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1、2015 高考理科数学曲线与方程练习题A 组基础演练能力提升 一、选择题1方程 x2y20 对应的图象是 ( ) 解析：由 x2y20 得，yx 或 yx， 故选 C. 答案： C 2已知点 P是直线 2xy30 上的一个动点， 定点 M ( 1,2) ，Q是线段 PM延长线上的一点，且| PM | | MQ | ，则 Q点的轨迹方程是 ( ) A2xy10 B2xy50 C2xy10 D 2xy50 解析：设 Q ( x，y)，则 P为( 2x, 4y) ，代入 2xy30 得 2xy50. 答案： D 3已知 A(0,7) ，B(0，7)，C(12,2) ，以 C为一个焦点的椭圆经过A，B
2、两点，则椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程是 ( ) Ay2x2481(y1) By2x2481(y1)Cx2y2481(x1) D x2y2481( x1)解析：由题意知 | AC | 13，| BC | 15，| AB | 14，又| AF| | AC | | BF| | BC | ，| AF | | BF | | BC | | AC | 2， 故点 F的轨迹是以 A， B为焦点 ， 实轴长为 2 的双曲线的下支又c7，a1，b248，点F的轨迹方程为y2x2481(y1)答案： A 4有一动圆 P恒过定点 F( a, 0)( a0)且与 y 轴相交于点 A、B，若 ABP为正三角形，则点P
3、 的轨迹为 ( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页A直线B圆C椭圆D 双曲线解析：设 P( x，y)，动圆 P的半径为 R，由于 ABP为正三角形，P到 y 轴的距离 d32R，即| x| 32R. 而 R | PF| xa2y2，| x| 32xa2y2. 整理得 ( x3a)23y212a2，即x3a212a2y24a21. 点 P的轨迹为 双曲线答案： D 5已知点 A(1,0) 和圆 C：x2y24 上一点 R ，动点 P满足RA2AP，则点 P的轨迹方程为 ( ) A. x322y21 B. x322y
4、21 Cx2 y3221 D x2 y3221 解析：设P(x，y)，R(x0，y0) ，则有RA(1 x0，y0)，AP( x1，y) 又RA2AP，1x02x1，y02y.x02x3，y02y.又 R ( x0，y0) 在圆 x2y24 上，( 2x3)2( 2y)24，即 x322y21. 答案： A 6设 A1，A2是椭圆x29y241 的长轴两个端点， P1，P2是垂直于 A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为 ( ) A.x29y241 B.y29x241 C.x29y241 D.y29x241 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
5、- - - - - - -第 2 页，共 8 页解析：设交点为 P( x，y) ，A1( 3,0) ，A2(3,0) ，P1( x0，y0)，P2(x0，y0) ，A1，P1，P共线，yy0 xx0yx3. A2，P2，P共线，yy0 xx0yx3. 由解得 x09x，y03yx，代入x209y2041，化简，得x29y241. 答案： C 二、填空题7ABC的顶点 A( 5,0) ，B(5,0) ，ABC 的内切圆圆心在直线x3 上，则顶点 C的轨迹方程是_解析：如图， | AD | | AE | 8，| BF| | BE | 2，| CD | | CF | ，所以| CA | | CB |
6、 826. 根据双曲线定义，所求轨迹是以 A， B为焦点， 实轴长为 6 的双曲线的右支，方程为x29y2161(x3)答案：x29y2161(x3) 8(2014 年成都模拟 ) P是椭圆x2a2y2b21 上的任意一点， F1、F2是它的两个焦点， O为坐标原点，有一动点 Q满足OQPF1PF2，则动点 Q的轨迹方程是 _解析：由 OQPF1PF2，又PF1PF2PM2PO2OP，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页设 Q ( x，y)，则OP12OQ x2，y2，即 P点坐标为 x2，y2，又 P在椭圆上，则有x
7、22a2y22b21，即x24a2y24b21. 答案：x24a2y24b21 9已知真命题：若 A为O内一定点， B为O上一动点，线段 AB的垂直平分线交直线OB于点P，则点 P 的轨迹是以 O ，A 为焦点， OB长为长轴长的椭圆类比此命题，写出另一个真命题：若A为O外一定点，B为O上一动点，线段 AB的垂直平分线交直线OB于点 P， 则点 P的轨迹是 _解析：如图，连接AP ，由于 P是线段 AB垂直平分线上一点，故有| PA | | PB | ，因此| PA | | PO | | PB | | PO | | OB | R定值，其中 R为O的半径又由于点 A在圆外，故| PA | | P
8、O | | OB | R0曲线段 C的方程为 y28( x2)(3 x6，y0)11已知圆C的方程为x2y24. (1) 求过点 P(1,2) 且与圆 C相切的直线 l 的方程；(2) 直线 l 过点 P(1,2) ，且与圆 C交于 A、B两点，若 | AB | 23，求直线 l 的方程；(3) 圆 C上有一动点 M ( x0，y0) ，ON(0，y0) ，若向量 OQOMON，求动点 Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线解析： (1) 显然直线 l 的斜率存在，设 切线方程为 y2k(x1)，则由|2 k|k212，得 k10，k243，从而所求的切线方程为y2 和 4x3y100. (2)
9、 当直线 l 垂直于 x 轴时， 此时直线方程为 x1， l 与圆的两个交点坐标为 (1， 3)和(1， 3)，这两点的距离为 23，满足题意；当直线l 不垂直于 x 轴时，设其方程为y2k( x1)，即 kxyk20，设圆心到此直线的距离为d(d0)，则 2324d2，得 d1，从而 1| k2|k21，得 k34，此时直线方程为3x4y50，综上所述，所求直线方程为3x4y50 或 x1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页(3) 设 Q点的坐标为 ( x，y) ，M点坐标是 ( x0，y0)，ON(0，y0)
10、，OQOMON，( x，y) ( x0,2y0)? xx0，y2y0. x20y204，x2y224，即x24y2161. Q点的轨迹方程是x24y2161，轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆12 ( 能力提升 )(2014 年恩施模拟 ) 在直角坐标平面上， O为原点，M为动点，| OM| 5， ON255OM. 过点 M作 MM1y 轴于点 M1， 过 N作 NN1x轴于点 N1， OTM1MN1N. 记点 T的轨迹为曲线 C， 点 A(5,0) 、B(1,0) ，过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q( 点Q在A与P之间) (1) 求曲线 C的方程；(2) 是否存在直线 l ，使得 |
11、BP | | BQ | ，并说明理由解析： (1) 设点 T 的坐标为 ( x，y) ，点 M的坐标为 ( x，y)，则 M1的坐标为 (0，y)，ON2 55OM2 55( x，y)，于是点 N的坐标为255x，2 55y ，N1的坐标为255x，0 ，所以M1M(x，0)，N1N 0，2 55y . 由OTM1MN1N，有(x，y) (x，0) 0，255y ，所以xx，y255y. 由此得 xx，y52y. 由| OM| 5，得 x2y25，所以 x252y25，得x25y241，即所求的方程表示的曲线C是椭圆(2) 点 A(5,0) 在曲线 C即椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直
12、线l 与椭圆 C无交点，所以直线 l 的斜率存在，并设为k，直线 l 的方程为 yk(x5) 由方程组x25y241，ykx5得(5 k24)x250k2x125k2200. 依题意知 20(1680k2)0，得55k55. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页当55k1) Bx2y281(x0) D x2y2101(x1) 解析：如图所示， 设直线 MP与直线 NP分别与动圆 C切于点 E、F，则| PE | | PF | ，| ME | | MB | ，| NF | | NB |. 从而| PM | | PN |
13、| ME | | NF | | MB | | NB | 4221)答案： A 2到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 ( ) A直线B椭圆C抛物线D 双曲线解析：在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，DC与 A1D1是两条相互垂直的异面直线，平面ABCD过直线 DC且平行于 A1D1，以 D为原点，分别以 DA 、DC为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系， 设点 P( x，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页y) 在平面 ABCD 内，且到 A1D1到 DC的距离相等， | x| y2a2，x2y2a2，故该轨迹为双曲线答案： D 3由抛物线 y22x 上任意一点 P向其准线 l 引垂线，垂足为Q ，连接顶点 O与 P的直线和连接焦点 F 与 Q的直线交于点 R，则点 R的轨迹方程是 _解析：设 Py202，y0，则 F12，0 ，Q12，y0OP的方程 y2y0 xQF的方程为： yy0 x12由、消去 y0得 y22x2x. 答案： y22x2x =*以上是由明师教育编辑整理= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页