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1、第二章 数 列2.1 数列的概念与简单的表示法一、知识要点梳理知识点一：数列的概念按一定顺序排列的一列数，如1，1，2，3，5， an，可简记为an。注意 ：数列可以看作是定义在N*或其子集1 ，2，3， n 上的函数，与以前常见函数的不同主要在于：(1) 定义域是离散的因而其图象也是离散的单点集；(2) 有序。 知识点二：数列的表示 (1) 列举法：如 -2 ，-5，-8 ，(2) 图象法：由点组成的图象；是离散的点集。(3) 解析式法：类似于函数的解析法， 数列的解析法就是给出了数列的通项公式 an=f(n) ，nN*。(4) 递推：利用数列的第n 项与它前面若干项的关系及初始值确定。如a
2、n=an-1+an-2(n3) ，且 a1=1， a2=1. 注意： 并不是每个数列都能写出它的数列通项公式；数列的通项如果存在，也不一定唯一。数列的列举法与集合的列举法不一样，主要就是有序与无序的差别。利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值。知识点三：数列的分类（1）按项数：有限数列和无限数列；（2）按单调性：常数列、摆动数列、单调数列 ( 递增数列、递减数列) 。递增数列 :对于任何Nn, 均有nnaa1. 递减数列 :对于任何Nn, 均有nnaa1. 摆动数列 :例如 :., 1, 1 ,1, 1 , 1常数数列 : 例如 :6,6,6,6, . 知识点四：数列的通项公式与前项和
3、公式任意数列的前 n 项和，于是，所以有：注意： 由前 n 项和求数列通项时，要分三步进行：（ 1）求；（2）求出当 n2 时的；（ 3）如果令 n2 时得出的中的 n=1 时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。2.2等差数列及其前n 项和一、知识要点梳理知识点一等差数列的概念（1）定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d称为等差数列的公差. （2）等差中项： 如果bAa,成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项 . 即：A是a与b的等差中项baA2a，A，b成等差数列 . 知识点二等差数列的通项公式通
4、项公式：dnaan)1(1dmnam)(，1a为首项，d为公差 . 知识点三等差数列的前n 项和公式 ：dnnnaaanSnn2)1(2)(11=bnan2（常数项为0的二次式）知 识 点 四等 差 数 列 的 常 用 性 质 （ 1 ） 若qpnm， 那 么qpnmaaaa特殊地，若pnm2，则pnmaaa2. （2）dmnaamn)(；banan(a,b是常数 )；bnanSn2(a,b是常数，0a) (3) 若na等差数列 , 则kkkkkSSSSS232,仍成等差（4）等差数列中，求使前n 项和最大 ( 小)的项数的方法：递减数列 ，求nS最大， 令0na，求正数项； 递增数列 ，求n
5、S最小， 令0na，求负数项 . 当然，解决此类型题目还可以利用二次函数的性质，但解一次不等式的方法还是最快的方法. 知识点五等差数列的判定方法定义法：daann 1（Nn，d是常数）na是等差数列；中项法：212nnnaaa(Nn)na是等差数列 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页2.3 等比数列及前 n 项和一、知识要点梳理1、等比数列的定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示注意 : （1）q 是指从
6、第2 项起每一项与前一项的比，顺序不要错。（ 2） 由定义可知，等比数列的任意一项都不为0，因而公比q 也不为 0. （3）公比 q 可为正数、负数，特别当q=1 时，为常数列a1,a1, ； q=1 时，数列为 a1, a1,a1, a1, .2、等比数列的通项公式：11nnqaamnmqa 3 、等比中项：如果在 a 与 b中间插入一个数G ，使 a，G ，b 成等比数列，那么G叫做 a 与 b 的等比中项即G 2= a b 4 、等比数列的判定方法（1）、 an=an 1q（n2）， q 是不为零的常数，an10an是等比数列 .（2）、an2=an1an1（n2, an1,an,an1
7、0）an 是等比数列 .（3）、an=cqn（c， q 均是不为零的常数）an是等比数列 .（4）、 若某数列前n 项和公式为Sn=an1(a0, 1)，则 an 成等比数列 . 5、等比数列的性质 : 设 an 为等比数列，首项为a1，公比为q. （1）an=a1qnm（m 、nN*） . （2） 、 当 m n=pq （m 、 n、 q、 pN* ） 时， 有 aman=apaq.特殊地，若nmp2，则2pnmaaa（3） 等比数列na：kkkkkSSSSS232,仍成等比数列（q1 或 k 为奇数）6、等比数列的前n 项和公式1)q(q-11)1(1)q(111qaaqqanaSnnn2
8、.4 数列的通项公式及求和一数列通项公式的求法（一） 、观察法数列从定义角度看，是按一定顺序排列的一列数，因而它不是杂乱无章的，它是有规律可循的。所以，我们可以根据数列的前几项，观察每一项与项数的关系，从而写出数列的同项公式。例：根据数列前四项，写出它的一个通项公式(1)54-4332-21， (2)7，77，777，7777， (3)171641093542211， (4)5221321， 解： (1)111nnann)( (2) )(11097nna精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页 (3) 122nnnan
9、( 4) 12nan关键： 把握第 n 项与na的关系，把每一项用项数表示。（二） 、公式法（也称待定系数法）若数列为特殊数列如是等差数列或等比数列，只需求出1a与 d 或1a与 q，可直接写出通项公式。例：已知等差数列na中，9573aa，求通项公式已知等比数列nb中，93935Sb，求通项公式解：设dnaan)(11，从而可解。可设)()(111S1n11qqqbqbbnnn， q=1(舍去 ) 关键 ：设出通项公式，解方程即得（三） 、构造法原数列不是等差或等比数列，但对已知的等式进行适当变形，可得新数列为等差或等比数列，从而求出通项公式。例 1、数列na中，)(222211n1naaa
10、ann，求na点拨，可用倒数变换，将其转化为等差或等比数列。解：取倒数得：21111nnaa，令nnab1，则211nnbb21111)(nbbn，nanbn22n即例 2、已知数列na，13211n1naaa，求na点拨：用配凑法，配凑常数“” ，使)(11cdacann构成等比数列，从而11nncaa)(，从而求出na。解：)(nnaca1，则)(123321nnaa令-3123，得)(32331nnaa，3na为等比数列，113233nnaa)(，从而13223nna)(关键 ：通过变换地推关系，将非等差或等比数列转化为与等差等比数列有关的数列，从而求得通项公式的方法是由递推公式求通项公
11、式的常用方法。常用转化过程有： 配凑、消项变换、倒数变换、取对数变换、换元变换等。练习： 1. 已知数列na中，nnaaaa2111n1，求na 2. 已知数列na中，65421n1naaa，求na。（四） 、叠加法例：已知求naaann 112,，求na解：当1321nn,时，可得n-1 个等式。13211342312naaaaaaaann,共有 n-1 个等式， 将其相加，得)(13211naan，212)(nnan关键 ：对形如)(nfaann 1的递推公式求通项公式，只要)(nf可求和，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页
12、，共 11 页便可利用累加的方法。练习：已知数列na中，naaan321n1，求数列的通项公式。（五） 、叠乘法例：已知1n1122nnaaa，求na解：1n12nnaa，得1121nnnaa，当1321nn,时，可得n-1 个等式：113342231221212121nnnaaaaaaaa,，左边相乘，右边相乘2113212121212121)(nnnnaa2121)()(nnna关键 ：对于形如)(ngaann1的递推公式，只要)(ng可求积，便可利用累乘的方法。练习：已知数列na中，nnaaa551n1，求na（六） 、含na与nS类型例 1数列na的前 n 项和nnaS21，求通项公式
13、。分 析 ： 由 已 知 条 件nnaS21， 可 知nS与na的 关 系 ， 可 借 助 于nnnSSa11， 可将条件转化为关于nS的递推公式， 进而求出数列的通项公式。解：11121aaS，11a，nnaS21，1121nnaS)(nnnnaaSS112即)(nnnaaa112)(121naann，)(1211naann，)(221nann；又 n=1 时适合上式，则)(Nnann12关键 ：若na和nS在一个等式中， 一般可利用na与nS关系，构造关于na或nS的递推公式，再进一步确定na或nS。练习：已知数列na中，101aan,，且12nnaS，求na二、数列的求和方法精选学习资料
14、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页（一） 、 公式法： 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：) 1(11)1() 1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、) 1(211nnkSnkn 4 、)12)(1(6112nnnkSnkn5、213)1(21nnkSnkn 例 1 已知3log1log23x，求nxxxx32的前 n 项和 . 解：由212loglog3log1log3323xxx由等比数列求和公式得nnxxx
15、xS32（利用常用公式）xxxn1)1 (211)211(21n1n21 例 2 设 Sn1+2+3+n， nN*, 求1)32()(nnSnSnf的最大值 . 解：由等差数列求和公式得)1(21nnSn，)2)(1(211nnSn（利用常用公式）1)32()(nnSnSnf64342nnnnn6434150)8(12nn501 当88n，即 n8 时，501)(maxnf（二） 、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 an bn的前 n 项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列. 例 3 求和：132)12(7531nnxnx
16、xxS。解：由题可知，1) 12(nxn 的通项是等差数列2n 1 的通项与等比数列1nx 的通项之积。132)12(7531nnxnxxxSnnxnxxxxxS) 12(7531432得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1 (1432（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1 (121)1()1()12()12(xxxnxnSnnn 例 4求数列,22,26,24,2232nn前 n 项的和 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页解：由题可知，nn22 的通项是等
17、差数列2n 的通项与等比数列n21 的通项之积设nnnS222624223214322226242221nnnS（设制错位）得1432222222222222)211(nnnnS1122212nnn1224nnnS练习：求： Sn=1+5x+9x2+ +(4n -3)xn-1（三） 、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1naa. 例 5 求证：nnnnnnnCnCCC2) 1() 12(53210证明：设nnnnnnCnCCCS) 12(53210 . 把式右边倒转过来得0113)12()12(
18、nnnnnnnCCCnCnS（反序）又由mnnmnCC可得nnnnnnnCCCnCnS1103) 12() 12(+得nnnnnnnnnCCCCnS2) 1(2)(22(2110（反序相加）nnnS2) 1( 例 6求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222S . 将式右边反序得1sin2sin3sin88sin89sin22222S（反序）又因为1cossin),90cos(sin22xxxx+得（反序相加）)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222S89 S 44.5 练习：已
19、知lg(xy)=a，求 S，其中nnnnyyxyxxSlg)lg()lg(lg221解: 将和式 S中各项反序排列，得nnnnxyxyxyslg)lg()lg(lg221将此和式与原和式两边对应相加，得 2S=nxy)lg(+nxy)lg(+ +nxy)lg( (n+1)项 =n(n+1)lg(xy) lg(xy)=a S=21n(n+1)a （四） 、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，
20、共 11 页 例 7 求数列的前n 项和：231,71, 41, 1112naaan，解：设)231()71()41()11(12naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111 (12naaaSnn（分组）当 a1 时，2) 13(nnnSn2) 13(nn（分组求和）当1a时，2) 13(1111nnaaSnn2)13(11nnaaan 例 8 求数列 n(n+1)(2n+1)的前 n 项和 . 解：设kkkkkkak2332)12)(1(nknkkkS1)12)(1()32(231kkknk将其每一项拆开再重新组合得kkknknknk1213132（分组）)21()21(
21、3)21(2222333nnn2)1(2)12)(1(2)1(22nnnnnnn（分组求和）2)2()1(2nnn练习：求数列),21( ,813 ,412,211nn的前 n 项和。解：nnnnnnnnS211) 1(21)21212121()321 ()21(81341221132( 五) 、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)() 1(nfnfan（2）nnnntan) 1tan() 1cos(cos1sin（3）111) 1(1nnnnan（4）
22、)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan（5）)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnnannnnnnnnnSnnnnnnnnna2) 1(11,2) 1(12121) 1() 1(221)1(2)6(1则 例 9 求数列,11,321,211nn的前 n 项和 . 解：设nnnnan111（裂项）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页11321211nnSn（裂项求和）)1()23()12(nn11n 例 10在数列 an 中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列bn 的
23、前 n 项的和 . 解：211211nnnnnan)111( 82122nnnnbn（裂项）数列 bn的前 n 项和)111()4131()3121()211(8nnSn（裂项求和）)111 (8n18nn 例 11求证：1sin1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos12解：设89cos88cos12cos1cos11cos0cos1Snnnntan) 1tan() 1cos(cos1sin89cos88cos12cos1cos11cos0cos1S88tan89tan)2tan3(tan)1tan2(tan)0tan1(tan1sin1)0tan89(tan1sin
24、11cot1sin11sin1cos2原等式成立练习：求1 3， 1 1 5， 1 3 5， 1 63之和。解：94)911(21)9171()7151()5131()311(21)9171(21)7151(21)5131(21)311(2197175153131163135115131( 六) 、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例 12求 cos1+ cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 的值 . 解：设 Sn cos1 + cos2 + cos3 + + cos1
25、78 + cos179 )180cos(cosnn（找特殊性质项）Sn（ cos1+ cos179 ） +（ cos2 + cos178 ） +（ cos3+ cos177 ） + +（cos89+ cos91 ） + cos90 （合并求和） 0 例 13数列 an：nnnaaaaaa12321, 2,3, 1，求 S2002. 解：设 S20022002321aaaa由nnnaaaaaa12321, 2,3, 1可得, 2, 3, 1654aaa, 2, 3, 1,2, 3, 1121110987aaaaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
26、 - -第 8 页，共 11 页2, 3, 1, 2, 3, 1665646362616kkkkkkaaaaaa0665646362616kkkkkkaaaaaa（找特殊性质项）S20022002321aaaa（合并求和）)()()(66261612876321kkkaaaaaaaaaa2002200120001999199819941993)(aaaaaaa2002200120001999aaaa46362616kkkkaaaa5 例14在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog, 9aaaaa求的值 . 解：设1032313logloglogaaaSn由等比数列的性
27、质qpnmaaaaqpnm（找特殊性质项）和对数的运算性质NMNMaaalogloglog得)log(log)log(log)log(log6353932310313aaaaaaSn)(log)(log)(log6539231013aaaaaa9log9log9log33310 ( 七) 、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法. 例 15求11111111111个n之和 . 解：由于)110(91999991111111kkk个个（找通项及特征）11111111111个n) 110(91)
28、110(91)110(91)110(91321n（分组求和）)1111(91)10101010(911321个nn9110)110(1091nn)91010(8111nn 例 16 已知数列 an：11)(1(,)3)(1(8nnnnaannna求的值 . 解：)4)(2(1)3)(1(1)1(8)(1(1nnnnnaannn（找通项及特征）)4)(3(1)4)(2(18nnnn（设制分组）)4131(8)4121(4nnnn（裂项）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页1111)4131(8)4121(4)(1(nn
29、nnnnnnnaan（分组、裂项求和）418)4131(4313练习：求5， 55，555，的前n 项和。解：an=5 9(10n-1)Sn =5 9(10-1)+ 5 9(102-1) + 5 9(103-1) + + 5 9(10n-1) =5 9 （10+102+103+10n）-n = 815（10n1-9n-10 ）以上一个7 种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页