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1、优秀学习资料欢迎下载电子科技大学 2011 -2012 学年第一学期期中考试A卷课程名称：数学物理方程考试形式：闭卷考试日期：20XX 年 11 月 11 日 考试时长： 90 分钟本试卷试题由四部分构成，共五页。题号一二三四合计得分一、（30 分）假设21( ),xCC考虑一维波动方程的初值问题：22222000,0,( ),( ),.ttuuatxtxuuxxxt证明它的解( , )u x t由下述的达朗贝尔(DAlembert) 公式给出 : 11( , ) ()()().22xatxatu x txatxaty dya解：令atx，,xat则uuxuxuxu，uuatututu，uuu
2、xu22222222，222222222.uuuuat代入022222xuatu中，得2240.ua得 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载由于02a，即可知20.u把它关于积分一次，再关于积分一次，可知它的通解为,uFG其中 F和 G 是任意两个可微的单变量函数。将和替换回原来的自变量，则原方程的通解为.,atxGatxFtxu由初始条件可得0( )( )( ),tuF xG xx（1）0( )( )( ).tuaFxGxxt（2）由（ 2）式两边积分，得0( )( )( ),xxaF xG x
3、Cd（3）其中0 x是任意一点，而C是积分常数。由（ 1）和（ 3） ，解得0011( )( )( ),22211( )( )().222xxxxCF xxdaaCG xxdaa把 F, G代入 u 的表达式中，就可得原问题的解11( , ) ()()().22xatx atu x txatxatda将此表达式代入原方程组，易知：若21( ),xCC它确实是一维波动方程的柯西问题的经典解。二、（25 分）求解下面的半无界弦的振动问题：得 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载2222000sin ,
4、0,0,( ),( ), 0,0,ttxuuxtxtxuuxxxtu其中21( ),xCC并且满足(0)(0)(0)0.解：由叠加原理，原问题的解可分解为,21uutxu其中1u和2u分别是下面问题的解：22220000,0,0,( ),( ), 0,( )0,ttxuutxtxuuxxxItu和2222000sin,0, 0,0,0, 0,()0,ttxuuxtxtxuuxIItu问题（ I）对应的柯西问题的解，由达朗贝尔公式给出：111,.22xtx tvx txtxtd由题意知xx ,仅在x0上给出，为利用达朗贝尔解，必须将xx ,开拓到0 x上，为此利用边值条件，得10.2ttttd因
5、此对任何t可以令,0,ttttd即,xx可以奇开拓到0 x上。记开拓后的函数为xx ,：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载.0,0,0,0,xxxxxxxxxx此时解为11,.22x tx tU x txtxtd问题（ II）对应的柯西问题的解，可由齐次化原理给出：()20()1,sin.2xttxtvx td d因为sin是奇函数，故（II）的解奇延拓到全空间后即为2,vx t。因此原问题的解为()0()111,sin.222xtx ttx txtu x txtxtdd d当tx时，)()(0s
6、in212121,txtxttxtxdddtxtxtxu1112sinsin()sin();222x tx txtxtdxxtxt当0 xt时，)()()()(0sin21sin212121,txtxtxttxxtxttxxtdddddxttxtxu1112sinsin()sin().222x ttxxttxdxxtxt若21( ),xCC并且满足相容性条件：(0)(0)(0)0,则,u x t是此半无界问题的经典解。0 三、（30 分）求解下面的初边值问题：.0,0,2sin,0,0,0,00002222lxxttxuulxtuulxtxutu得 分精选学习资料 - - - - - - -
7、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载解：首先分离变量。令)()(),(tTxXtxu，将它代入方程得( )( )( )( )0.X x TtXx T t则存在常数使得( )( )0,( )( )0.XxX xTtT t由边界条件得：( )( )0,(0)0,( )0.XxX xXX l(1) 求问题 (1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。10时，方程的通解为xxececxX21)(由0)0(X得021cc由0)(lX得021llecec解以上方程组，得01c，02c，故0时得不到非平凡解。20时，方程的通解为xccxX21)(由边值0)0(
8、X得01c，再由0)(lX得02c，仍得不到非平凡解。30时，方程的通解为xcxcxXsincos)(21由0)0(X得01c，再由0)(lX得0cos2lc。为了使02c，必须0cosl，于是2212lnn)2, 1 ,0(n且相应地得到xlnxXn212sin)()2 , 1 ,0(n将代入方程0)()(tTtT，解得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载tlnBtlnAtTnnn212s i n212c o s)()2, 1 ,0(n于是0212sin)212sin212cos(),(nnnxl
9、ntlnBtlnAtxu再由初始条件得00212sin2122sin212sin0nnnnxlnBlnlxxlnA解得0nAdlnlnBln212sin2sin) 12(400,00,2nnl故原问题的解为2( , )sinsin.22ltxu x tll将此表达式代入方程以及初边值条件中验算，可知( , )u x t是该初边值问题的经典解。四、（15 分）论述并举例说明惠更斯原理以及波的弥散现象。要点： 由波方程柯西问题的解的泊松公式可知，波的无后效现象 （惠更斯原理） 和有后效现象（波的弥散）取决于空间维数的奇偶性。（1）惠更斯原理：奇数维空间（一维除外）中的球面波，传过之后不会留下后续效
10、应。若波方程的行波解的速度为a,则由泊松公式可知，在离声源M0距离为r 的一点M1,只有在时间t=r/a 的时候才受到初始时刻在M0发出的瞬时扰动的影响，而过后马上回复到扰动前的状态。在现实中，如果初始扰动发生在某个有界区域，则一段时间后，影响的区域是一个半径一致的球面簇，其前后阵面（包络面）可以得 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载被容易地观察到。例子：三维的声波。从某个声源发出声波后，过一段时间传入耳中，并且声音的长短和发出的声音是一样的。（2）波的弥散：在偶数维空间或一维空间中，波的传播有后续效应。由泊松公式可知，声源M0的影响区域是一个M0为中心的球（二维时为圆），所以在离声源M0距离为 r 的一点 M1, 在某时刻开始受到初始时刻在M0发出的瞬时扰动的影响，此后仍会继续受到影响，但会减弱（因为泊松公式的分母中有时间t） 。如果初始扰动发生在某个有界区域，则容易观察到波传播的前阵面，但观察不到后阵面。例子：二维的水波。把垂直石头扔进水中，会产生持续的波纹，并且在某个固定点的波纹会从清晰变得模糊。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页