 于 F求证： BECFEF证法一：在DA 截取 DNDB，连结 NE、NF ，则 DNDC，在 BDE 和 NDE 中，.D
4、EDENDEBDENDBD，（遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解题）BDE NDE（SAS） ，BENE（全等三角形对应边相等），同理可证：CFNF，在 EFN 中， ENFN EF（三角形两边之和大于第三边），BECFEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学习必备欢迎下载证法二：延长ED 至 M，使 DM ED，连结 CM、MF ，在 BDE 和 CDM 中，.DMDECDMBDECDBD，（从另一个角度作辅助线）BDE NDE（SAS） ，CMBE（全等三角形对应边相等），又BDE=AD
5、E， ADF CDF ，而 BDE ADE ADF CDF 180，ADE+ADF 90，即 EDF 90，FDM EDF90，在 EDF 和 MDF 中，.DFDFMDFEDFMDED，EDF MDF （SAS） ，EFMF （全等三角形对应边相等），在 CMF 中，CFCM EF，BECF EF注本题综合考察角平分线、中线的意义，关键是如何使题中的分散的条件集中例 4 已知，如下图， P、Q 是 ABC 边 BC 上的两点，且BPPQQCAPAQ求：BAC 的度数解：APPQAQ（已知），精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，
6、共 14 页学习必备欢迎下载APQ AQP PAQ60（等边三角形三个角都是60） ，APBP（已知）， （注意观察图形和条件）PBA PAB（等边对等角） ，APQ PBA PAB60（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和），PBA PAB30，同理 QAC 30，BAC BAP PAQ QAC30 60 30 120注本题考察等腰三角形、等边三角形的性质，关键是掌握求角的步骤：（1）利用等边对等角得到相等的角； （2）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和得各角之间的关系； （3）利用三角形内角和定理列方程例 5 已知，如下图，在ABC 中， ABAC，E 是 AB 的中点，
7、以点E 为圆心， EB 为半径画弧，交 BC 于点 D，连结 ED，并延长 ED 到点 F，使 DF DE，连结 FC求证： F A证明：ABAC，B ACB（等边对等角） ，EBED，B EDB，ACB EDB（等量代换） ，EDAC（同位角相等，两直线平行），在 BDE 和 AED 中， BEAE=ED ，连结 AD 可得， EAD EDA， EBD EDB，EDA EDB90，即 ADBC，EDA EDB 90，即 ADBC，（用什么定理判定三角形全等的？）D 为 BC 的中点，BDE CDF ，BED F，而 BED A，F A例 6 已知，如下图，ABC 中， ABAC， E 在 C
8、A 的延长线上，AEF AFE求证： EFBC证法一：作BC 边上的高AD， D 为垂足，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页学习必备欢迎下载ABAC，ADBC，BAD CAD（等腰三角形三线合一），又BAC E AFE， AEF AFE，CAD E，ADEF，ADBC，EFBC证法二：过A 作 AGEF 于 G，AEF AFE，AGAG， AGE AGF 90，AGE AGF（ASA ） ，ABAC，B C，又 EAF B C， （请对比多种证法的优劣）EAG GAF B C，EAG C，AGBC，AGEF，EFB
9、C证法三：过E 作 EHBC 交 BA 的延长线于H，ABAC，B C，H B C AEH，AEF AFE， H AFE FEH180，H AEH AEF AFE180，AEF AEH 90，即 FEH 90，EFEH，又 EH BC，EFBC证法四：延长EF 交 BC 于 K，ABAC，B C，B21（180 BAC） ，AEF AFE，AFE21（180 EAF） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学习必备欢迎下载BFK AFE，BFK21（ 180 EAF） ，B BFK21（ 180 BAC）21（180
10、 EAF） 21 360 （EAF BAC） ，EAF BAC180 ，B BFK90 ，即FKB90 ，EFBC注本题考察等腰三角形性质的应用，解题的关键是通过添加辅助线，建立EF 与 BC 的联系，仔细体会以上各种不同的添加辅助线的方法例 7 如下图， AB AC，DBDC， P 是 AD 上一点求证： ABP ACP证明：连结BC，ABAC（已知），ABC ACB（等边对等角） ，又点 A、D 在线段 BC 的垂直平分线上（与线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），而两点确定一条直线，AD 就是线段BC 的垂直平分线，PBPC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
11、，PBC PCB（等边对等角） ， （线段垂直平分线的性质）ABCPBC ACB PCB（等式性质） ，即 ABP ACP注本题若用三角形全等，至少需要证两次，现用线段垂直平分线的判定和性质，就显得比较简洁例 8 如下图， AB AC，DE 垂直平分AB 交 AB 于 D，交 AC 于 E，若 ABC 的周长为28，BC8，求 BCE 的周长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页学习必备欢迎下载解：等腰 ABC 的周长 28， BC8，2ACBC28，AC10，（理由是什么？）DE 垂直平分AB，AEBE，BCE 的周
12、长 BEECBCAEEC BCACBC 10818注本题考察线段垂直平分线的性质定理的运用，关键是运用线段垂直平分线的性质得到线段的等量关系例 9 已知，如下图，ABC 中， ABAC， BAC120， EF 为 AB 的垂直平分线，EF交 BC 于 F，交 AB 于 E，求证：FCBF21证法一：连结AF，则 AFBF，B FAB（等边对等角） ，ABAC，B C（等边对等角） ，BAC120，B C302180BAC（三角形内角和定理） ，FAB30，FAC BAC FAB 120 30 90，又C30， （线段的垂直平分线是常见的对称轴之一）FCAF21（直角三角形中30角所对的直角边等
13、于斜边的一半），FCBF21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页学习必备欢迎下载证法二：连结AF，过 A 作 AG EF 交 FC 于 G，EF 为 AB 的垂直平分线，AFBF，又B30，AFG60，BAG90，AGB60， AFG 为等边三角形，又C30，GAC30，AGGC， （构造等边三角形是证明线段相等的一种好方法）BFFGGCFC21例 10 已知，如下图，ABBC，CDBC， AMB75， DMC45， AM MD求证： ABBC思路分析从结论分析，要证ABBC，可连结 AC，使 BC 与 AB 能落在
14、一个三角形内，再看BAC 与BCA 能否相等？证明：连结AC，交 DM 于 H，AMB75， DMC 45（已知）， AMD60（平角定义）又AMMD，AMD 为等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形），AMAD（等边三角形三边相等），CDBC，DCM 90，DMC45，MDC 45（三角形内角和定理），CDCM（等角对等边） ，AC 是 DM 的垂直平分线（和线段两端点等距离的点，在线段的垂直平分线上），MHC90，HCM 45，B 90，BAC45，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页学习必备欢迎下载
15、ABBC（等角对等边） 【典型热点考题】例 1 如图 7 15，等腰 ABC的对称轴与底边BC相交于点D，请回答下列问题：(1)AD 是哪个角的平分线；(2)AD 是哪条线段的垂直平分线；(3) 有哪几条相等的边；(4) 有哪几对相等的角点悟：本题主要考查等腰三角形的所有特征所以应该根据等腰三角形是轴对称图形的性质来解答问题解：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是它的对称轴(1)AD 是顶角BAC的平分线(2)AD 是线段 BC的垂直平分线(3)AB AC ， BD DC (4) BAD CAD ， ABC ACB ， ADB ADC 例 2 如图 7 16，已知 PB AB ，PC AC ，且
16、 PB PC ，D是 AP上一点求证： BDP CDP 点悟： 利用三角形全等证明两个角相等最直观，但因为图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形全等同样可以，证明： PB AB，PC AC ，且 PB PC ， PAB PAC(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上) APB PAB 90 ，APC PAC 90 ， APB APC 在 PDB和 PDC中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页学习必备欢迎下载PDPDAPCAPBPCPB PDB PDC(SAS) BDP CDP 例 3 如图
17、7 17，先找出下列各图形中的轴对称图形，再画出它们的对称轴( 有几条，画几条) 点悟：先确定是否是轴对称图形，如果是轴对称图形，就将它们的对称轴全部画出来解： (1) 是，它有3 条对称轴(2) 是，它有2 条对称轴(3) 是，它有2 条对称轴(4) 是，它只有一条对称轴(5) 它不是轴对称图形，故没有对称轴(6) 它是轴对称图形，有一条对称轴图均略例 4 如图 7 18， ABC中， AB AC ，D在 BC上，且 BD AD ，DC AC ，将图中的等腰三角形全部写出来，并求出B的度数点悟：图中共有三个等腰三角形，要将它们一一写出来，不能遗漏在计算B 的度数时，要充分利用三角形的一个外角
18、等于它的两个不相邻的两个内角的和解：图中共有三个等腰三角形，它们分别是： ABC ， ABD ， CAD 设 Bx，则Cx BAD ， ADC DAC 2x B CBAC B CBAD DAC xxx 2x5x180365180 xB例 5 如图 7 19，在金水河的同一侧居住两个村庄A、 B要从河边同一点修两条水渠到A、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学习必备欢迎下载B两村浇灌蔬菜，问抽水站应修在金水河MN何处两条水渠最短? 点悟： 先将具体问题抽象成数学模型河流为直线MN ，在直线 MN的同一侧有A 、B两
19、点 在直线 MN上找一点P，使 P点到 A、B两点的距离之和为最小这里就要充分运用轴对称图形的性质加以解决解：如图7 19 所示作B点关于直线MN的对称点B ，连结 AB ，与 MN相交于 P，则 P点即为所求事实上，如果不是P点而是P点时，则连结BP、PA和BP由轴对称性知道，BPPBBPBP,，所以P到 A、B的距离之和，BPPABPPA，而 P到 A、B的距离之和BABPAPPBAP在PBA中，三角形两边之和大于第三边，BABPPA所以 P点即为所求的点例 6 如图 7 20，已知， AD为 ABC的中线，且DE平分BDA交 AB于 E，DF平分ADC交 AC于 F求证： BE CFEF
20、点悟：遇到角平分线就可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解决问题证法一：在DA上截取 DN DB 连结 NE 、NF则 DN DC 在 BDE和 NDE中，,DEDENDEBDENDBD BDE NDE 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页学习必备欢迎下载 BE NE同理可得， CFNF在 EFN中， ENFNEF(三角形两边之和大于第三边) BE CFEF证法二：如图7 21，延长 DE至 M ，使 DM ED ，连结 CM 、MF 在 BDE和 CDM 中，,DMDECDMBDECDBD BDE CDM
21、(SAS) CMBE(全等三角形对应边相等) 又 BDE ADE ，ADF CDF ，而 BDE ADE ADF CDF 180 ADE ADF 90 ，即EDF 90 FDM EDF 90 在 EDF和 MDF 中，,DFDFMDFEDFMDED EDF MDF(SAS) EF MF(全等三角形对应边相等)在 CMF 中， CFCM MF ， BE CFEF点拨： 本题综合考查角平分线，中线的意义， 三角形全等及线段之间的等量关系，关键是要把题目中的已知条件集中巧妙应用【易错例题分析】例已知如图 7 22，在四边形ABCD 中， BC BA ，AD CD ，BD平分ABC 精选学习资料 -
22、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学习必备欢迎下载求证：AC 180 证法一：如图7 22，过 D作 DE AB交 BA的延长线于E， DF BC于 F BD 平分ABC ， DE DF 在 Rt EAD和 Rt FCD中， AD DC ，DE DF， Rt EAD Rt FCD(HL) C EAD ， EAD BAD 180 ， A C180 证法二：如图7 23，在 BC上截 BEAB ，连结 DE ，证明 ABD EBD可得证法三：延长BA到 E，使 BE BC ，连结 ED ，以下同证法二，如图7 24警示： 本题直接加以证明则不可能，需要巧妙的添加适当的辅助线，不会添加辅助线或添加不适当的辅助线则是最常见的误区本题是用一个角的平分线上任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，添加辅助线的方法有多种情况，应该很好感悟尽快掌握精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页