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1、寒假课程 高一数学1 第七讲函数的综合应用一、知识梳理二、方法归纳1. 函数综合应用的重点函数的综合应用重点解决好四个问题：准确深刻地理解函数的有关概念；揭示函数与其他数学知识的内在联系；把握数形结合的思想和方法；认识函数思想的实质，强化应用意识. 准确、深刻理解函数的有关概念概念是数学的基础，函数概念是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、不等式、初等函数等都是以函数为中心的代数. 揭示函数与其他数学知识的内在联系函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础， 利用函数观点可以从较高的角度处理数、式、方程、不等式、直线与圆的方程等内容.所谓函数观点，实质
2、是将问题放到动态背景上去加以考虑.在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量生动的辩证统一，揭示了函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式. 把握数形结合的思想和方法函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的思想与方法.因此，既要从定形、定性、定理、定位等函数的综合应用函数的解析式函数的图象和性质函数的值域和最值函数与方程函数与不等式函数与实际问题（数学模型）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -
3、 - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 寒假课程 高一数学2 方面精确地观察图形、绘制简图，又要熟练地掌握函数图象的常规变换，体现了“ 数” 变换与 “ 形” 变换的辩证统一 . 认识函数思想的实质，强化应用意识函数思想的实质就是应用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数模型，求得问题的解决 .函数思想方法的应用不但重要，而且广泛， 必须强化函数建模思想的应用，学会运用函数建模的思想方法解决实际问题. 2.高中上学期函数的应用（1）函数图象、性质与最值的综合应用；（2）函数与方程、不等式的综合应用；（3）函数模型的综合实际应用. 三、典型
4、例题精讲【例 1】已知定义在R 上的奇函数)(xf和偶函数)(xg满足2)()(xxaaxgxf，)1,0(aa，若ag)2(，则)2(f（）A. 2B.415 C.417 D.2a技巧提示： 这是函数的解析式与函数的奇偶性的综合，属于函数自身性质间的综合，难度不大，高考常作选择题 . 又例 ：设函数)(xf和)(xg分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A.)(xf+|)(xg|是偶函数 B.)(xf-|)(xg|是奇函数C.|)(xf| +)(xg是偶函数 D.|)(xf|- )(xg是奇函数【例 2】已知函数2,) 1(2,2)(3xxxxxf，若关于x的方程kxf)(
5、有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 _. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 寒假课程 高一数学3 技巧提示： 这是函数与方程的综合.根据函数的单调性可以作出函数的简图，数形结合时，把方程kxf)(视为常数函数，问题被等价转换为两函数图象有两交点，容易得到k的取值范围 . 又例： 已知函数0, 10,2)(xxxxxf，若0)1()(faf，则实数a的值等于（）A.3 B.1 C.1 D.3 再例 : 设函数0,
6、0,)(2xxxxxf， 若4)(f，则实数（）A.4 或 2 B.4 或 2 C.2 或 4 D.2 或 2 【例 3】函数xy416的值域是（）A.0,)B.0,4C.0,4)D.(0,4)技巧提示： 由求函数的值域，转化为解简单的指数不等式，题目并不难. 若改为函数的定义域，有x4160 ，即x424. 而函数x4是上的增函数，定义域为|2x x. 又例： 设函数)(xf，1log11221xxxx则满足)(xf2 的x的取值范围是（）A. 1，2 B. 0 ，2 C. 1，）D. 0 ，）再例 : 若) 12(log1)(21xxf，则)(xf定义域为（）A.)0,21(B.0 ,21
7、(C.),21(D.),0(【例 4】函数613122x)a(x)a()x(f，（1）若)(xf的定义域为R，求实数a的取值范围 . （2）若)(xf的定义域为 2，1，求实数a的值. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 寒假课程 高一数学4 技巧提示： 这是二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的综合问题，需要灵活地进行等价转换.在第一问中，需要对a进行分类讨论 . 又例： 设函数| 1| 1|2)(xxxf，求使
8、22)(xf成立的x的取值范围 . 再例： 设函数2( )1f xx，对任意2,3x，24( )(1)4()xfm f xf xf mm恒成立，则实数m的取值范围是. 【例 5】已知1,011logaaxxxfa且. （1）求xf的定义域；（2）证明xf为奇函数；（3）求使xf0 成立的x的取值范围 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 寒假课程 高一数学5 技巧提示：（1） 、 （2）小题为对给定函数性质的综合研
9、究，需要对基本初等函数性质的牢固掌握；（3）小题是函数与不等式的综合问题，需要利用函数的性质对不等式进行等价转换. 又例： 已知函数xf12logxa，,0(a且）1a，（ 1）求函数xf的定义域；（ 2）求使0 xf的x的取值范围 . 【例 6】设函数)(xf在),(上满足)2()2(xfxf，)7()7(xfxf，且在闭区间 0，7上，只有0)3() 1(ff. （）试判断函数)(xfy的奇偶性；（）试求方程0)(xf在闭区间 2005，2005上的根的个数，并证明你的结论. 技巧提示： 函数图象的对称性与函数的奇偶性和函数的周期性密切相关.第（ 1）小题需要综合利用所给函数的对称性及零点
10、，再根据奇偶函数的特征作出判断.事实上由(0)0f就能判断)(xf不是奇函数 .又如果)(xf的图象关于0 x对称， 那么因为)(xf的图象关于2x和7x对称，可知4，10，14 都是函数)(xf的周期 .于是由0)3()1(ff得0)7()5(ff，这就产生了矛盾，所以)(xf的图象不能关于0 x对称，)(xf不是偶函数 .第（ 2）小题是根据函数周期性和函数在一个周期内的零点，数出函数在给定区域内的零点. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - -
11、 - - - - - - - 寒假课程 高一数学6 又例：偶函数)(xfy的定义域为R，且对于任意Rx，都有)4()(xfxf，又当2,0 x时，1)(2xxf，则当2012,2010 x时，)(xf. 【例 7】如图所示，有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数式，并求出它的定义域. 技巧提示： 从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答，这个过程实际上就是建立数学模型的一种最简单的情形. 又例： 用长为m 的铁丝弯成下部为矩
12、形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x，求此框架的面积y与x的函数式，并写出它的定义域. 四、课后训练1.函数1lg11fxxx的定义域是（）B C D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 寒假课程 高一数学7 A., 1B. 1,C.1,11,UD.,2.设奇函数fx 在0,上为增函数，且10f，则不等式0fxfxx的解集为（）A.1,01,UB., 10,1UC., 11,UD.1,00,1U3.设(
13、 ),( ), ( )f xg xh x是 R 上的任意实值函数，如下定义两个函数()( )fgxo和()( )f gxg：对任意xR，()( )( ( )fgxf g xo；()( )( ) ( )f gxf x g xg.则下列等式恒成立的是（）A.()( )() ()( )fghxf hg hxoggogB.()( )() ()( )f ghxfhghxgoogoC.()( )()()( )fghxfhghxoooooD.()( )() ()( )f g hxf hg hxggggg4.已知axbxxf21)(， （ba,是常数，ab2 ） ，且kxfxf)1()(. （ 1）求k；（
14、2）若2)1(kff.求ba,. 5.已知)(xf是定义在1,1 上的奇函数，且)1 (f1，若,1,1a b，0ab时，有babfaf)()(0. （1）判断函数)(xf在1，1上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式：)11()21(xfxf. 6.已知函数)(xfxx11log2. （1）求证：)1()()(212121xxxxfxfxf；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 寒假课程 高一数学8
15、（2）若)1(abbaf1，21)( bf，求)(af的值 . 7.已知二次函数2fxaxbxba、(为常数，且)0a满足条件：53fxfx，且方程fxx有等根 . （1）求)(xf的解析式；（2）函数)(xf在,1 ,xt ttR的最大值为u t，求u t解析式 . 8.一家报刊摊点从报社进报的价格是每份0.12 元，卖出的价格是每份0.20 元，卖不掉的报纸还可以以每份0.04 元的价格退回报社，在一个月（以30 天计算）里，有20 天每天可卖出400 份，其余10 天每天能卖出 250 份.但每天从报社买进的份数必须相同，他应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多赚得多少元. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -